Elliptic cohomology and quantum field theory
Daniel Berwick-Evans
该综述对聚焦椭圆上同调与量子场论的Stolz-Teichner纲领进行了入门介绍。
本综述介绍了关于椭圆上同调与量子场论的Stolz-Teichner纲领。
This survey provides an introduction to the Stolz-Teichner program on elliptic cohomology and quantum field theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Perturbative sigma models, elliptic cohomology and the Witten genus
我们提供了一个微分上循环模型的椭圆上同调与复系数，并使用分析的方法来构建一个上循环代表Witten类在这种语言。我们的动机源于二维域论和椭圆上同调之间的内在联系。Segal和E.威腾我们的建筑的细节是由S。Stolz和P. Teichner关于超欧几里德域论和K. Costello用微扰量子化构造Witten亏格。作为热身，我们证明了超对称量子力学和复系数K-理论的类似结果。
Equivariant Elliptic Cohomology and Rigidity
复系数等变椭圆上同调由Ginzburg，Kapranov和Vasserot公理化地定义，并由Grojnowski构造。给出了S^1-等变椭圆上同调的一个不变定义，并利用它给出了Witten关于椭圆亏格的刚性定理的一个完全上同调证明。我们还陈述并证明了椭圆族的一个刚性定理。
Two-vector bundles and forms of elliptic cohomology
本文定义2-向量丛为底空间上2-向量空间的适当丛，并将所得的2-K-理论与2-向量空间的2-范畴的代数K理论谱K（V），以及连通拓扑K理论谱ku的代数K理论谱K（ku）进行了比较.我们解释了K（ku）如何检测稳定同伦理论中的v_2-周期现象，因此是椭圆上同调的一种形式。
The connection between combinatorics and cohomology of elliptic arrangements
证明了椭圆型排列的上同调代数只依赖于层的偏序集。在特殊的情况下，辫子椭圆安排，我们研究的上同调表示，我们计算一些霍奇数。最后，我们讨论了图椭圆安排的1-形式。
Quasi-elliptic cohomology and its Spectrum
Ginzburg、Kapranov和Vasserot证明了等变椭圆上同调理论的存在性。本文研究了一个中间理论--拟椭圆上同调理论，给出了这些理论的等变谱的描述。本文提出了一类新的正交G-谱，并在其中明确地构造了一个拟椭圆上同调的正交G-谱，这种构造思想可以应用于一族等变上同调理论，包括Tate K-理论和广义Morava E-理论.此外，这种构造提供了从整体谱范畴到正交G-谱范畴的函子。此外，还得到了整体同伦理论对于构造整体椭圆上同调理论的一些新的认识。
Quantization of the Modular Functor and Equivariant Elliptic cohomology
给定一个单连通紧李群G，设M是G-空间。我们描述了在给定的水平和参数化的闭路空间LM上的环群G的正能量表示范畴的量子化。这个过程是描述在占主导地位的K-理论的环组评估的相空间上给出的切丛的基本规范场约一个圆（参数化LM和规范对称性给出的环组LG）。因此，我们的建设产生了一个（分类）BV-BRST型量子化的合理的2D CFTs的规范对称性参数化超过M的家庭。更具体地说，我们构造了一个泛椭圆曲线上的全纯层，其值在闭路空间LM的优势K-理论中，并证明了这个层的每一个茎都是M的上同调函子。我们也解释这个理论作为一个模型的等变椭圆上同调的M所构建的Grojnowski和其他。
The Witten genus and equivariant elliptic cohomology
我们构造了复等变椭圆上同调的Thom类，推广了等变Witten亏格.这给出了一个新的证明刚性的威滕属，表现出密切的关系，最近的工作非等变方向的椭圆谱。
Isogenies of supersingular elliptic curves over finite fields and operations in elliptic cohomology
利用有限域上超奇椭圆曲线的同构，研究了超奇异椭圆上同调的稳定运算。我们的主要结果提供了一个框架，在这个框架中，我们给出了一个概念上简单的证明的椭圆上同调版本的Morava环定理的变化，也给出了模型的明确稳定的操作在某些扩大的同构类的同构和态射。我们把我们的工作与G.罗伯特的Hecke代数结构的环超奇异模形式。
On the cohomology of elliptic coformal spaces
本文完成有理椭圆余形式空间上卢普顿猜想的证明，并由此推导出希拉利猜想。
Equivariant elliptic cohomology, toric varieties, and derived equivalences
本文研究复环面簇的等变椭圆上同调。我们证明了一个部分重建定理表明，等变椭圆上同调编码相当多的非平凡信息的等变1-骨架的环面品种X（虽然它停止短的是一个完整的不变的GKM图）。椭圆上同调被认为是编码更高的范畴几何数据，并建议已取得联系椭圆上圈范畴化丛。特别是，与普通上同调和K-理论相反，椭圆上同调预计不是代数簇的导出不变量。我们的第二个主要结果是验证这一预测表明，存在对等变衍生的等价环面品种与非同构等变椭圆上同调。
Twisted Real quasi-elliptic cohomology
本文构造了圈群胚的扭实拟椭圆上同调作为扭KR-理论。该理论系统地结合了循环旋转和反射。在建立了理论的基本性质后，我们构造了扭曲椭圆庞特里亚金字符和，没有扭曲，真正的类似物的字符串功率操作的准椭圆上同调。我们还探讨了该理论与泰特曲线的关系。
Elliptic Dynamical Quantum Groups and Equivariant Elliptic Cohomology
我们定义了一个椭圆版本的稳定的包络的Maulik和Okounkov的等变椭圆上同调的余切丛的格拉斯曼。它是Aganagic和Okounkov提出的构造的一个版本，基于权函数和洗牌产品。构造了与$\mathfrak{gl}_2$相关的动力椭圆量子群在格拉斯曼余切丛并的等变椭圆上同调上的作用。引入了椭圆量子群的生成元作为容许丛截面上的差分算子的概念。
Equivariant Elliptic Cohomology and Mapping Stacks
本文引入一种新的叠上同调理论——椭圆Hochschild同调，证明其基本性质并计算若干例子，进而引入周期循环版本，证明在复数域上对商叠恢复Grojnowski的解析化等变椭圆上同调。
A construction of complex analytic elliptic cohomology from double free loop spaces
我们构建了一个复杂的分析版本的等变上同调理论出现在最近的一篇论文中的Rezk，这是大致仿照双自由闭路空间的Borel等变上同调。该结构定义在有限的环面等变CW复体上，并在复椭圆曲线的模堆叠上的相干全纯层中取值。我们的方法涉及一个逆极限建设的双自由循环空间的所有有限维subcomplex，以下类似的建设Kitchloo单自由闭路空间。我们证明了，对于任何给定的复椭圆曲线$\mathcal{C}$，我们在$\mathcal{C}$上构造的纤维同构于与$\mathcal{C}$相关的Grojnowski等变椭圆上同调理论。
Rational circle-equivariant elliptic cohomology of CP(V)
我们计算CP（V）的有理$T$ -等变椭圆上同调，其中$T$是圆群，CP（V）是有限维复$T$ -表示V的复线的$T$ -空间。从复数上的椭圆曲线C和单位元周围的坐标数据开始，我们通过证明[Gre 05]中建立的$T$ -等变椭圆上同调理论$EC_T$，和[Bar 22]中建立的$T^2$ -等变椭圆上同调理论$EC_{T^2}$是1 × $T$ -分裂的.这个结果使我们能够减少计算$EC_T(CP(V))$的计算$T^2$ -椭圆上同调的领域的复杂表示，已经在[巴22]。
Quasi-Elliptic Cohomology I
拟椭圆上同调是椭圆上同调理论的一个变种。它是常环空间的轨道K-理论。对于整体商轨道，它可以用等变K-理论表示。因此，其上的构造可以以整洁的方式进行。这一理论反映了泰特曲线的几何性质。本文系统地介绍了它的结构和定义。
Hecke operators in equivariant elliptic cohomology and generalized moonshine
本文研究了广义月光和椭圆上同调之间的联系，重点是Hecke对应的作用及其对可复制性概念的影响。
Algebraic elliptic cohomology theory and flops, I
我们将来自Krichever的椭圆亏格的代数椭圆上同调理论定义为任意完满域上光滑簇的定向上同调理论。证明了在有理系数的代数配边环中，经典触发器的差生成的理想与Krichever椭圆亏格的核一致。这推广了B.在复杂的分析环境中。
Quasi-Elliptic Cohomology and its Power Operations
拟椭圆上同调是Tate K-理论的一个变体。它是常环空间的轨道K-理论。对于整体商轨道，它可以用等变K-理论表示。在本文中，我们展示了这个理论是如何配备电源操作。我们还证明了对称群模某个转移理想的Tate K-理论对Tate曲线的有限子群进行了分类。
A de Rham model for complex analytic equivariant elliptic cohomology
我们构造了一个复解析等变椭圆上同调的上循环模型，该模型改进了Grojnowski的理论，当群是连通的，Devoto的理论，当群是有限的。然后，我们构造Mathai-奎伦型上循环等变椭圆欧拉和托姆类，解释这些是如何相关的正能量表示的循环群。最后，我们表明，这些类给出了一个独特的等变细化霍普金斯的“立方体定理”建设的${\rm MString}$ -方向的椭圆上同调。
Twisted equivariant quasi-elliptic cohomology and M-brane charge
本文提出了一种扭曲的准椭圆上同调理论，用于研究M膜电荷与D膜电荷在扭曲等价K理论中的关系。
Looijenga line bundles in complex analytic elliptic cohomology
我们给出了一个计算，它显示了如何复解析椭圆曲线的模自然产生的Borel上同调的一个扩展的模空间的$U(1)$ -丛环面。此外，我们展示了如何类似的计算，适用于模空间的主丛的$K(\mathbb{Z},2)$中心扩展的$U(1)^d$产生Looijenga线丛。然后，我们推测这些计算的关系，以建设复杂的解析等变椭圆上同调。
Elliptic cohomology is unique up to homotopy
同伦理论的民间传说告诉我们，定义拓扑模形式的上同调理论Tmf的层在同伦之前是唯一的。在这里，我们提供了一个证明这一事实，虽然我们声称没有独创性的声明。这追溯性地调和了Tmf的所有以前的构造。
Equivariant elliptic cohomology and the 2-loop groupoid
本文遵循 Rezk 的提纲，为任意紧 Lie 群构造复解析等变椭圆上同调，证明其基本性质，并以二维环面主丛群胚的轨道范畴参数化，推广 Grojnowski 的构造。
Moonshine elements in elliptic cohomology
这是一个历史性的谈话最近合流的两条线的研究在等变椭圆上同调，一个有关连接李群，其他与有限的情况。这些主题在N. Ganter，将McKay-Thompson级数的可复制性与指数上同调运算理论联系起来。
Adelic Descent for Equivariant Elliptic Cohomology
本文通过阿代尔下降定义了特征零域上紧李群的等变椭圆上同调，并给出奇异上同调与K理论的阿代尔描述，完成Roşu提出的计划，进而得到与导出代数几何中周期循环同调理论的比较结果。
Quasi-elliptic cohomology of 4-spheres
本文针对 Sati–Schreiber 提出的拟椭圆上同调，计算4维球面在与 M5 膜位置相关的有限迷向群作用下的拟椭圆上同调，以推进其作为等变第4上同伦逼近的研究。
Calculating the Mordell-Weil rank of elliptic threefolds and the cohomology of singular hypersurfaces
本文提出计算二元有理函数域上一般椭圆曲线秩的新方法，将其转化为加权射影4-空间中奇异超曲面的上同调计算，并推广了Dimca的孤立奇点结果。
M Theory, Type IIA Superstrings, and Elliptic Cohomology
M理论配分函数的拓扑部分被威滕证明可以用11维E8丛的指数来编码。然而，该配分函数并非自动无异常。我们在这里观察到，在IIA和紧化M理论配分函数中Diaconescu-Moore-Witten反常的消失W_7=0等价于时空关于（复取向）椭圆上同调的可定向性。受此启发，我们定义了一个椭圆上同调修正的IIA配分函数，并提出了它的关系2-膜和5-膜之间的相互作用的M-理论极限。
Comparison theorems for torus-equivariant elliptic cohomology theories
1994年，Grojnowski给出了复数上椭圆曲线的等变椭圆上同调理论的构造。Grojnowski的建设已经看到了许多应用在代数拓扑和几何表示论，但建设是有点特设，并已显着兴趣的问题，其几何解释。我们表明，有两个全球模型的Grojnowski的理论，揭示了它的几何意义。第一个模型被构造为双自由闭路空间的Borel-等变上同调，并且是Rezk从2016年开始的构造的全纯版本。第二个模型被构造为自由闭路空间的圈群-等变K-理论，并且是Kitchloo在2014年给出的构造的轻微修改，其动机是共形域论中的思想。我们调查每个模型的属性，并表明，每个同构的Grojnowski的理论，对于任何给定的椭圆曲线。
Rational S^1-equivariant elliptic cohomology
对于有理数上的椭圆曲线A，我们构造了一个2-周期S^1-等变上同调理论E，其上同调环是A的层上同调;表示z^n的球面同调是阶除n的点的除数A（n）的上同调。构造过程使用作者的AMS Memoir ``Rational S^1等变同伦理论的代数模型。并且在A上的函数层方面是自然和明确的。这是一篇起源很长的论文的5.2版（这应该是最终版本）。以下额外的议题首次增加了第四版：（a）周期性和差异处理（b）依赖坐标（c）关系与Grojnowksi的建设，最重要的是，（d）等价之间的导出范畴的O_A-模块和导出范畴EA-模块。第五版包括（e）哈塞平方和（f）解释如何计算EA模块光谱图。
The sigma orientation for analytic circle-equivariant elliptic cohomology
对于Borel-等变第二类为零的虚T-定向T-等变自旋丛，在Grojnowski的等变椭圆上同调中构造了一个标准的Thom同构，它在向量丛的拉回下是自然的，在Whitney和下是指数的.它扩展了复杂的分析情况下的非等变西格玛方向霍普金斯，斯特里克兰，和作者。该结构涉及的西格玛方向的表示论的循环群和Looijenga的加权射影空间，甚至揭示了非等变的情况下。Witten-Bott-Taubes的刚性定理，包括Kefeng Liu的推广如下。
A model for complex analytic equivariant elliptic cohomology from quantum field theory
我们对所有紧李群构造了复解析等变椭圆上同调的整体几何模型。余环由具有背景规范场和$\mathcal{N} = (0, 1)$超对称性的二维sigma模型的场空间上的函数指定。我们还考虑了一个理论的自由费米子值表示的分拆函数是一个部分的行列式线丛。我们确定这一节的（扭曲）等变椭圆欧拉类的表示的上循环代表。最后，我们表明，模量堆栈的$U(1)$规范场进行乘法兼容的复杂的解析群结构的通用（对偶）椭圆曲线，与欧拉类提供了一个选择的坐标。这提供了一个物理表现的椭圆群法律中心的同伦理论建设的椭圆上同调。
$\ell$-adic étale cohomology of the moduli of stable elliptic fibrations
我们确定了$\ell$平展上同调和几何Frobenius的特征值的模量堆叠$\mathcal{L}_{1,12n} := \mathrm{Hom}_{n}(\mathbb{P}^1, \overline{\mathcal{M}}_{1,1})$的稳定椭圆纤维在$\mathbb{P}^{1}$与$12n$节点奇异纤维和一个显着的Weierstrass截面在$\overline{\mathbb{F}}_q$与$\mathrm{char}(\overline{\mathbb{F}}_q) \neq 2,3$。
An algebraic model for rational $T^2$-equivariant elliptic cohomology
从复数上的椭圆曲线C和单位元周围的坐标数据出发，构造了2-环面$T^2$的有理$T^2$ -等变椭圆上同调理论.该理论是通过在代数模型范畴$dA(T^2)$中构造一个对象$EC_{T^2}$来定义的，Greenlees和Shipley将其定义为Quillen-等价于有理$T^2$ -谱。这个结果是对圆的构造[Gre 05]的2-环面的推广。对象$EC_{T^2}$使用来自表面CxC的结构层的Cousin复合体的几何输入直接构建。
Supersymmetric field theories and the elliptic index theorem with complex coefficients
本文提出了一个复系数椭圆上同调的上圈模型，其中二维量子场论的方法可以用来严格地构造上圈。例如，量子化一个向量丛值费米子的理论，会产生一个代表椭圆托姆类的上循环。这构造了椭圆上同调的复化弦定向，它决定了有理弦流形族的向前推进。第二个前推是通过量化超对称$σ$模型来构造的。这两个推进一致，给出了一个精确的物理解释椭圆指数定理与复系数。这不仅精炼了椭圆上同调与二维量子场论之间长期以来的联系，而且提供了进一步的证据。超对称力学中的类似方法恢复了复杂${\rm KO}$理论中Mathai-Quillen Thom形式的路径积分构造，以及定向流形族的$\hat{A}$类的上循环代表。
An algebraic model for rational naive-commutative ring SO(2)-spectra and equivariant elliptic cohomology
给非等变拓扑$E_\infty$ -操作数加上平凡$G$ -作用量，给出了$G$ -空间中的操作数。对于一个$G$ -谱，作为一个代数在这个运算上不提供任何乘法范数映射在同伦群上。这个运算上的代数称为朴素-交换环$G$ -谱。本文以$G=SO(2)$为例，证明了有理$SO(2)$ -谱模型中的交换代数是有理朴素交换环$SO(2)$ -谱.特别是，这适用于显示，$SO(2)$等变上同调相关的椭圆曲线$C$从以前的工作的第二作者表示的$E_\infty$环谱。此外，该$E_\infty$ -环谱上的模范畴等价于椭圆曲线$C$上的层的导出范畴。
Completed K-theory and Equivariant Elliptic Cohomology
Kitchloo和Morava通过研究空间的$S^1$ -等变$K$ -理论的完整版本，给出了一个非常简单的关于泰特曲线上椭圆上同调的图像。几位作者（参见[ABG]，[KM]，[L]）提出，一个等变的版本应该与自由霍普金斯-Teleman（[FHT 1]，[FHT 2]，[FHT 3]）的工作。然而，第一次尝试就遇到了关于捻度、度和上积的明显矛盾。几位作者（cf。[BET]，[G]，[K]）通过将$S^1$ -等变参数解释为复变数并使用全纯性作为完成技术，解决了复数上的问题。本文给出了一个整体工作的解决方案，通过构建一个精心完成的模型$K$ -理论的$S^1$ -等变堆栈，允许某些"收敛”的无限维上循环。
Equivariant elliptic cohomology, gauged sigma models, and discrete torsion
对于有限群$G$，我们证明了具有背景$G$ -对称性的二维超对称σ模型的域上的函数决定复解析$G$ -等变椭圆上同调的上圈.超对称力学中的相似结构决定了复系数等变K理论的上循环。具有有限群的规范理论的路径积分构造了与群同态相关的错向映射。当应用于包含群时，我们得到了Hopkins，Kuhn和Ravenel的诱导特征标公式。对于同态$G\to *$，我们得到了离散挠率规范的Vafa公式.在规范下的等变欧拉类的图像构造依赖于串结构的选择的表示的模形式值不变量。我们说明了非平凡的依赖弦结构的16维表示的克莱因4-组。
The elliptic Weyl character formula
我们计算了部分旗簇G/H的等变椭圆上同调，其中H \subseteq G是等秩的紧连通李群.我们把RO（G）-分次系数Ell_G^* 确定为Looijenga线丛的幂，并证明了沿映射π：G/H - \rightarrow pt的转移可由Weyl-Kac特征公式计算.本文平行处理普通上同调、K-理论和椭圆上同调，整理了[N.Ganter和A.Ram，Elliptic Schubert calculus.正在编写中]。
Comparing tempered and equivariant elliptic cohomology
本文利用导出代数几何构造了 Lurie 与 Gepner–Meier 分别定义的 tempered 上同调与等变椭圆上同调重叠区域的自然等价，并将其应用于证明特定紧李群对应的等变拓扑模形式 G-不动点的可对偶性。
Cyclification of Orbifolds
本文在凝聚高阶拓扑斯理论中将轨形环化严格构造为模叠上的基变换，证明Ganter/Huan扩展惯性群胚是其模型，并应用于ADE-轨形等变Tate-椭圆上同调的扭曲及其与椭圆M5-膜亏格的联系。
Ranks of homotopy and cohomology groups for rationally elliptic spaces and algebraic varieties
本文研究了有理椭圆空间与代数簇同伦群和上同调群的秩，证明了自乘积 Poincaré 多项式及混合 Hodge 结构生成函数值间的不等式，并引入稳定化阈值不变量探讨其与 Hilali 猜想的联系。
Algebraic elliptic cohomology and flops II: $SL$-cobordism
本文研究了任意完备域上Voevodsky运动稳定同伦范畴$k$的代数配边谱$MSL$.利用运动Adams谱序列，我们计算了$MSL$的$η$ -完备化的几何部分（模为对所有素数$l\neq2, char k$都是$l$ -可除的极大子群）.作为应用，我们研究了限制在$MSL$上的具有整系数的Krichever椭圆亏格.我们确定它的图像，并确定其内核作为理想的差异产生的$SL$ -触发器。这一点被B.在复杂的分析环境中。在附录中，我们证明了运动Adams谱序列的一些收敛性质。
Hodge theory for elliptic curves and the Hopf element $ν$
证明了与$2$胞腔复形$Cν$相关的椭圆曲线的模叠加$M_\mathrm{ell}$上的向量丛同构于泛椭圆曲线$\mathcal{E}\to M_\mathrm{ell}$的de Rham上同调层$\mathrm{H}^1_\mathrm{dR}(\mathcal{E}/M_\mathrm{ell})$.我们用它来计算同伦群的$\mathbf{E}_{1}$ -商$\mathrm{tmf} /\!\!/ ν$的$\mathrm{tmf}$由$ν$，称为频谱的“拓扑准模形式”，通过有关其亚当斯-诺维科夫谱序列的上同调的模堆叠的三次曲线与一个选定的分裂的Hodge-de-Rham过滤。
Type II string theory and modularity
从某种意义上说，本文完成了一系列三篇论文。在前两篇论文hep-th/0404013和hep-th/0410293中，我们已经探索了用椭圆上同调改进II型弦论中K-理论配分函数的可能性。在本文中，我们通过定义一个基于10维时空椭圆上同调的完全量子化自由场论，使这一点更加具体。此外，我们描述了一个具体的情况下，这是如何与紧化的F-理论的椭圆曲线导致IIA和IIB理论。我们提出了一个解释的椭圆曲线的上下文中的椭圆上同调。我们讨论了椭圆曲线的轨道折叠的可能性，并导出了F-理论的某些性质。我们提出了一个链接，这IIB型模块化，结构的拓扑拉格朗日的M-理论，和威滕指数的循环空间狄拉克运营商。
Algebraic K-theory of elliptic cohomology
本文在素数 p≥7 处计算 BP⟨2⟩ 的 TC 的模 (p,v_1,v_2) 同伦，从而确定其代数 K-理论，并首次定量展示色度红移。
On the Euler-Poincaré characteristics of a simply connected rationally elliptic CW-complex
对于单连通的有理椭圆CW-复$X$，我们证明了上同调和同伦Euler-Poincaré特征与两个新的数值不变量$η_{X}$和$ρ_{X}$有关，这两个数值不变量是我们利用$X$的Quillen和Sullivan模型的Whitehead精确序列定义的.
Representation stability for the cohomology of arrangements associated to root systems
从一个根系，人们可以考虑反射超平面的安排，以及它的复曲面和椭圆类似物。相应的外尔群作用于该排列的补，从而作用于它的上同调。我们考虑一个序列的线性，环面，或椭圆形的安排所产生的一个家庭的根系的类型A，B，C，或D，我们表明，合理的上同调稳定作为一个序列的外尔群表示。我们的技术结合了勒雷谱序列参数类似的教堂在A型的情况下，随着FI $_W$ -模块理论，威尔逊开发和使用的线性情况。一个关键的证明依赖于一个组合的描述，使用标记分区，偏序集的连接组件的交叉点的子品种的安排。
Topological modular forms with level structure
被称为Tmf的上同调理论，即“拓扑模形式”，是映射到椭圆上同调理论的一个泛对象，其系数环与经典的模形式环紧密相连。我们将其扩展到对应于椭圆曲线的水平结构和模形式的对象的函子族。一路上，我们产生了一个自然的方式来限制的尖点，提供乘法映射从TMF与水平结构的形式的K-理论。特别地，这允许我们构造与Mahowald和Rezk提出的性质一致的连接谱tmf_0（3）。这是使用对数结构的机器来完成的。在椭圆曲线的模的对数级数上构造了一层局部偶周期椭圆上同调理论，并配备了高度结构化的乘法。在模曲线上对这层求值产生具有水平结构的Tmf。
Asymptotic growth of Betti numbers of ordered configuration spaces on an elliptic curve
构造了一个计算有序位形空间在欧拉示性数为零的代数簇上的上同调的dga。由此可见，$Conf(C,n)$（$C$是椭圆曲线）的第$k$个Betti数作为次数恰好为$2k-2$的多项式增长。我们还计算了$k \leq 5$和任意$n$的$H^k(Conf(C,n))$。
Floer-Fukaya theory and topological elliptic objects
受Segal-Stolz-Teichner关于椭圆上同调尺规作图法的计划以及Floer理论和Hopkins-Lurie关于推广的TFT的思想的启发，我们在同伦拓扑空间范畴上构造了一些$Ring$ -值可表示余函子.使用经典的计算Gromov-Witten理论由于Seidel，我们表明，对于一个版本的这些余函子$π_{2}$的代表空间是非平凡的，提供了一定的范畴扩展Kontsevich猜想持有辛流形$ \mathbb{CP} ^{n}$，一些一些$n \geq 1$。这进一步证明了由生活在拓扑空间上的域论建立的广义上同调理论的存在性。
Six-dimensional gauge theories and (twisted) generalized cohomology
我们认为全球方面的6维$\mathcal{N}=(1, 0)$理论所产生的耦合的矢量多重张量多重。我们表明，杨米尔斯领域和它的对偶，当两者都是阿贝尔化，结合起来定义一个类扭曲上同调与扭曲所产生的类的$B$ -字段，在对偶对称的方式。然后，我们表明，这电梯自然扭曲（微分）K-理论的一类。或者，在$\mathcal{N}=(1,0)$和$\mathcal{N}=(2,0)$理论中，B场不是扭曲的，而是可逆的，这导致了在无扭曲的色能级2广义上同调理论中的描述，包括椭圆上同调和Morava K理论的形式。
Model structures and quantum cohomology of higher orbifolds
本文解释了高阶轨道折叠是截断的可微高阶堆叠上的局部和整体模型结构，并讨论了模型结构在高阶轨道折叠和导出轨道折叠的量子上同调中的应用。
The quantum Euler class and the quantum cohomology of the Grassmannians
经典上同调的庞加莱对偶和量子上同调对偶的扩展赋予了这些环一个Frobenius代数的结构。任何这样的代数都有一个规范的“特征元”，在经典情况下这是欧拉类，在量子情况下这是经典欧拉类的变形，我们称之为“量子欧拉类”。我们证明了Frobenius代数A的特征元是单位当且仅当A是半单的，然后将这个结果应用于有限复Grassmannian的量子上同调的情况，以及超曲面的量子上同调。此外，我们表明，在格拉斯曼的情况下，[量子]欧拉类等于，作为[量子]上同调元素，直到符号，[量子]朗道-金茨布格势的海森行列式。
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