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关于轮换排列模式避免的一个猜想

On a conjecture about pattern avoidance of cycle permutations

Junyao Pan

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AI总结：

本文研究轮换排列的模式避免问题，证明了对称群中单行形式避免2431且所有轮换形式避免1324的轮换排列数量为第(n-1)个Pell数，肯定回答了Archer等人的猜想。

摘要：

设 $π$ 为一个轮换排列，可表示为单行形式 $π= π_1π_2 \cdot\cdot\cdot π_n$ 和轮换形式 $π= (c_1,c_2, ..., c_n)$。Archer 等人引入了轮换排列 $π$ 的单行和所有轮换形式的模式避免概念，定义为 $π_1π_2 \cdot\cdot\cdot π_n$ 及其任意轮换形式 $c_ic_{i+1}\cdot\cdot\cdot c_nc_1c_2\cdot\cdot\cdot c_{i-1}$ 避免给定模式。设 $\mathcal{A}^\circ_n(σ; τ)$ 表示对称群 $S_n$ 中单行形式避免 $σ$ 且所有轮换形式避免 $τ$ 的轮换排列集合。本文证明了对任意正整数 $n$，$|\mathcal{A}^\circ_n(2431; 1324)|$ 为第 $(n-1)$ 个 Pell 数。由此对 Archer 等人的猜想给出了肯定回答。

英文摘要：

Let $π$ be a cycle permutation that can be expressed as one-line $π= π_1π_2 \cdot\cdot\cdot π_n$ and a cycle form $π= (c_1,c_2, ..., c_n)$. Archer et al. introduced the notion of pattern avoidance of one-line and all cycle forms for a cycle permutation $π$, defined as $π_1π_2 \cdot\cdot\cdot π_n$ and its arbitrary cycle form $c_ic_{i+1}\cdot\cdot\cdot c_nc_1c_2\cdot\cdot\cdot c_{i-1}$ avoid a given pattern. Let $\mathcal{A}^\circ_n(σ; τ)$ denote the set of cyclic permutations in the symmetric group $S_n$ that avoid $σ$ in their one-line form and avoid $τ$ in their all cycle forms. In this note, we prove that $|\mathcal{A}^\circ_n(2431; 1324)|$ is the $(n-1)^{\rm{st}}$ Pell number for any positive integer $n$. Thereby, we give a positive answer to a conjecture of Archer et al.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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