arXivDaily arXiv每日学术速递 周一至周五更新
arXiv 2409.02812math.CO
收藏

在稀疏随机图中打包与寻找路径

Packing and finding paths in sparse random graphs

Vesna Iršič, Julien Portier, Leo Versteegen

备注：
18 pages
阅读 PDF
arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

AI总结：

本文证实了Ferber等人关于稀疏Erdős-Rényi随机图中揭示长路径所需查询次数可去掉对数因子的猜想，并借助随机带标签树中路径打包的新结果，部分回答了边不相交长路径覆盖顶点数的相关问题。

摘要：

设 $G\sim G(n,p)$ 为一个（隐藏的）Erdős-Rényi 随机图，其中 $p=(1+ \varepsilon)/n$，$\varepsilon>0$ 为某个固定常数。Ferber、Krivelevich、Sudakov 和 Vieira 证明了：若要以高概率在 $G$ 中揭示一条长度为 $\ell=Ω\left(\frac{\log(1/ \varepsilon)}{ \varepsilon}\right)$ 的路径，则必须查询 $G$ 中 $Ω\left(\frac{\ell}{p \varepsilon\log(1/ \varepsilon)}\right)$ 对顶点的邻接关系，其中每次查询可以依赖于此前所有查询的结果。他们的结果在 $\ell$ 和查询次数两方面都在 $\log(1/ \varepsilon)$ 因子范围内是紧的，并且他们猜想这个因子可以被去掉。我们证实了他们的猜想。我们证明中的主要成分是一个关于随机带标签树中路径打包的结果，该结果具有独立的研究意义。利用这一结果，我们还对 Ferber、Krivelevich、Sudakov 和 Vieira 提出的一个相关问题给出了部分回答。即我们证明：当 $\ell=o\left((t/\log t)^{1/3}\right)$ 时，在大小为 $t$ 的随机带标签树中，由长度至少为 $\ell$ 的边不相交路径所覆盖的最大顶点数以高概率为 $Θ(t/\ell)$。

英文摘要：

Let $G\sim G(n,p)$ be a (hidden) Erdős-Rényi random graph with $p=(1+ \varepsilon)/n$ for some fixed constant $ \varepsilon >0$. Ferber, Krivelevich, Sudakov, and Vieira showed that to reveal a path of length $\ell=Ω\left(\frac{\log(1/ \varepsilon)}{ \varepsilon}\right)$ in $G$ with high probability, one must query the adjacency of $Ω\left(\frac{\ell}{p \varepsilon\log(1/ \varepsilon)}\right)$ pairs of vertices in $G$, where each query may depend on the outcome of all previous queries. Their result is tight up to the factor of $\log(1/ \varepsilon)$ in both $\ell$ and the number of queries, and they conjectured that this factor could be removed. We confirm their conjecture. The main ingredient in our proof is a result about path-packings in random labelled trees of independent interest. Using this, we also give a partial answer to a related question of Ferber, Krivelevich, Sudakov, and Vieira. Namely, we show that when $\ell=o\left((t/\log t)^{1/3}\right)$, the maximum number of vertices covered by edge-disjoint paths of length at least $\ell$ in a random labelled tree of size $t$ is $Θ(t/\ell)$ with high probability.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

↑