Randomized derivative-free Milstein algorithm for efficient approximation of solutions of SDEs under noisy information
研究了在关于漂移和扩散系数的信息噪声存在下标量随机微分方程解的逐点逼近问题。我们定义了Milstein算法的一个随机化的无导数版本$\mathcal{\bar A}^{df-RM}_n$并研究了它的误差。我们还研究了任意算法误差的下界。结果表明，在某些情况下，方案$\mathcal{\bar A}^{df-RM}_n$是最优的.最后，为了在实践中测试算法$\mathcal{\bar A}^{df-RM}_n$，我们报告了所进行的数值实验。
2019-12-14 cs.NA math.NA
Strong convergence of an adaptive time-stepping Milstein method for SDEs with monotone coefficients
对不满足交换性条件的随机微分方程提出了一种显式自适应Milstein方法.漂移和扩散分别是局部Lipschitz的，并且一起满足单调条件。这种方法依赖于一类路径有界的时间步进策略，其工作原理是当解决方案接近球体的边界时减小步长，在时间步长变得太小的情况下调用backstop方法。我们证明了这类格式是一阶强$L_2$收敛的。在加性噪声的情况下，该顺序由显式自适应Euler-Maruyama方案继承。此外，我们表明，在任何步骤中使用的backstop方法的概率可以任意小。我们比较我们的方法与其他固定步骤的Milstein变种的一系列测试问题。
2022-11-19 cs.NA math.NA
Semi-implicit Milstein approximation scheme for non-colliding particle systems
Hanoi National University of Education（河内国家师范大学）
本文提出了一种用于非碰撞粒子系统的半隐式Milstein近似方案，该方案基于具有非常数扩散系数的随机微分方程模型，并证明了该方案在均方意义下以阶1收敛。
2019-05-26 cs.NA math.NA math.PR
Convergence, Non-negativity and Stability of a New Milstein Scheme with Applications to Finance
University of Strathclyde（斯特拉斯克莱德大学）；University of Oxford（牛津大学）
提出一种双隐式Milstein格式用于模拟具有高度非线性系数的随机微分方程，证明了其强收敛性、非负性保持以及线性/非线性稳定性，并应用于金融模型。
2012-04-07 cs.NA math.NA
Strong error analysis and first-order convergence of Milstein-type schemes for McKean-Vlasov SDEs with superlinear coefficients
School of Mathematics and Statistics, HNP-LAMA, Central South University（中南大学数学与统计学院，HNP-LAMA）
针对含超线性漂移与扩散系数的 McKean-Vlasov SDE，本文提出统一的 Milstein 型离散化框架，证明相互作用粒子系统的一阶强收敛性，并以数值实验验证。
2025-10-19 cs.NA math.NA
On Explicit Tamed Milstein-type scheme for Stochastic Differential Equation with Markovian Switching
当漂移系数超线性增长时，我们提出了一个新的具有马尔可夫切换的随机微分方程的驯服Milstein型格式。强收敛速率被证明是等于$1.0$下温和的规律性（如一次可微）的漂移和扩散系数的要求。新技术的开发，以解决双重困难，由于跳跃的马尔可夫链和减少的规律性要求的系数。
2019-09-17 cs.NA math.NA math.PR
Mean-square convergence rates of implicit Milstein type methods for SDEs with non-Lipschitz coefficients
针对一类具有非全局Lipschitz漂移和扩散系数的随机微分方程，引入并分析了一类隐式Milstein型方法.通过在漂移和扩散部分引入一对方法参数$θ, η\in [0, 1]$，新格式实际上是一种漂移-扩散双隐式方法。在一个一般的框架内，我们提供了上均方误差界的建议计划，基于某些误差项只涉及精确的解决方案的过程。这样的误差界有助于我们很容易地分析均方收敛速度的计划，而不依赖于先验高阶矩估计的数值逼近。通过进一步的全局多项式增长条件，我们成功地恢复了所考虑的方案与$θ\in [\tfrac12, 1], η\in [0, 1]$的期望均方收敛速度的一阶。此外，所提出的一些计划被应用到解决三个模型的发展，在积极的领域$(0, \infty)$。更具体地说，特殊的漂移扩散隐式Milstein方法（$ θ= η= 1 $）被用来近似的赫斯顿$\tfrac32$ -波动率模型和随机Lotka-Volterra竞争模型。采用半隐式Milstein方法（$θ=1, η= 0$）求解Ait-Sahalia利率模型。由于先前获得的误差界，我们揭示了最佳的均方收敛速度的正性保持计划在更宽松的条件下，与现有的文献中的相关结果相比。数值例子也证实了以前的研究结果。
2023-03-19 cs.NA math.NA math.PR
Error of randomized Milstein scheme for scalar SDEs with noisy information about coefficients and Wiener process
NVIDIA Corp.（英伟达公司）；AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）
本文研究含噪信息下标量SDE的强逼近问题，提出基于含噪漂移、扩散及Wiener路径信息的随机Milstein格式，证明其$L^r$误差界及匹配极小极大下界，验证该格式为极小极大阶最优。
2026-08-03 cs.NA math.NA math.PR
The Milstein scheme for singular SDEs with Hölder continuous drift
针对仅具Hölder连续漂移项的奇异SDE，研究Milstein格式的$L^p$收敛速率，借助噪声正则化尤其是随机缝合法，在扩散项椭圆且正则时得到与加性噪声情形一致的速率，其所需的格式分布精确估计也具独立价值。
2024-12-11 cs.NA math.NA math.PR
On Explicit Milstein-type Scheme for Mckean-Vlasov Stochastic Differential Equations with Super-linear Drift Coefficient
利用Lions引入的测度导数的概念，并在\cite{cardaliaguet2013}中讨论了McKean-Vlasov随机微分方程的Milstein型显式格式.允许漂移系数在空间变量中超线性增长。此外，漂移和扩散系数都被假定为在对应于空间和测量的变量中仅一次可微。强收敛的速度被证明是等于$1.0$没有使用伊藤公式的功能取决于措施。由于系数对测度的依赖性所带来的挑战得到了解决，我们的研究结果与随机微分方程的类似结果是一致的。
2020-04-02 cs.NA math.NA math.PR
Strong convergence rates of stochastic theta Milstein methods for index-1 stochastic differential algebraic equations under non-globally Lipschitz conditions
School of Mathematics and Statistics, Yunnan University（云南大学数学与统计学院）；School of Statistics and Data Science, Jiangxi University of Finance and Economics（江西财经大学统计与数据科学学院）
本文针对指标1随机微分代数方程，提出结构保持的随机theta Milstein方法，在非全局Lipschitz条件下证明其强一阶收敛并保持代数约束，数值实验验证了理论结果。
2026-09-15 cs.NA math.NA
A comparative linear mean-square stability analysis of Maruyama- and Milstein-type methods
Maxwell Institute and Heriot-Watt University（麦克斯韦研究所和爱丁堡赫特瓦特大学）
本文通过扩展的线性测试方程，比较了Theta-Maruyama和Theta-Milstein方法在求解随机微分方程时的均方稳定性，发现Milstein型方法的稳定性条件更严格且依赖于噪声项，并引入部分隐式扩散近似以控制稳定性。
2010-04-21 cs.NA math.NA math.PR
A Milstein scheme for SPDEs
Princeton University（普林斯顿大学）；Bielefeld University（比勒费尔德大学）
本文提出了无限维Milstein格式，通过引入无限维交换性条件，对乘性迹类噪声的半线性SPDE实现了高效模拟，数值实验表明计算量显著减少。
2012-01-27 cs.NA math.AP math.NA
Stochastic C-stability and B-consistency of explicit and implicit Milstein-type schemes
Universität Bielefeld（比勒费尔德大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
本文研究了两种Milstein方案在满足全局单调性条件的随机微分方程中的随机C稳定性与B一致性，证明了其均方收敛性，并展示了在加性噪声情况下split-step backward Euler方法和projected Euler-Maruyama方案的强收敛性。
2016-08-01 cs.NA math.NA math.PR
A higher order approximation method for jump-diffusion SDEs with discontinuous drift coefficient
本文针对不连续漂移跳扩散 SDE 提出首个基于变换的跳跃适应拟 Milstein 高阶格式，并证明其 $L^p$ 收敛阶为 3/4，特殊情形可达 1 阶。
2023-12-05 cs.NA math.NA math.PR
An Antithetic Multilevel Monte Carlo-Milstein Scheme for Stochastic Partial Differential Equations with non-commutative noise
本文将有限维对偶Milstein格式推广到Hilbert空间值SPDE，提出截断Milstein时间步进与对偶耦合结合的多层蒙特卡洛方法，在不引入额外偏差的前提下显著降低计算复杂度。
2025-04-14 cs.NA math.NA math.PR
Strong Convergence for Euler-Maruyama and Milstein Schemes with Asymptotic Method
Graduate School of Science and Engineering, Ritsumeikan University（立命馆大学理工学研究科）；Graduate School of Economics, The University of Tokyo（东京大学经济学研究科）；Mitsubishi UFJ Trust Investment Technology Institute Co., Ltd. (MTEC)（三菱UFJ信托投资技术研究所有限公司）
针对受扰随机微分方程，研究加速Euler-Maruyama格式的强收敛性，并扩展至Milstein格式，应用于多层级蒙特卡洛方法分析，通过SABR随机波动率模型数值实验验证效率。
2013-11-29 cs.NA math.NA math.PR
Strong order 1 adaptive approximation of jump-diffusion SDEs with discontinuous drift
本文提出了一种强阶1自适应逼近方案，用于解决具有不连续漂移的跳扩散SDEs问题，通过双适应策略提升收敛性。
2026-03-09 cs.NA math.NA math.PR
Unconditionally positivity-preserving approximations of the Ait-Sahalia type model: Explicit Milstein-type schemes
针对金融领域广义Aït-Sahalia型模型数值离散难的问题，结合隐式项与校正映射构建显式无条件保正Milstein型格式，证明其一阶均方收敛性，可支撑多层蒙特卡洛方法的最优复杂度，且经数值实验验证。
2024-07-12 cs.NA math.NA
Lower error bounds and optimality of approximation for jump-diffusion SDEs with discontinuous drift
本文针对带不连续漂移项的跳扩散SDEs，证明了非自适应与跳自适应逼近格式均具有3/4阶下误差界，从而确立了基于变换的跳自适应拟Milstein格式的最优性。
2023-12-05 cs.NA math.NA
Optimal sampling design for global approximation of jump diffusion SDEs
AGH University of Science and Technology（AGH科技大学）
本文研究了由非齐次泊松过程和维纳过程驱动的随机微分方程的强全局近似问题，通过分析跳扩散系数满足跳跃交换条件时，基于有限观测的采样方法的最小误差收敛率，并提出基于经典米尔斯坦方案的最优方法，证明非等距采样方法比等距采样方法更高效。
2017-01-28 cs.NA math.NA
On explicit order 1.5 approximations with varying coefficients: the case of super-linear diffusion coefficients
School of Mathematics（数学学院）；The University of Edinburgh（爱丁堡大学）
本文验证了关于通过特定方式构造高阶显式数值方案近似解的猜想，针对阶1.5的近似情况，展示了所提方法的有效性，并探讨了扩散系数的Hölder连续导数情况。
2018-09-13 cs.NA math.NA math.PR
Strong Convergence Rates for Cox-Ingersoll-Ross Processes - Full Parameter Range
Technische Universität Kaiserslautern（凯泽斯劳滕工业大学）
本文研究Cox-Ingersoll-Ross过程的路径近似，提出一种截断的Milstein型方案，证明了在全参数范围内包括可接近边界区域的多项式收敛速率。
2016-08-01 cs.NA math.NA
Higher-order adaptive methods for exit times of Itô diffusions
构造了伊藤随机微分方程（SDE）退出时间强逼近的高阶自适应方法。该方法采用一种强Ito-Taylor格式来模拟非线性路径，并在解接近区域边界时自适应地减小数值积分的步长。这些技术可以很好地相互补充：自适应时间步进通过减少退出域时数值解的过冲幅度来提高退出时间的精度，高阶格式提高了扩散过程状态的近似。我们提出了两个版本的高阶自适应方法。第一种方法采用Milstein格式作为数值积分器，采用两种步长进行自适应时间推进：远离边界时采用$h$，靠近边界时采用$h^2$。第二种方法是第一种方法的推广，使用1.5阶的强Ito-Taylor格式作为数值积分器，并使用三种步长进行自适应时间推进。对于任何$ξ>0$，我们证明了强错误是有界的$\mathcal{O}(h^{1-ξ})$和$\mathcal{O}(h^{3/2-ξ})$的第一和第二种方法，分别为，和预期的计算成本为两种方法是$\mathcal{O}(h^{-1} \log(h^{-1}))$。理论结果支持数值例子，我们讨论了潜在的扩展，提高强收敛速度，甚至进一步。
2022-11-16 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo methods for positivity-preserving approximations of the Heston 3/2-model
本文针对金融领域Heston 3/2模型的期望逼近问题，提出显式无条件保正的Milstein型离散格式，证明其非全局利普希茨下的一阶均方收敛性，验证了多层蒙特卡洛方法的$\mathcal{O}(\varepsilon^{-2})$最优复杂度，数值结果与理论一致。
2024-03-09 cs.NA math.NA
A seamless, extended DG approach for advection-diffusion problems on unbounded domains
提出并分析了半无限区域上对流-扩散方程的无缝扩展间断Galerkin（DG）离散方法。半无限的射线被分成一个有限的子域，模型使用一个标准的多项式基础，和一个半无界子域的缩放Laguerre函数作为基础和检验函数。数值通量使两个子域之间的界面处的耦合，以相同的方式作为标准的单域DG interelement通量。一种新的线性分析的扩展DG模型产生无条件稳定的Péclet数。由于在域的不同部分上使用不同的基函数集而产生的误差可以忽略不计，这在线性对流扩散和粘性Burgers方程的数值实验中得到了强调。通过在半无限子域上增加阻尼项，扩展框架能够有效地模拟吸收边界条件，而无需在界面处附加条件。在半无限子域的几个模式被发现足以处理传出的单波和波训练信号更准确地比标准的方法在给定的计算成本，从而提供了一个有吸引力的模型在无界区域的流体流动模拟。
2021-07-22 cs.NA math.NA
First- and Half-order Schemes for Regime Switching Stochastic Differential Equation with Non-differentiable Drift Coefficient
本文针对状态切换随机微分方程提出显式一阶漂移随机化Milstein格式，在不可微漂移条件下证明其1.0强收敛速率，并分析半阶变体格式的收敛性及数值表现。
2025-03-09 cs.NA math.NA math.PR
eXtended Hybridizable Discontinous Galerkin (X-HDG) Method for Linear Convection-Diffusion Equations on Unfitted Domains
本文提出 XHDG 方法，将 HDG 扩展到由水平集定义边界的非拟合网格上，通过修正切割单元双线性形式并引入可消去的边界迹变量，在保持高阶收敛的同时免除贴体网格限制。
2023-05-31 cs.NA math.NA
A Variational Framework for the Thermomechanics of Gradient-Extended Dissipative Solids -- with Applications to Diffusion, Damage and Plasticity
本文提出了一个通用的框架，固体经历非等温过程，在大应变的微观结构不可逆地改变。它概述了率型和增量变分原理的梯度扩展耗散材料中的完全热力耦合。它表明，这些原则产生欧拉方程基本上的宏观和微观平衡，以及能量方程。出发点是将熵和熵率作为正则参数纳入本构能量和耗散函数，它们分别取决于梯度扩展的力学状态及其速率。利用（广义）勒让德变换，可以构造出具有热力和机械驱动力的广义变分原理。在热力学方面，严格区分与熵共轭的量和与熵率共轭的量是必要的。当考虑可能的温度依赖性阈值机制时，具有机械驱动力的制剂特别合适。关于变分一致的增量，我们提出了一个更新计划，使确切的形式的内在耗散，是非常适合考虑绝热过程。结果表明，该算法具有算子分裂的结构。为了强调所提出的框架的广泛适用性，我们建立了三个模型问题的应用程序：Cahn-Hilliard扩散与温度演变，在那里我们提出了一个新的变分原理的物种通量矢量，以及梯度损伤和梯度塑性的热力学。在一个数值例子中，我们研究了交叉剪切带的形成。
2022-04-10 cs.NA math.NA
Green's function estimates for a 2d singularly perturbed convection-diffusion problem: extended analysis
本文提出了一个扩展版本的文章[弗朗茨，S.，Kopteva，N.：J.微分方程，252（2012）]。与后者相比，主要的改进在于，在这里我们还估计了格林函数的混合二阶导数。沿特征边界的Neumann条件的情况下也得到解决。在单位正方形内提出了一个对流方向为水平的对流-扩散问题的奇摄动问题.它的解决方案显示抛物线和指数边界层。格林函数及其一阶和二阶导数的尖锐估计来自$L_1$规范。这些估计的小扩散参数的依赖性显式示出。所获得的估计将用于即将到来的数值分析所考虑的问题。
2022-12-22 cs.NA math.AP math.NA
On the Pre-Asymptotic Stability and Inverse Structure of Extended-Domain Spectral Methods
Institute of Applied Mechanics, National Taiwan University（国立台湾大学应用力学研究所）
本文分析扩展域谱方法的预渐近行为，发现泊松和对流扩散算子的谱配置系统均渐近病态，但对流扩散算子的逆矩阵呈数值拟稀疏性（指数级非对角衰减），解释了其在实际计算中对框架不稳定性更强的鲁棒性。
2026-06-23 cs.NA math.NA
Higher order time discretization method for a class of semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative noise
本文针对带乘性噪声且漂移项仅满足单边Lipschitz条件的半线性随机偏微分方程，提出基于Milstein方法的时间离散与插值有限元空间离散方案，证明近1阶强收敛并给出稳定性与几乎最优收敛阶，数值实验验证了理论结果。
2023-07-07 cs.NA math.NA
An extended Krylov subspace method for decoding edge-based compressed images by homogeneous diffusion
本研究针对基于修复的有损压缩中热方程求解的需求，提出扩展Krylov子空间方法来数值求解热方程，该方法在大时间解的直接计算上高效，适用于通过均匀扩散解码边缘压缩图像。
2025-03-25 cs.IT cs.NA math.IT
