Symmetries of Grothendieck rings in representation theory
David Hernandez
本文为第 9 届欧洲数学大会邀请报告的书面稿，综述表示论中 Grothendieck 环涌现出的若干新对称性。
这是 2024 年 7 月在 Seville 举行的第 9 届欧洲数学大会邀请报告的书面版本。我们综述了表示论中出现的 Grothendieck 环的若干新对称性。
This is a written version of the invited lecture at the 9th European Congress of Mathematics in July 2024 in Sevilla. We review certain new symmetries of Grothendieck rings that have emerged in representation theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Quantum Grothendieck rings as quantum cluster algebras
我们定义并构造了一个量子Grothendieck环的某一monoidal子范畴的$\mathcal{O}$的表示的量子圈代数的Hernandel-Jimbo介绍。我们利用这个范畴的Grothendieck环的簇代数结构定义量子Grothendieck环为量子簇代数。当基本单李代数是$A$型时，证明了这个量子Grothendieck环包含相应量子仿射代数的有限维表示范畴的量子Grothendieck环.在$A_1$型中，我们确定了这个量子Grothendieck环中的显著关系.
Toroidal Grothendieck rings and cluster algebras
我们研究了具有几个量子参数的簇代数的变形，称为环形簇代数，它自然地出现在量子仿射代数表示的Grothendieck环的研究中。在这种情况下，我们构建了环形Grothendieck环，我们建立这些是平坦变形的Grothendieck环。证明了对于一类划分有限型簇代数的单缀量子仿射代数的么半群范畴$\mathscr{C}_1$，环面Grothendieck环具有环面簇代数的自然结构.
On Grothendieck ring of the sequence of walled Brauer algebras
在本文中，我们提供了一个图形的方法来研究的分支规则的细胞模序列的壁Brauer代数。这也使我们能够计算乘法的结构常数的Grothendieck环的序列。
Quantum Grothendieck ring isomorphisms, cluster algebras and Kazhdan-Lusztig algorithm
建立了$B_n^{(1)}$型和$A_{2n-1}^{(1)}$型量子仿射代数有限维表示的某些显著幺半范畴的量子Grothendieck环之间的环同构.我们的证明部分依赖于相应的量子簇代数结构。此外，我们还证明了我们的同构在$t = 1$上是Kashiwara，Kim和Oh最近用其他方法得到的（经典）Grothendieck环的同构的特例.因此，我们证明了第一作者在2002年提出的一个猜想：对于类型$B_n^{(1)}$，上述范畴中标准模中的单模的重数是由Kazhdan-Lusztig多项式的某些类似物的特殊化给出的，并且这些多项式的系数是正的.
Grothendieck rings of basic classical Lie superalgebras
用相应的广义根系明确地描述了基本经典李超代数的有限维表示的Grothendieck环。我们证明了它们可以被解释为权群环中的子环在某些称为Weyl群胚的群胚的作用下是不变的。
Quantum Grothendieck rings and derived Hall algebras
本文给出了Dynkin型A，D，E量子圈代数的t-变形Grothendieck环的一个表示。在有限域F的基数的平方根上特化t，得到了它与同Dynkin型的dQ的导出范畴的导出Hall代数的同构.一路上，我们研究每个选择的方向Q的张量子范畴的t-变形Grothendieck环是同构的积极部分的量子包络代数相同的Dynkin型，其中类的简单对象对应于Lusztig的对偶规范的基础。
Grothendieck rings of periplectic Lie superalgebras
我们明确地描述的Grothendieck环的有限维表示的周李超代数。特别地，李群$P(n)$的Grothendieck环同构于$x_1^{\pm 1}, \ldots, x_n^{\pm 1}$中的对称多项式环，其求值$x_1=x_2^{-1}=t$独立于$t$。
Grothendieck Rings of 2$n^2$ dimensional Hopf Algebras $H_{2n^2}$
本文构造并显式描述了一类作为8维Kac-Paljutkin Hopf代数推广的2$n^2$维半单Hopf代数$H_{2n^2}$的Grothendieck环，并分类了其所有不可约模。
Grothendieck Rings of Queer Lie Superalgebras
利用特征标环确定了Queer李超代数上有限维模范畴的Grothendieck环。特别地，我们证明了奇异李超群$Q(n)$的特征标环同构于$x_{1},\ldots,x_{n}$中的Laurent多项式环，其中$x_{n-1}=-x_{n}=t$的评价独立于$t$ .从而完成了对所有经典李超代数的Grothendieck环的描述。
Grothendieck rings of towers of generalized Weyl algebras in the finite orbit case
本文在前期GWA权模张量积性质及无限轨道情形研究基础上，计算有限轨道支撑的GWA单与不可分解权模的张量积，给出GWA塔权模范畴Grothendieck环的生成元关系完整表示，并得到分裂Grothendieck环的部分结果。
Classifying Grothendieck rings of pivotal fusion categories of rank four
本文对复数域上秩四枢轴融合范畴的Grothendieck环进行了完整分类，确定恰好十五个且均可酉范畴化，并利用新障碍与穷举方法给出维数上界3600。
The Structure of the Grothendieck Rings of Wreath Product Deligne Categories and their Generalisations
给定一个特征为零的代数闭域上的张量范畴$\mathcal{C}$，我们可以形成圈积范畴$\mathcal{W}_n(\mathcal{C})$。\cite{Ryba}证明了这些圈积范畴的Grothendieck环在某种意义上稳定为$n \to \infty$ .得到的“极限”环$\mathcal{G}_\infty^{\mathbb{Z}}(\mathcal{C})$同构于\cite{Mori}定义的圈积Deligne范畴$S_t(\mathcal{C})$的Grothendieck环。该环仅依赖于Grothendieck环$\mathcal{G}(\mathcal{C})$。给定环$R$是自由的$\mathbb{Z}$ -模，我们构造了一个环$\mathcal{G}_\infty^{\mathbb{Z}}(R)$，当$R = \mathcal{G}(\mathcal{C})$时，它专门化为$\mathcal{G}_\infty^{\mathbb{Z}}(\mathcal{C})$.我们给出了一个描述$\mathcal{G}_\infty^{\mathbb{Z}}(R)$使用生成器非常类似的基本挂钩\cite{Nate}。证明了$\mathcal{G}_\infty^{\mathbb{Z}}(R)$是$λ$ -环，且$\mathcal{G}_\infty^{\mathbb{Z}}(…
The Grothendieck ring of the structure group of the geometric Frobenius morphism
光滑簇上的几何弗罗贝尼乌斯态射是一个fppf-纤维丛。我们研究的结构群计划的表示。特别地，我们描述了不可约表示，并计算其有限维表示的Grothendieck环。
Stable Grothendieck Rings of Wreath Product Categories
设$k$是特征为零的代数闭域，$\mathcal{C} = \mathcal{R}-mod$是$k$上固定Hopf代数上的有限维模范畴.人们可以形成圈积范畴$\mathcal{W}_{n}(\mathcal{C}) = (\mathcal{R} \wr S_n)-mod$，其Grothendieck群继承环的结构。通过固定Grothendieck环的生成元集（称为基本钩），$\mathcal{W}_{n}(\mathcal{C})$中简单对象的分类可以证明Grothendieck环中结构常数的稳定性，从而定义一个极限Grothendieck环.这个环是Deligne圈积范畴$S_t(\mathcal{C})$的Grothendieck环。我们给出了环的一个表示，并给出了由圈积范畴中的简单对象产生的区别基作为基本钩子多项式的表达式。讨论了当$\mathcal{R}$是有限群的群代数时的一些应用，以及关于稳定Kronecker系数的一些结果.最后，我们解释了如何推广到$\mathcal{C}$是张量范畴的设置。
The Grothendieck ring of the periplectic Lie supergroup and supersymmetric functions
我们证明了有限维表示的周李超群$P(n)$的Grothendieck环同构于$x_1^{\pm 1}, \ldots, x_n^{\pm 1}$中的对称多项式环，其求值$x_1=x_2^{-1}=t$独立于$t$ .
Grothendieck rings for Lie superalgebras and the Duflo-Serganova functor
证明了有限维逆李超代数上的有限维模范畴上的Duflo-Serganova函子在Grothendieck环的自然商上诱导一个环同态，该自然商同构于特征标环.我们将这种同态实现为与超对称性有关的函数的某种求值。我们使用这种实现来描述的核和图像的同态诱导的Duflo-Serganova函子。
Split Grothendieck rings of rooted trees and skew shapes via monoid representations
本文研究了有根树的整数跨度上的交换环结构和$n$维斜形。这些环中的乘法来自于点集上幺半群表示的粉碎积运算。我们将其解释为在$\fun$上不可分解幺半群表示的Grothendieck环--一个元素的“域”。我们还研究了域$k$中所有单位根的$\mt$ -模到$k[t]$ -模的基变同态，并利用某些图的邻接矩阵的若尔当分解解释了结果.
Grothendieck rings of towers of twisted generalized Weyl algebras
在基环$R$上用参数$σ$和$t$定义了扭曲广义Weyl代数（TGWA）$A(R,σ,t)$，其中$σ$是自同构的$n$ -元组，$t$是$R$中心元素的$n$ -元组.证明了对于固定的$R$和$σ$，存在一个自然代数映射$A(R,σ,tt')\to A(R,σ,t)\otimes_R A(R,σ,t')$ .这给出了模上的张量积运算，在$A(R,σ,t)$的权模范畴的Grothendieck群的直和（在所有$t$上）上产生了环结构。当$n=1,2$.因此，对于$n=1$，TGWA的任何不可分解模都可以写成在通常的Weyl代数上不可分解模的张量积。特别地，$\mathfrak{sl}_2$上的任何有限维单模都是两个Weyl代数模的张量积。
Classifying integral Grothendieck rings up to rank 5 and beyond
本文定义了可范畴化的整Grothendieck环，利用Normaliz工具、Frobenius-Schur指标和Galois理论，完成了秩至5及部分高秩情况的完整分类，并发现了首个非Isaacs整fusion category等新结构。
A note on the Grothendieck ring of the symmetric group
设$p$为素数，$n$为非零自然数。我们计算了代数$R\_n/pR\_n$的降Loewy级数，其中$R\_n$表示对称群$S\_n$的虚普通特征标环.
The Grothendieck Ring of a Family of Spherical Categories
第一作者在[Liu 15]中构造了$\mathbb{C}(q)$上的一个$q$ -参数化球面范畴$\sC$，它的简单对象被所有的Young图所标记.在本文中，我们计算的融合规则的$\sC$，使用Littlewood-Richardson系数，以及字符（包括一个生成函数），使用无穷变量的对称函数的封闭形式的表达式。
Isomorphisms among quantum Grothendieck rings and cluster algebras
该研究为量子loop代数表示的量子Grothendieck环同构建立cluster理论诠释，得到monoidal范畴化定理的量子化，解决非simply-laced量子loop代数相关长期问题并建立量子$T$-系统，还给出同构对应的显式双有理变换替换公式。
The degenerate Heisenberg category and its Grothendieck ring
本研究证明了Khovanov提出的k=-1情形下退化Heisenberg范畴的加法Karoubi包的Grothendieck环与对应Heisenberg李代数泛包络代数的ℤ-形式同构的猜想，并将其推广到任意整数中心荷，还给出了余乘法的范畴化方法。
An Explicit Presentation of the Grothendieck Ring of Finitely Generated F_{q}[SL(2,F_{q})]-Modules
设p是素数，q=p^g。本文证明了n-生成F_{q} [SL（2，F_{q}）]-模的Grothendieck环与多项式代数Z[x]通过f^[g]（x）-x生成的理想的商自然同构，其中f（x）= sum_{j=0} ^{floor（p/2）}（-1）^{j}（p/（p-j））（（p-j）; j）x^{p-2 j}，上标[g]表示多项式的g-重复合.我们猜想，一个类似的结果成立于单连通半单代数群定义和分裂在一个有限域。
Isomorphisms among quantum Grothendieck rings and propagation of positivity
设（$\mathfrak{g},\mathsf{g})$）是一对复有限维单李代数，其Dynkin图通过（不）折叠联系，其中$\mathsf{g}$是简单花边型的.我们分别在$\mathfrak{g}$和$\mathsf{g}$的量子回路代数上构造了有限维表示的么幺半范畴$\mathscr{C}_{\mathfrak{g}}$和$\mathscr{C}_{\mathsf{g}}$的量子Grothendieck环之间的环同构集合。因此，我们解决了长期存在的问题：积极的类似物的Kazhdan-Lusztig多项式和积极的量子Grothendieck环的结构常数的任何非简单的花边$\mathfrak{g}$。此外，将我们的同构与由广义量子仿射Schur-Weyl对偶产生的范畴关系进行比较，我们证明了类似于Kazhdan-Lusztig猜想（在[H.，高级数学，2004]）对于$\mathscr{C}_{\mathfrak{g}}$的显著monoidal子范畴中的简单模，对于任何非单配$\mathfrak{g}$，以及对于$\mathrm{B}_n$类型的$\mathfrak{g}$，对于$\mathscr{C}_{\mathfrak{g}}$中的任何简单有限维模.在证明的过程中，我们获得并结合了几个新的成分。特别地，我们建立了$T$ -系统的量子模拟，并推广了[H.-]的同构Leclerc…
Blocks of the Grothendieck ring of equivariant bundles on a finite group
若$G$是一个有限群，则$G$上的$G$ -等变${\mathbb{C}}$ -向量丛范畴的Grothendieck群${\mathbf{K}}\_G(G)$（对于$G$通过共轭作用于自身）具有（交换）环的结构.若$K$是${\mathbb{Q}}\_{\! p}$的一个充分大扩张，且${\mathcal{O}}$表示${\mathcal{Z}}\_{\! p}$在$K$中的整闭包，则$K$ -代数$K{\mathbf{K}}\_G(G)=K \otimes\_{\mathbb{Z}} {\mathbf{K}}\_G(G)$是分裂半单的.本文的目的是描述${\mathcal{O}}$ -代数${\mathcal{O}} {\mathbf{K}}\_G(G)$的${\mathcal{O}}$ -块.
Tensor products of Leibniz bimodules and Grothendieck rings
本文定义了三种李代数双模张量积概念，引入弱双模修正自然张量积问题，并证明其诱导非结合乘法，揭示有限维李代数双模范畴的格罗滕迪克环性质。
Quantization of virtual Grothendieck rings and their structure including quantum cluster algebras
本文证明Kashiwara–Oh引入的量子虚拟Grothendieck环$\mathfrak{K}_q(\mathfrak{g})$具有斜可对称化型量子cluster代数结构，通过构造特异基、推广量子$T$-系统建立交换关系，并引出量子正性相关猜想。
Braid group action on quantum virtual Grothendieck ring through constructing presentations
本文通过构造量子虚拟格罗滕迪克环的展示，证明其可视为幂幺量子坐标代数的玻色子扩张，并利用Dynkin箭图反射诱导的自同构建立了辫子群作用。
A presentation of the torus-equivariant quantum $K$-theory ring of flag manifolds of type $A$, Part II: quantum double Grothendieck polynomials
本文证明了量子双重Grothendieck多项式在A型旗流形的环面等变量子K-理论环的呈现中代表对偶Schubert类，其关键工具是半无限Schubert类的显式公式。
Locally finitely presented Grothendieck categories and the pure semisimplicity conjecture
本文研究局部有限呈现的纯半单格罗滕迪克范畴与左纯半单环之间的等价关系，并扩展了Auslander和Ringel-Tachikawa对应到左纯半单环类。
On the Grothendieck ring of a quasireductive Lie superalgebra
本文研究李超代数模到极大拟环面子代数的限制，重点分析 $\mathfrak{q}_n$ 及其 Cartan 子代数情形，并给出超特征标环的显式实现等性质。
Monoidal categories of modules over quantum affine algebras of type A and B
构造了一个从$A_\infty$型量子仿射代数上的有限维分次模范畴$\mathcal{A}$到$B^{(1)}_n$型量子仿射代数上的有限维可积模范畴$\mathscr C_{B^{(1)}_n}$的正合张量函子.它通过类别$\mathcal T_{2n}$进行分解，这是$\mathcal{A}$的本地化。结果，这个函子导出了从$\mathcal T_{2n}$的Grothendieck环（忽略分次）到$\mathscr C_{B^{(1)}_n}$的子范畴$\mathscr C^{0}_{B^{(1)}_n}$的Grothendieck环的环同构。此外，它导致了简单对象类之间的双射。由于范畴$\mathcal T_{2n}$与$A^{(t)}_{2n-1}$型量子仿射代数的范畴$\mathscr C^{0}_{A^{(t)}_{2n-1}}$ $(t=1,2)$有关，我们得到了$A$型和$B$型量子仿射代数上的模范畴之间的一个有趣的联系.也就是说，对于每个$t =1,2$，在$\mathscr C^{0}_{A^{(t)}_{2n-1}}$的Grothendieck环和$\mathscr C^{0}_{B^{(1)}_n}$的Grothendieck环之间存在同构，这导致了单模类之间的双射。
A quantum cluster algebra approach to representations of simply-laced quantum affine algebras
本文在单格量子仿射代数的有限维表示范畴的某个monoidal子范畴的量子Grothendieck环上建立了量子簇代数结构。此外，还得到了某些不可约表示的（q，t）-特征标作为量子簇变量，其中包括基本表示.这种方法给出了计算这些（q，t）-特征标的新算法。作为一个应用，我们证明了量子仿射代数的Borel子代数的一个更大的表示范畴的量子Grothendieck环，在以前的工作中定义为量子簇代数，确实包含了著名的量子Grothendieck环的有限维表示范畴。最后，我们展示了我们的算法上的一个具体的例子。
Monoidal Jantzen filtrations
本文引入单子框架下的Jantzen滤子，导致Grothendieck环乘法的变形，并证明其可结合性，从而量化Grothendieck环并得到Kazhdan-Lusztig多项式类比。
The central sheaf of a Grothendieck category
阿贝尔范畴$\mathcal{A}$的中心$Z(\mathcal{A})$是该范畴上的单位函子的自同态环。Grothendieck范畴$\mathcal{C}$的局部化子范畴称为稳定的，如果它在本质扩张下是稳定的。$\mathcal{C}$的稳定局部化子范畴集$\mathbf{L}^{st}(\mathcal{C})$在逆包含下是偏序的.证明了$\mathcal{L} \mapsto Z(\mathcal{C}/\mathcal{L})$定义了$\mathbf{L}^{st}(\mathcal{C})$上关于有限覆盖的交换环层.当$\mathcal{C}$被假定为局部诺特，我们还表明，层条件成立的任意覆盖。
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