Fujita exponent for the fractional sub-Laplace semilinear heat equation with forcing term on the Heisenberg group
本文在海森堡群上研究带强迫项的分数次亚拉普拉斯半线性热方程，确定其 Fujita 指数为 Q/(Q-2s)，并证明超临界情形全局解存在、次临界情形全局解不存在、临界情形存在有限时间爆破解，从而将经典 Fujita 现象推广到次黎曼非局部框架。
2025-05-06 math.AP
A Liouville property for eternal solutions to a supercritical semilinear heat equation
我们关心的解决方案的非线性热方程$u_t=Δu+|u|^{p-1}u$，$x\in \mathbb{R}^N$，这是定义为所有的积极和消极的时间。如果指数$p$大于或等于Joseph-Lundgren指数$p_c$，并且$|u|$保持在某个正径向对称稳态以下，则在$u$作为$|x|\to \infty$的行为的温和条件下，我们证明了$u$与时间无关。我们的证明方法使用Serrin的扫描原理，基于强极大值原理，适用于$u_t$的线性化方程。我们的结果涵盖了Poláčik和Yanagida [JDE（2005）]的结果，他们进一步假设解保持在某个正的径向稳态和$p>p_c$之上。相比之下，他们依赖于使用相似性变量和不变流形的想法。值得注意的是，据我们所知，$p =p_c$以前缺少相应的刘维性质。我们强调，这样的刘维尔型定理意味着拟收敛的一类相应的柯西问题的解决方案。由于我们的观点起源于椭圆问题的研究，我们可以证明新的刚性相应的稳态问题的结果是由上述的抛物流的动机。
2022-04-24 math.AP
A Monotonicity Formula and a Liouville-type Theorem for a Fourth Order Supercritical Problem
我们考虑非线性四阶问题$$ Δ^2 u=|u|^{p-1}u\ \{in} \ \R^n,$$的Liouville型和部分正则性结果，其中$ p>1$和$n\ge1$ .我们给出了一个完整的分类的稳定和有限的莫尔斯指数的解决方案（无论是积极的或符号变化），在整个指数范围。我们还计算了奇异极值解集的豪斯多夫维数的上界。我们的方法是由Fleming的切锥分析技术的极小曲面和Federer的降维原理的部分正则性理论。其中一个重要工具是双调和方程的单调性公式。
2013-03-25 math.AP math.DG
A Liouville comparison principle for entire sub- and super-solutions of the equation $u_t-Δ_p (u) = |u|^{q-1}u$
在半空间${\mathbb S}= {\mathbb R}^1_+\times {\mathbb R}^n$中建立了方程$(\ast)$ $w_t-Δ_p (w) = |w|^{q-1}w$的整个上下解的Liouville比较原理，其中$n\geq 1$，$q>0$和$ Δ_p (w):={div}_x(|\nabla_x w|^{p-2}\nabla_x w)$，$1<p\leq 2$ .在我们的研究中，我们既没有对超平面$t=0$上的整个子解和上解的行为施加限制，也没有对它们或它们在无穷远处的任何偏导数的行为施加任何增长条件。本文证明了：如果$1<q\leq p-1+\frac pn$，$u$和$v$分别是（$\ast$）在$\Bbb S$中的一个弱上解和弱下解，且仅在$\Bbb S$中局部地属于相应的Sobolev空间，且使得$u\leq v$，则$u\equiv v$ .结果是尖锐的。作为直接推论，我们得到新的和已知的Fujita型和Liouville型结果。
2011-05-09 math.AP
Compactness of Palais-Smale sequences with controlled Morse Index for a Liouville type functional
本文证明闭曲面上 Liouville 型泛函的有界 Morse 指数 Palais-Smale 序列具有预紧性，并据此给出超临界平均场方程解存在性的新证明及奇异情形推广。
2024-09-10 math.AP
A Liouville comparison principle for sub- and super-solutions of the equation $w_t-Δ_p (w) = |w|^{q-1}w$
在半空间${\mathbb S}= {\mathbb R}^1_+\times {\mathbb R}^n$中建立了方程$(\ast)$ $w_t-Δ_p (w) = |w|^{q-1}w$的整个弱上下解的Liouville比较原理，其中$n\geq 1$，$q>0$和$ Δ_p (w):={div}_x(|\nabla_x w|^{p-2}\nabla_x w)$，$1<p\leq 2$ .在我们的研究中，我们既不限制整个弱子和超解的超平面$t=0$的行为，也没有任何增长条件，他们的行为，并在无穷远的任何偏导数。证明了：如果$1<q\leq p-1+\frac pn$，$u$和$v$分别是（$\ast$）在$\Bbb S$中的一个弱上解和弱下解，且在$\Bbb S$中只局部属于相应的Sobolev空间，且使得$u\geq v$，则$u\equiv v$ .结果是尖锐的。作为直接推论，我们得到已知的Fujita型和Liouville型定理。
2012-07-10 math.AP
Liouville type theorems for fully nonlinear elliptic equations in exterior domains in half spaces
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
针对半空间外部区域中的完全非线性一致椭圆方程，在二次边界数据和二次增长条件下，证明了任何粘性解在无穷远处趋于二次多项式加上低阶项，收敛速率至少为|x|^{-α-n}，并应用于Monge-Ampère方程、k-Hessian方程和特殊Lagrangian方程。
2026-05-27 math.AP
Critical non-linearity for some evolution equations with Fujita-type critical exponent
本文研究一类常系数非线性演化方程的 Cauchy 问题，将幂非线性推广为带修正因子 $\mu$ 的形式，并给出区分小数据整体解与无整体弱解区域的积分条件。
2024-04-09 math.AP
Entire and ancient solutions of a supercritical semilinear heat equation
我们在${\mathbb R}^N$上考虑半线性热方程$u_t=Δu+u^p$。假设$N\ge 3$和$p$大于Sobolev临界指数$(N+2)/(N-2)$，我们检查整个解决方案（定义为所有$t\in {\mathbb R}$的经典解决方案）和古老的解决方案（定义在$(-\infty,T)$上的经典解决方案的一些$T<\infty$）。我们证明了一个新的Liouville型定理，即如果$p$大于Lepin指数$p_L:=1+6/(N-10)$（如果$N\le 10$则为$p_L=\infty$），则所有的正有界径向整解都是稳态的.该定理是无效的径向对称的假设，在其他范围的超临界$p$它是已知的，甚至在类径向解决方案是无效的。我们的其他结果包括分类定理的非平稳整体解决方案（当他们存在）和古老的解决方案，以及一些应用在理论中的解决方案爆破。
2019-07-18 math.AP
Local and nonlocal singular Liouville equations in Euclidean spaces
我们研究了在原点具有指定奇异性的欧几里得空间中常数$Q$-曲率的度量，即有限体积条件下方程$$(-Δ)^\frac{n}{2}w=e^{nw}-cδ_{0} \text{ on } \mathbb R^n,$$的解。我们分析的渐近行为在无穷远和每一个$n\ge 3$也在超临界状态下的解决方案的存在性。最后，我们提出了一些开放的问题。
2018-08-10 math.AP math.DG
A unified clasification of Liouville properties and nontrivial solution for fractional elliptic equations with general Hénon-type superquadratic and gradient growth
针对带一般Hénon型超二次及梯度增长的分数阶椭圆方程，建立统一分析框架确定临界平衡γ+p=2s，划分三类情形得到Liouville型结果、解的存在性等结论，证明依赖新非局部分析技术，贡献可与该方向近期深度研究媲美。
2025-11-11 math.AP
Upper estimates of the lifespan for the fractional wave equations with time-dependent damping and a power nonlinearity of subcritical and critical Fujita exponent
Zhejiang Sci-Tech University（浙江理工大学）；Keio University（庆应义塾大学）；RIKEN（理化学研究所）
本文研究具有时间依赖阻尼和幂非线性的分数阶波动方程，在次临界和临界 Fujita 指数下通过常微分不等式框架推导出寿命的精确上界估计，并证明临界指数为 $p_c=1+\fracσ{N}$。
2026-11-04 math.AP
Liouville-type Theorems for Stable Solutions of the Hénon-Lane-Emden System
本文研究Hénon-Lane-Emden系统稳定解的Liouville型定理，证明了在特定条件下猜想成立，并改进了相关文献结果。
2025-12-18 math.AP
Liouville--Type Results for Infinity Elliptic Equations Involving Gradient and Hardy--Hénon Nonlinearities
本文研究了涉及分数无穷 Laplace算子和非线性项的退化椭圆方程的Liouville型性质，通过加权比较原理和局部Lipschitz估计，得出了关于有界非负解的精确增长条件和部分结论。
2025-11-20 math.AP
A Supercritical Problem in Dimension Two
University of Bath（巴斯大学）；Universidad de Santiago de Chile (USACH)（智利圣地亚哥大学）
本文在二维有界对称区域上构造了超临界椭圆方程的正解，该解在原点以k个Liouville气泡的塔形式爆破，并利用适应多尺度的Lyapunov-Schmidt约化方法证明其存在性。
2026-09-22 math.AP
Global solutions versus finite time blow-up for the supercritical fast diffusion equation with inhomogeneous source
本文研究带非齐次源项的超临界快扩散方程，刻画了整体自相似解存在与有限时间爆破发生的参数范围，并指出结果在齐次情形下也是新的。
2025-02-07 math.AP
Infinite concentration and oscillation estimates for supercritical semilinear elliptic equations in discs. I
本文在圆盘上超临界半线性椭圆方程中建立无限集中与振荡估计，将作者先前结果推广到一般超临界情形，并通过伸缩与逐点技巧对爆破解的无限集中行为进行分类，揭示多重指数增长下的新行为。
2025-07-07 math.AP
Liouville type theorems and Hessian estimates for special Lagrangian equations
本文针对特殊Lagrange方程在特定“凸性”条件下证明了Liouville型定理，核心方法是通过Neumann-Poincaré不等式和均值不等式建立解的整体Hessian估计，并进一步推导了该条件及超临界相位下的内部Hessian估计。
2022-06-28 math.AP math.DG
A priori estimates and Liouville-type theorems for the semilinear parabolic equations involving the nonlinear gradient source
本文研究含非线性梯度源的半线性热方程，通过逐点梯度估计、Gidas-Spruck 积分法和 doubling lemma 证明 Liouville 型定理并导出普适先验估计。
2024-08-06 math.AP
Liouville type theorems for the 3D stationary MHD and Hall-MHD equations with non-zero constant vectors at infinity
本文研究了三维定常MHD和Hall-MHD系统在无穷远处特定渐近条件下的Liouville型定理，通过Lizorkin理论和Kato稳定性定理处理Hall项难点，证明了速度场和磁场在特定条件下均为常向量。
2024-04-28 math.AP
On problems with weighted elliptic operator and general growth nonlinearities
本文建立了$$-div (|x|^{a} D u ) = f(x,u), ~ u > 0,\, \mbox{ in } Ω,$$形式的非线性方程的存在性、不存在性和Liouville型定理，其中$N \geq 3$，$Ω$是$\mathbb{R}^N$中包含原点的开域，$N-2+a > 0$和$f$满足结构条件，包括某些增长性质.第一个主要结果是一个不存在定理的边值问题的有界区域的星形关于原点，提供$f$具有超临界增长。其结果是正的整体解的存在性方程的$f$表现出相同的增长。然后建立了Liouville型定理，该定理断言只要$f$的增长是次临界的，则方程在$Ω= \mathbb{R}^N$中不存在正解.然后将结果扩展到$$-div (|x|^{a} D u_1) \!=\! f_{1}(x,u_1,u_2), -div (|x|^{a} D u_2) \!=\! f_{2}(x,u_1,u_2), u_1, u_2 \!>\! 0,\, \mbox{ in } Ω,$$形式的系统，但是在克服了单个方程中不存在的额外障碍之后。具体情况下，我们的结果恢复经典的一个著名的问题，寻找最好的常数在Hardy-Sobolev和Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式，以及知名的椭圆系统的存在性结果。
2021-03-16 math.AP
On the Hardy-Hénon heat equation with an inverse square potential
Indian Institute of Science Education and Research Pune（印度科学教育研究所浦那分校）；Indian Institute of Science Education and Research Tirupati（印度科学教育研究所蒂鲁帕蒂分校）；Keio University（庆应义塾大学）；RIKEN（理化学研究所）
研究带有反平方势的Hardy-Hénon抛物方程的Cauchy问题，建立热半群在加权Lebesgue空间中的精确衰减估计，并讨论局部解的存在性和临界空间中的全局解的条件。
2026-04-28 math.AP
Liouville Rigidity and Universal Spacelikeness Estimates for a Lorentzian Prescribed Mean Curvature Equation
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Ningbo University（宁波大学）
该研究针对洛伦兹型给定平均曲率方程的整体严格类空解，在不同维数和参数范围证明了刘维尔定理，建立了全局高度与洛伦兹因子界，还结合张量恒等式得到几何半空间刚性定理。
2026-09-24 math.AP math.DG
Sharp Liouville thresholds and endpoint rigidity for finite Morse index solutions of the $p$-Laplace Lane--Emden equation
Faculty of Economic Mathematics, University of Economics and Law（经济数学学院，经济与法律大学）；Vietnam National University（越南国家大学）
本文证明$p$-Laplace Lane--Emden方程在超临界范围内无径向对称假设的Liouville定理，给出尖锐阈值并解决Aubin--Talenti极值的Morse指标问题。
2026-10-05 math.AP
