arXivDaily arXiv每日学术速递 周一至周五更新
arXiv 2501.07565math.MG
收藏

第 $m$ 阶 Orlicz 投影体

The $m$th order Orlicz projection bodies

Xia Zhou, Deping Ye, Zengle Zhang

阅读 PDF
arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

AI总结：

本文提出第 $m$ 阶 Orlicz 投影算子并建立高阶 Orlicz-Petty 投影不等式，证明体积在原点对称椭球处取得最大值，并研究特殊情形下的等号条件。

摘要：

设 $M_{n, m}(\mathbb{R})$ 为 $n\times m$ 实矩阵的空间。定义 $\mathcal{K}_o^{n,m}$ 为 $M_{n,m}(\mathbb{R})$ 中包含原点 $o\in M_{n, m}(\mathbb{R})$ 且具有非空内部的凸紧子集的集合，$\mathcal{K}_{(o)}^{n,m}$ 为 $\mathcal{K}_o^{n,m}$ 中其内部包含 $o$ 的元素。设 $Φ: M_{1, m}(\mathbb{R}) \rightarrow [0, \infty)$ 为凸函数，满足 $Φ(o)=0$ 且对 $z\neq o$ 有 $Φ(z)+Φ(-z)>0$。本文提出了第 $m$ 阶 Orlicz 投影算子 $Π_Φ^m: \mathcal{K}_{(o)}^{n,1}\rightarrow \mathcal{K}_{(o)}^{n,m}$，并研究了其基本性质，包括连续性和仿射不变性。我们建立了相关的高阶 Orlicz-Petty 投影不等式，该不等式表明，在具有固定体积的凸体中，$Π_Φ^{m, *}(K)$（即 $Π_Φ^{m}(K)$ 的极体）的体积在原点对称椭球处取得最大值。此外，当 $Φ$ 严格凸时，我们证明该最大值仅在原点对称椭球处取得。我们的证明基于经典的 Steiner 对称化及其高阶类比。我们还研究了 $Φ_{Q}=ϕ\circ h_Q$ 的特殊情形，其中 $h_Q$ 表示 $Q\in \mathcal{K}^{1, m}_o$ 的支撑函数，$ϕ: [0, \infty)\rightarrow [0, \infty)$ 为凸函数，满足 $ϕ(0)=0$ 且 $ϕ$ 在 $[0, \infty)$ 上严格递增。我们建立了与 $Π_{Φ_Q}^{m, *} (K)$ 相关的高阶 Orlicz-Petty 投影不等式。尽管 $Φ_Q$ 可能不是严格凸的，我们在对 $Q$ 和 $ϕ$ 的附加假设（如 $Q\in \mathcal{K}_{(o)}^{1,m}$ 和 $ϕ$ 的严格凸性）下刻画了等号成立的条件。

英文摘要：

Let $M_{n, m}(\mathbb{R})$ be the space of $n\times m$ real matrices. Define $\mathcal{K}_o^{n,m}$ as the set of convex compact subsets in $M_{n,m}(\mathbb{R})$ with nonempty interior containing the origin $o\in M_{n, m}(\mathbb{R})$, and $\mathcal{K}_{(o)}^{n,m}$ as the members of $\mathcal{K}_o^{n,m}$ containing $o$ in their interiors. Let $Φ: M_{1, m}(\mathbb{R}) \rightarrow [0, \infty)$ be a convex function such that $Φ(o)=0$ and $Φ(z)+Φ(-z)>0$ for $z\neq o.$ In this paper, we propose the $m$th order Orlicz projection operator $Π_Φ^m: \mathcal{K}_{(o)}^{n,1}\rightarrow \mathcal{K}_{(o)}^{n,m}$, and study its fundamental properties, including the continuity and affine invariance. We establish the related higher-order Orlicz-Petty projection inequality, which states that the volume of $Π_Φ^{m, *}(K)$, the polar body of $Π_Φ^{m}(K)$, is maximized at origin-symmetric ellipsoids among convex bodies with fixed volume. Furthermore, when $Φ$ is strictly convex, we prove that the maximum is uniquely attained at origin-symmetric ellipsoids. Our proof is based on the classical Steiner symmetrization and its higher-order analogue. We also investigate the special case for $Φ_{Q}=ϕ\circ h_Q$, where $h_Q$ denotes the support function of $Q\in \mathcal{K}^{1, m}_o$ and $ϕ: [0, \infty)\rightarrow [0, \infty)$ is a convex function such that $ϕ(0)=0$ and $ϕ$ is strictly increasing on $[0, \infty).$ We establish a higher-order Orlicz-Petty projection inequality related to $Π_{Φ_Q}^{m, *} (K)$. Although $Φ_Q$ may not be strictly convex, we characterize the equality under the additional assumption on $Q$ and $ϕ$, such as $Q\in \mathcal{K}_{(o)}^{1,m}$ and the strict convexity of $ϕ$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

↑