Monotone edge flips to an orientation of maximum edge-connectivity à la Nash-Williams
我们通过$k$的边翻转研究了无向图的边连通定向。证明了在无向$2k$ -边连通图的每个方向上，都存在一个边序列，使得逐个翻转它们的方向不会降低边连通度，并且最终的方向是$k$ -边连通的.这产生了纳什-威廉姆斯定理的一个“基于边翻转”的新证明：无向图$G$具有$k$ -边连通定向当且仅当$G$是$2k$ -边连通的。作为定理的另一个推论，我们证明了无向图$G$的$k$ -边连通定向的边翻转图是连通的，如果$G$是$(2k+2)$ -边连通的.只有当$k=1$。
2021-10-22 cs.DM cs.DS math.CO
Vertex Sparsifiers for c-Edge Connectivity
我们证明了存在O（f（c）k）大小的顶点稀疏因子，它们在一组k个终端顶点之间保持所有的边连通性值，其中f（c）是一个只依赖于c的函数，即边连通性值。这种构造是算法性的：我们还提供了一种算法，其运行时间线性依赖于k，但在c中呈指数关系。这意味着对于c的常数值，可以在每次操作的polylog时间内回答边缘插入/删除和c-边缘连接查询的离线序列。这些结果是通过结合最小终端分离割无向图的结构结果与最近的发展，在扩展分解为基础的方法，找到小顶点/边割图。
2019-10-23 cs.DS
Fully Dynamic Exact Edge Connectivity in Sublinear Time
针对经历边插入和删除的图，提出两种全动态算法以次线性更新时间精确维护边连通性，解决了 Thorup 提出的开放问题。
2024-03-22 cs.DS
Simple Algorithms for Fully Dynamic Edge Connectivity
针对边插入与删除下维护图边连通度的问题，提出两种简单随机算法，分别达到 $\tilde{O}(n)$ 更新时间及在高边连通度下更新与查询均为 $o(n)$ 的新最坏情况界。
2025-10-19 cs.DS
Dynamic Connectivity, Minimum Spanning Tree, and 2-Edge Connectivity with Polylogarithmic Worst-Case Update Time
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出全动态图算法，以多对数最坏情况更新时间维护连通性、最小生成树和2-边连通性，改进先前次多项式界限，并指出确定性扩展器分解可带来确定性算法。
2026-10-02 cs.DS
Certifying 3-Edge-Connectivity
我们提出了一个证明算法，测试图的3边连通性，该算法的工作在线性时间。如果输入图不是3-边连接的，则算法返回2-边切割。如果它是3-边连通的，则它返回一个构造序列，该序列仅使用（显然）保持3-边连通性的操作从具有两个顶点和三个平行边的图构造输入图。此外，我们展示了如何计算和证明3-边连接的组件和仙人掌表示的2-削减在线性时间。对于3-点连通性，我们展示了如何计算2-连通图的3-点连通分支。
2015-10-07 cs.DM cs.DS
Optimal Offline Dynamic $2,3$-Edge/Vertex Connectivity
我们给离线算法处理序列的$2$和$3$边和顶点连接查询在一个完全动态的无向图。虽然目前最好的$3$ -边缘和$3$ -顶点连接的全动态在线数据结构每次更新分别需要$O(n^{2/3})$和$O(n)$时间，但我们的每次操作成本仅为$O(\log n)$，这是由于Patrascu和Demaine的动态连接下限而优化的。我们的方法利用了一个分而治之的方案，将一个图转换成更小的等价物，保留连接信息。这种等价物的构造与顶点稀疏器的发展密切相关，并且与动态图数据结构中的几个即将出现的结果有着重要的联系，而不仅仅是离线模型。
2019-03-21 cs.DS
A Simple Deterministic Algorithm for Edge Connectivity
给出了一个在$m^{1+o(1)}$时间内计算具有$m$边的简单图的边连通度的确定性算法。尽管Henzinger、Rao和Wang [SODA '17]提出的最快确定性算法的运行时间比$O(m\log^{2}m\log\log m)$更快，但我们认为我们的算法在概念上更简单。这种简化的关键工具是扩展器分解。我们利用它在一个非常简单的方式相比，它是如何在以前的文献中使用。
2020-08-19 cs.DS
A New Perspective on Vertex Connectivity
边连通度和点连通度是图论中的两个基本概念。虽然到目前为止，基于图的边连通性对图的结构有了很好的理解，但我们在顶点连通性方面的知识要有限得多。在捕捉边连接的一个重要工具是边不相交的生成树。Tutte和Nash-Williams的著名结果表明，边连通的图$λ$包含$\floor{λ/2}$边不交生成树.我们提出了连接支配集（CDS）的划分和包装的工具，类似于边不相交的生成树，并帮助我们更好地掌握基于其顶点连通图的结构。CDS划分问题的目标是将图的节点划分为尽可能多的连通支配集。CDS包装问题是相应的分数松弛，其中CDS被允许重叠，只要通过分配适当的权重来补偿。CDS划分和CDS包装可以被看作是边不相交生成树的对应物，重点是顶点不相交而不是边不相交。我们构造性地证明了每一个具有$n$节点的$k$ -顶点连通图都有一个大小为$Ω(k/\log n)$的CDS填充和一个大小为$Ω(k/\log^5 n)$的CDS划分.我们证明了$Ω(k/\log n)$ CDS packing界是存在最优的。利用CDS填充，证明了如果$k$ -点连通图的顶点以概率$p$独立采样，则由采样点导出的图具有点连通性$\tildeΩ(kp^2)$ .此外，使用我们的$Ω(k/\log n)$ CDS包装，我们得到了一个存储和转发广播算法的最佳吞吐量的网络模型中，在每一轮，每个节点可以发送一个有限大小的消息到所有的邻…
2013-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
Dynamic framework for edge-connectivity maintenance of simple graphs
Wrocław University of Science and Technology（弗罗茨瓦夫科技大学）
本文提出了一种动态维护简单图k-边连通度的框架，通过稀疏证书和Link-Cut树实现边插入的高效处理，并利用最大流计算恢复边删除后的连通性。
2026-03-08 cs.DS
The Landscape of Minimum Label Cut (Hedge Connectivity) Problem
最小标签切割（或对冲连通性）问题定义如下：给定一个具有$n$和$m$的无向图$G=(V, E)$，其中每条边都被标号（具有一个或多个标签），可以用权重集$L=\{\ell_1,\ell_2, ..., \ell_{|L|}\}$对边进行加权，标签切割问题（对冲连通性）问题要求的最小数量的边缘集（每个边集（或树篱）是具有相同标签的边），其去除使顶点的源-汇对或具有最小总权重（未加权版本的最小基数）的整个图断开。该问题比边连通性和超图边连通性问题更具有一般性，在MPLS、IP网络、同步光网络、图像分割等领域有着广泛的应用。然而，由于不同社区之间的沟通有限，这一问题的研究以不同的名义，与一些重要的现有文献引文缺失，或有时的结果是误导与一些错误。本文对此问题作了进一步的研究，给出了统一的定义，修正了已有的错误，提供了新的见解，并给出了一些新的结果。具体来说，我们显示非重叠版本（每个边缘只有一个标签）和重叠版本（每个边缘有多个标签）之间的关系，通过固定现有文献中的错误;硬度和近似性能之间的加权版本和非加权版本和一些有用的性质，为进一步的研究。
2019-08-20 cs.DS math.CO math.OC
Vertex Sparsification for Edge Connectivity in Polynomial Time
在顶点稀疏化领域中的一个重要的开放问题是是否存在大小接近终端数的$(1+ε)$ -近似割保持顶点稀疏化器。Chalermsook等人的工作（SODA 2021）介绍了一种称为连通性- $c$模仿网络的松弛，它要求构建一个顶点稀疏器，该稀疏器将$k$终端之间的连通性精确地保持到$c$的值，并显示了动态连通性数据结构和可生存网络设计的应用。我们证明了具有$\widetilde{O}(kc^3)$边的连通性- $c$模仿网络存在，并且可以在$n$和$c$中在多项式时间内构造，改进了Chalermsook等人（SODA 2021）对任何$c \ge \log n$的结果，其运行时间以指数方式依赖于$c$。
2021-01-14 cs.DS
Augmenting Edge Connectivity via Isolating Cuts
我们给出了一个利用隔离割框架（Li和Panigrahi，FOCS '20）来扩充无向图的边连通度的算法。我们的算法使用多对数调用任何最大流算法，这产生一个运行时间的$\tilde O(m + n^{3/2})$，并改善了以前的最佳时间的$\tilde O(n^2)$（Benczúr和Karger，SODA '98）这个问题。我们也得到了相同的改进，在运行时间的密切相关的无向图的边分裂问题。
2021-11-03 cs.DS
Short Cycles Connectivity
短圈连通性是普通连通性的推广。两个顶点必须由一系列短循环连接，其中两个相邻的循环至少有一个公共顶点。如果序列中所有相邻的圈至少共享一条边，我们称之为边短圈连通。证明了短圈连通是顶点集上的等价关系，而边短圈连通分量决定了边集上的等价关系。给出了确定等价类的有效算法。短圈连通性可以扩展到有向图（循环连通性和传递连通性）。为了进一步推广，我们还可以考虑小团或其他图族的连通性。
2003-09-10 cs.DM cs.DS
2-Edge Connectivity in Directed Graphs
边连通度和点连通度是图论中的基本概念。虽然它们在无向图的情况下已经得到了深入的研究，但令人惊讶的是，对于有向图的研究并不多。在本文中，我们研究了有向图中的$2$ -边连通性问题，特别是，我们考虑了以下自然关系的计算：我们说两个顶点$v$和$w$是$2$ -边连通的，如果有两个边不相交的路径从$v$到$w$和两个边不相交的路径从$w$到$v$。该关系将顶点划分为块，使得同一块中的所有顶点都是$2$边连通的。与无向情况相应，这些块不对应于图的$2$ -边连通分量。我们展示了如何在线性时间内计算这种关系，这样我们就可以在恒定时间内报告两个顶点是否是$2$边连通的。我们还展示了如何在线性时间内计算这种关系的稀疏证书，即，所述输入图的子图，其具有$O(n)$边并且保持与所述输入图相同的$2$边连接块。
2014-07-31 cs.DS
Faster Algorithms for Rooted Connectivity in Directed Graphs
我们考虑的基本问题，确定有根和全球的边缘和顶点连通性（和计算相应的削减）在有向图。对于根（因此也是全球）边连接与小整数容量，我们给出了一个新的随机蒙特卡罗算法，运行在时间$\tilde{O}(n^2)$。对于有根边连接，这是第一个算法，以改善$Ω(n^3)$的时间限制在密集图的高连通性制度。我们的结果依赖于一个简单的组合，再加上稀疏化，似乎新的采样，并可能导致进一步的权衡有向图的连通性问题。我们将边连通性的思想推广到有向图的根连通性和全局顶点连通性。我们得到一个$(1 + ε)$近似的根顶点连接$\tilde{O}(nW/ε)$时间$W$是总顶点权重（假设积分顶点权重），特别是这产生了一个$\tilde{O}(n^2/ε)$时间随机算法的未加权图。这转换为$\tilde{O}(κnW)$时间精确算法，其中$κ$是根连接。我们建立在此基础上，以获得类似的全球顶点连通性的界限。我们的结果补充了已知的结果，这些问题在低连通性制度，由于工作的Gabow [9]从1991年的边缘连接，和最近的工作Nanongkai等。[24]和福斯特等。[7]顶点连接。
2021-04-15 cs.DS
Incremental $2$-Edge-Connectivity in Directed Graphs
本文研究了有向图中$2$ -边连通关系的动态维护问题。我们提出了一个算法，可以更新$2$ -边连接块的有向图的$n$顶点通过一系列的$m$边插入在总的$O(mn)$时间。在每次插入之后，我们可以在渐近最优时间内回答以下查询：（i）在恒定时间内测试两个查询顶点$v$和$w$是否是$2$ -边连接的。此外，如果$v$和$w$不是$2$边连接的，我们可以通过展示包含在从$v$到$w$的所有路径中或从$w$到$v$的所有路径中的边，在恒定时间内产生该属性的“见证”。(ii)在$O(n)$中报告所有$G$的$2$ -边缘连接块。据我们所知，这是有向图上的$2$ -连通性问题的第一个动态算法，并且它与较简单问题（如增量传递闭包）的最佳已知边界相匹配。
2016-07-24 cs.DS
A simple certifying algorithm for 3-edge-connectivity
提出了一种3边连通性的线性时间证明算法。给定一个无向图G，如果G是3-边连通的，该算法生成一个构造序列作为G的一个正证书。另外，该算法将G分解为3-边连通分支，同时生成每个连通分支的构造序列以及G中的桥和割对的仙人掌表示。所有这些都是通过使用创新的图收缩技术在G上进行一次传递来完成的。此外，图不需要是2-边连通的。
2022-01-29 cs.DS
Vertex Sparsification for Edge Connectivity
图的压缩或稀疏化是一个基本的信息论和计算问题。在这个研究领域的一个主要的开放问题是是否存在$(1+ε)$近似切割保持顶点稀疏的大小接近终端的数量。作为实现这一目标的一步，我们研究了一个阈值版本的问题：对于一个给定的参数$c$，找到一个更小的图，我们称之为连接- $c$模仿网络，它保留$k$终端之间的连接正好达到$c$的值。我们发现，连接$c$模仿网络与$O(kc^4)$边缘存在，并可以在时间$m(c\log n)^{O(c)}$。我们还给出了一个单独的算法，构造这样的图与$k \cdot O(c)^{2c}$边的时间$mc^{O(c)}\log^{O(1)}n$。这些结果导致第一个数据结构，用于回答全动态离线$c$ -边连接查询$c \ge 4$在多对数时间每个查询，以及更有效的算法生存网络设计有界树宽图。
2020-07-15 cs.DS
A PTAS for Three-Edge Connectivity in Planar Graphs
我们考虑的问题，找到最小的重量子图，满足给定的连通性要求。具体来说，给定每个顶点的要求$r \in \{0,1,2,3\}$，我们寻求最小权重子图，其中包含，对于每对顶点$u$和$v$，至少$\min\{ r(v), r(u)\}$边不相交的$u$ -到- $v$路径。当输入图是平面的且子图可以使用任意给定边的多个副本时，我们给出了这个问题的多项式时间近似方案（PTAS）。这推广了$r \in \{0,1,2\}$的早期结果。为了实现这个PTAS，我们证明了一些性质的三连通平面图，可能是独立的利益。
2016-11-11 cs.DS
Optimal Decremental Connectivity in Non-Sparse Graphs
我们提出了一个动态的算法，以保持连通和2-边连通组件的无向图的边缘删除。该算法是蒙特卡罗随机化的，并在$O(m + n \operatorname{polylog} n)$总时间内处理任何边缘删除序列。穿插删除，它可以回答查询，任何两个给定的顶点目前是否属于同一个（2-边）连接组件在恒定的时间。我们的结果是基于一般的蒙特卡罗随机减少从递减的$c$ -边连接到一个变种的全动态$c$ -边连接的稀疏图。虽然是蒙特卡洛，我们的减少支持一定的最终自检，可以用于拉斯维加斯算法的静态问题，如唯一完美匹配。对于具有$Ω(n \operatorname{polylog} n)$边的非稀疏图，我们的连通性和$2$ -边连通性算法使用相应全动态问题的现有算法，以最佳线性总时间处理所有删除。这改进了Thorup [J.Alg. 1999]，它只对具有$Ω(n^2)$边的图在线性时间内运行。我们在非稀疏图中递减连接中的边删除的恒定摊销成本应与递减设置中的$Ω(\log n/\log\log n)$最坏情况时间下限[Alstrup，Thore Husfeldt，FOCS'98]以及完全动态设置中的$Ω(\log n)$摊销时间下限[Patrascu和Demaine STOC'04]进行对比。
2021-11-19 cs.DS
Worst-case time decremental connectivity and k-edge witness
我们给出了一个简单的算法递减图连接，处理边缘删除在最坏情况下的时间$O(k \log n)$和连接查询在$O(\log k)$，其中$k$是删除的边缘的数量到目前为止，并使用最坏情况下的空间$O(m^2)$。我们用这个给一个算法$k$边证人（``删除一组给定的$k$边断开两个顶点$u,v$？“）与最差情况时间$O(k^2 \log n)$和空间$O(k^2 n^2)$。对于$k = o(\sqrt{n})$，这些改进的最坏情况$O(\sqrt{n})$界删除由于Eppstein等人。我们还给出了一个递减的连接算法使用$O(n^2 \log n / \log \log n)$空间，其时间复杂度取决于韧性和输入图的独立数。最后，我们展示了如何构建一个分布式数据结构的\kvw通过给一个标签计划。这是\kvw的第一个数据结构，它可以有效地分布，而不只是给每个顶点一个整个结构的副本。其复杂性取决于能否构造具有良好性质的线性布局。
2008-10-30 cs.DS
2-Edge-Connectivity and 2-Vertex-Connectivity of an Asynchronous Distributed Network
非屏蔽容错分布式系统的自稳定性在过去的十年中得到了广泛的研究兴趣。本文提出了一种异步分布式计算机网络2-边连通和2-点连通的自稳定算法。它基于自稳定深度优先搜索，并且不是复合算法，因为它不是由多个并行运行的自稳定算法组成。该算法的时间和空间复杂度与底层自稳定深度优先搜索算法相同，分别为O（dnΔ）轮和O（n \log Δ）位/处理器，其中Δ（<= n）是节点度的上界，d（<= n）是图的直径，n是网络中的节点数.
2019-06-22 cs.DC cs.DS
Iterative rounding approximation algorithms for degree-bounded node-connectivity network design
我们考虑的问题，找到一个最小的边成本子图的图满足给定的节点连通性要求和度上界的节点。我们提出了一个迭代舍入算法的双集LP松弛这个问题。对于有向图和$k$ -从根的出连通性要求，我们的算法计算的解决方案是一个2-近似的成本，和解决方案中的每个节点$v$的程度是最多$2b(v) + O(k)$，其中$b(v)$是$v$的程度上限。对于无向图和具有最大连通性要求$k$的元素连通性要求，我们的算法计算的解决方案是一个$4$ -近似的成本，解决方案中的每个节点$v$的程度最多是$4b(v)+O(k)$。这些比率改进了以前的$O(\log k)$ -近似的成本和$O(2^k b(v))$近似的程度。我们的算法可以用来提高其他节点的连通性问题，如无向$k$ -出连通性，有向和无向$k$ -连通性，无向根$k$ -连通性和子集$k$ -连通性的近似比。
2015-08-10 cs.DS
Extensions of the $(p,q)$-Flexible-Graph-Connectivity model
我们提出了近似算法的网络设计问题的一些模型相关的$(p,q)$ -FGC模型。Adjiashvili，Hommelsheim和Mühlenthaler介绍了我们用FGC表示的灵活图连通性模型。Boyd、Cheriyan、Haddadan和Chihimpur介绍了FGC的一般化。令$p\geq 1$和$q\geq 0$为整数。在$(p,q)$ -灵活图连通性问题的实例中，表示为$(p,q)$-FGC，我们有一个无向连通图$G = (V,E)$，将$E$划分为一组安全边和一组不安全边，以及边上的非负成本$c\in\mathbb{R}_{\geq0}^E$。如果对任何不安全边集$F'$，有$|F'|\leq q$，子图$(V, F \setminus F')$是$p$ -边连通的，则边子集$F \subseteq E$对于$(p,q)$-FGC问题是可行的.算法的目标是找到一个可行的边集$F$，最小化$c(F) = \sum_{e \in F} c_e$。
2022-11-17 cs.DS
A $2$-Approximation Algorithm for Flexible Graph Connectivity
我们提出了一个$2$ -近似算法的灵活图连接问题[AHM 20]通过减少到最小成本$r$ -出$2$ -树状问题。
2021-02-05 cs.DM cs.DS
Approximating Minimum Cost Connectivity Orientation and Augmentation
我们调查的问题，解决组合连接增强和方向设置。我们给出了一个多项式时间的6-近似算法，找到一个最小成本的子图的无向图$G$，承认一个方向覆盖一个非负交叉$G$ -超模需求函数，由弗兰克定义。一个重要的例子是$(k,\ell)$ -边连通性，它是全局边连通性和根边连通性的一个常见推广。我们的算法是基于一个非标准的应用程序的迭代舍入方法。我们观察到，标准的线性规划与切割约束是不适合的，并使用替代的线性规划与分区和共分区的约束。该证明需要一种新型的分区和共分区不交叉技术。我们还考虑了问题设置时，成本的边缘可以是不同的两个可能的方向。对于$k$边缘连接性的更简单要求，问题已经变得更加困难。Khanna，Naor和Shepherd证明了当$k=1$为整数时，自然线性规划的完整性缺口至多为$4$，并证明了对于所有固定的$k$，它是常数。我们通过证明一个$Ω(|V|)$完整性缺口来反驳这个猜想，即使当$k=2$。
2017-11-16 cs.DM cs.DS math.CO
Protecting the Connectivity of a Graph Under Non-Uniform Edge Failures
本文提出非均匀边故障下的 $(p,q)$-Steiner-Connectivity Preservation 问题，给出小参数精确算法、一般情形近似算法，并证明输入相关情形的 NP 完全性。
2025-01-08 cs.DS
Approximation algorithms for connectivity augmentation problems
在连通性增强问题中，我们给出了一个图$H=(V,E_H)$和$V$上的边集$E$，并寻找一个最小边集$J \subseteq E$，使得$H \cup J$具有比$H$更大的边/节点连通性。在边连通性增强问题中，我们需要通过$1$来增加边连通性。在块树扩充问题中，$H$是连通的，$H \cup S$应该是$2$ -连通的。在叶到叶连通性增强问题中，$E$中的每条边都连接最小亏集。对于这个版本，我们给出了一个简单的组合近似算法的比例$5/3$，改善以前的$1.91$近似适用于一般情况。我们还表明，一个简单的证明，如果斯坦纳树问题承认逼近比$α$然后一般版本承认逼近比$1+\ln(4-x)+ε$，其中$x$是解决方案的方程$1+\ln(4-x)=α+(α-1)x$。对于$α=\ln 4+ε$的当前最佳值，这给出了比率$1.942$。这比最佳比率$1.91$稍差，但具有使用斯坦纳树近似作为“黑盒”的优点，如果比率$α\leq 1.35$可以实现，则给出比率$< 1.9$。在元素连通性增强问题中，我们给出了图$G=(V,E)$、$S \subseteq V$和连通性要求$\{r(u,v):u,v \in S\}$。目标是在$uv$ J上找到新边的最小大小集合$J$，使得对于所有$u,v \in S$，图$G \cup J$包含$r(u,v)$ $uv$ -路径，使得它们中没有两个具有共同的…
2020-11-13 cs.DS
An $O(k^{3} log n)$-Approximation Algorithm for Vertex-Connectivity Survivable Network Design
在可生存网络设计问题（SNDP）中，我们给出了一个无向图$G(V,E)$，边上有代价，以及每对$u,v$顶点的连通性要求$r(u,v)$。我们的目标是找到一个最小成本的子集$E^*$的边缘，满足给定的一组成对连接的要求。在边连通性版本中，我们需要确保每对$u, v$顶点都有$r(u,v)$边不相交的路径，而在顶点连通性版本中，路径需要是顶点不相交的。已知SNDP的边连通性版本具有2-近似。然而，没有非平凡的近似算法已被称为迄今为止的顶点版本的SNDP，除了特殊情况下的问题。我们提出了一个非常简单的算法来实现这个问题的$O(k^3 \log n)$ -近似，其中$k$表示的最大连通性要求，$n$表示的顶点数。我们还给出了一个简单的证明最近发现的$O(k^2 \log n)$ -近似结果的单源版本的顶点连通SNDP。我们注意到，在这两种情况下，我们的分析实际上产生了稍微更好的保证，因为近似保证中的$\log n$项可以用$\log τ$项代替，其中$τ$表示参与具有正连通性要求的一个或多个对的不同顶点的数量。
2008-12-23 cs.DS
Optimal decremental connectivity in planar graphs
我们提出了一个算法，在一个无向平面图的连通性信息的动态维护受到边缘删除。我们的算法可以回答以下形式的连通性查询：“顶点$u$和$v$是否与路径相连？在恒定的时间内查询可以与任何边缘删除序列混合，并且算法在$O(n)$时间内处理所有更新。该结果优于先前已知的$O(n \log n)$时间算法。
2014-09-25 cs.DS
Rainbow Connectivity of Sparse Random Graphs
一个边着色图$G$是彩虹边连通的，如果任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路相连。连通图$G$的彩虹连通性，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文研究了二项随机图在连通度阈值$p=\frac{\log n+\om}{n}$下的彩虹连通性，其中$\om=\om(n)\to\infty$和${\om}=o(\log{n})$是连通图，以及随机$r$ -正则图在连通度阈值下的彩虹连通性，其中$r \geq 3$是固定整数.具体地说，我们证明了彩虹连接$G=G(n,p)$ $rc(G)$满足$rc(G) \sim \max\set{Z_1,diameter(G)}$与高概率（\whp）。这里$Z_1$是$G$中度等于1的顶点数，并且$G$的直径渐近等于$\diam$ \whp。最后证明了随机$r$ -正则图$G=G(n,r)$的彩虹连通度$rc(G)$满足$rc(G) =O(\log^2{n})$ \whp .
2012-10-02 cs.DM cs.DS math.CO
Path-contractions, edge deletions and connectivity preservation
我们从参数化复杂性的角度研究了连通性约束下图修改问题的几个相关问题：{ \sc（加权）双连通删除}，其中我们的任务是删除~ $k$边，同时保持无向图中的双连通性，{ \sc顶点删除保持强连通性}，其中我们希望保持有向图的强连通性，同时精确删除~ $k$顶点，和{ \sc保持强连通性的路径收缩}，其中替代地使用对弧的路径收缩的操作。Bang-Jensen和Yeo [DAM 2008]将最后一个问题的参数化易处理性作为一个开放性问题提出，我们在这里以否定的方式回答它：保持强连通性的两个变体都是$\sf W[1]$ -困难的。保持双连通性，另一方面，原来是固定参数易处理的，我们提供了一个$2^{O(k\log k)} n^{O(1)}$ -算法，解决{ \sc加权双连通删除}。此外，我们表明，未加权的情况下，甚至承认一个随机多项式内核。我们所有的研究结果提供了进一步有趣的数据点的系统研究中的参数化设置的连接性保护的限制。
2017-04-21 cs.CC cs.DS
On the complexity of computing the $k$-restricted edge-connectivity of a graph
图$G$的\emph{$k$-restricted edge-connectivity}，记作$λ_k(G)$，定义为去掉边集后只剩下两个连通分支的最小边集，每个连通分支至少包含$k$顶点.这种图不变量可以看作是最小边割的推广，从组合的角度已经得到了广泛的研究。然而，关于计算$λ_k(G)$的复杂性知之甚少。最近，在参数化复杂性社区中定义了图的\emph{good edge separation}的概念，它恰好与$k$ -受限边连通性本质上相同。从组合和算法的角度来看，这个不变量的相关性的启发，在这篇文章中，我们开始了系统的研究，其计算复杂性，特别强调其参数化的复杂性的几个参数的选择。我们提供了一些NP-硬度和W[1]-硬度的结果，以及FPT算法。
2016-09-17 cs.DM cs.DS
Graph Sparsification by Edge-Connectivity and Random Spanning Trees
我们提出了新的方法来构建图稀疏--加权子图，其中每个切割具有相同的值作为原始图，高达一个因素的$(1 \pm ε)$。我们的第一种方法独立地采样每个边$uv$，其概率与$u$和$v$之间的边连接性成反比。这种方法产生稀疏因子的事实解决了Benczúr和Karger（2002）提出的一个问题。Hariharan和Panigrahi的同时工作也解决了这个问题。我们的第二种方法构造了一个稀疏形成几个均匀随机生成树的联盟。我们的两种方法都产生具有$O(n \log^2(n)/ε^2)$边的稀疏化器。我们的证明是基于Karger的收缩算法，这可能是独立的利益的扩展。
2010-08-09 cs.DM cs.DS
Strong Connectivity in Directed Graphs under Failures, with Application
本文研究了有向图中的一些基本连通性问题。设$G$是一个有$m$边和$n$顶点的有向图，$G\setminus e$是从$G$中删除边$e$后得到的有向图.作为第一个结果，我们展示了如何计算在$O(m+n)$最坏情况下的时间：$(i)$强连接组件的总数在$G\setminus e$，所有边缘$e$在$G$。$(ii)$对于$G$中的所有边$e$，$G\setminus e$中最大和最小强连通分支的大小。设$G$是强连通的。如果$x$和$y$在$G\setminus e$中不再是强连通的，我们称边$e$分隔两个顶点$x$和$y$。作为第二组结果，我们将展示如何建立在$O(m+n)$时间$O(n)$-空间数据结构，可以回答在最佳时间以下基本连接查询有向图：$(i)$报告在$O(n)$最坏情况下的时间所有强连接组件的$G\setminus e$，查询边$e$。$(ii)$测试边是否在$O(1)$最差情况时间内分隔两个查询顶点。$(iii)$报告在最佳最坏情况时间内分离两个查询顶点的所有边，即，在时间上为$O(k)$，其中$k$是分离边缘的数量。(For $k=0$，时间为$O(1)$）。上述结果都可以推广到顶点失效的情形。我们所有的边界都是紧的，并且是用一个通用的算法框架获得的，基于由$1$-连通性引起的分解的一种新的紧凑表示（即，$1$-边和$1$-顶点）割，这可能是独立的兴趣。借助我们…
2019-05-06 cs.DS
Constant-time connectivity tests
我们提出了实现的恒定时间算法的连通性测试和相关问题。有些是以前已知的算法略有改进的变体的实现;对于其他问题，我们提出了新的算法，有更好的运行时间比以前已知的算法（估计的距离和宽容的测试人员的连接，2-边连接，3-边连接，eulerianity）。
2022-09-23 cs.CC cs.DM cs.DS
A simplified 1.5-approximation algorithm for augmenting edge-connectivity of a graph from 1 to 2
树扩充问题（TAP）是：给定连通图$G=(V,{\cal E})$和$V$上的边集$E$，求$F \subseteq E$的最小边子集，使得$(V,{\cal E} \cup F)$是$2$ -边连通的.在会议版本\cite{EFKN-APPROX}中，概述了该问题的$1.5$ -近似算法。由于一个完整的证明是非常复杂和漫长的，期刊版本被切成两部分。在第一部分中，仅证明了\cite{EFKN-TALG}为比率$1.8$。试图简化第二部分在\cite{EKN-IPL}中产生了错误。在这里，我们给出了一个正确的，不同的，和自包含的比率$1.5$的证明，这也是大大简单，比以前的证明短。
2015-07-10 cs.DS
Approximation Schemes for Planar Graph Connectivity Problems
CNRS & DIENS, ENS Paris - PSL Research University（法国国家科学研究中心与高等师范学院巴黎文理研究大学）；London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）；Department of Computer Science, ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院计算机系）；Department of Mathematics, ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院数学系）
本文提出了一种新的分解技术，为平面图的连通性问题提供了PTAS，解决了平面图中k边连通性和k顶点连通性增强的问题。
2025-12-24 cs.DS
Approximation Algorithms for Vertex-Connectivity Augmentation on the Cycle
给定一个$k$ -顶点连通图$G$和一个额外边（链接）的集合$S$，$k$ -顶点连通性扩充问题的目标是找到一个最小大小的集合$S' \subseteq S$，使得将$S'$添加到$G$使其$(k+1)$ -顶点连通。与边连通性增强问题不同，对顶点连通性版本的研究很少。在这项工作中，我们提出了第一个多项式时间近似算法，提高了已知的比率为2 $2$顶点连接增强，在这种情况下，$G$是一个周期。这是攻击扩充$2$ -连通图的更一般问题的第一步。我们的算法是基于局部搜索，并达到了$1.8704$的近似比。为了得到它，我们证明了新的结果的最小解的结构。
2021-11-03 cs.DS
Fully Dynamic Edge Connectivity in $\tilde{O}(n^{12/13})$ Time
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
研究动态边连通性问题，提出随机算法，其最坏情况更新和查询时间为$\tilde{O}(n^{12/13})$。还设计了两种确定性算法，分别用于简单图和无加权多重图，在更新和查询时间上有多项式改进或特定时间复杂度提升。
2026-10-19 cs.DS
Approximating the Smallest Spanning Subgraph for 2-Edge-Connectivity in Directed Graphs
设$G$是一个强连通有向图.我们考虑以下三个问题，我们希望计算$G$的最小强连通生成子图，分别保持：$2$-$G$的边连通块（\textsf{2EC-B}）; $2$-$G$的边连通分量（\textsf{2EC-C}）; $2$-边连通块和$2$-$G$的边连通分量（\textsf{2EC-B-C}）。这三个问题都是NP难的，因此我们对有效的近似算法感兴趣。对于\textsf{2EC-C}，我们可以得到一个$3/2$-近似结合以前已知的结果。对于\textsf{2EC-B}和\textsf{2EC-B-C}，我们提出了新的$4$-近似算法，运行在线性时间。我们还提出了各种算法来提高实际计算子图的大小，并进行了彻底的实验研究，以评估其在实际场景中的优点。
2015-09-09 cs.DS
A Faster Local Algorithm for Detecting Bounded-Size Cuts with Applications to Higher-Connectivity Problems
考虑以下有向图中的“局部”切割检测问题：我们被给予起始顶点$s$，并且需要检测是否存在具有至多$k$条边的切割与切割交叉，使得切割的包含$s$的一侧具有至多$Δ$内部边。如果我们被给予对输入图的查询访问，那么这个问题原则上可以在次线性时间内解决，而无需读取整个图，并且查询复杂度取决于$k$和$Δ$。我们设计了一个优雅的随机化过程，通过$O(k^2 Δ)$查询解决了这个问题的松弛变体，特别是改进了Escherhik等人[SODA 2017]之前的$O((2(k+1))^{k+2} Δ)$边界。在该松弛变体中，如果存在包含至多具有$k$外边缘和$Δ$内边缘的$s$的分量，则该过程必须成功地检测这样的分量，但是它实际检测的分量可以具有至多$O(k Δ)$内边缘。除了其本身的兴趣，这种切割检测程序已被用于许多算法应用程序的更高的连接性问题。因此，我们的新的割检测过程几乎容易地暗示（1）更快的顶点连通性算法，其特别地对于顶点连通性的多对数值具有接近线性的运行时间，（2）用于计算最大$k$ -边连通子图的更快的算法，以及（3）用于更高边和顶点连通性的更快的属性测试算法，其解决了两个公开问题，一个是Goldreich和Ron [STOC '97]，另一个是Orenstein和Ron [TCS 2011]。
2019-04-22 cs.DS
Fast Approximations for Rooted Connectivity in Weighted Directed Graphs
我们考虑计算有向图中最小加权割的近似。我们考虑有根和全局最小割，边割和顶点割。对于这些问题，我们给随机蒙特卡罗算法计算$(1+ε)$ -近似最小割$\tilde{O}(n^2 / ε^2)$时间。这些结果扩展并建立在最近的工作[4]上，该工作在具有小整数容量的有向图中获得了具有相似运行时间的精确算法。
2021-04-14 cs.DS
Deterministic Lower Bounds for $k$-Edge Connectivity in the Distributed Sketching Model
Augusta University（奥古斯塔大学）
本文提出了分布式草图模型中k边连通性问题的第一个确定性下界，证明了最坏情况下的消息长度为Ω(k)位。
2026-02-09 cs.DC cs.DS
The Complexity of Connectivity Problems in Forbidden-Transition Graphs and Edge-Colored Graphs
禁止转移图的概念允许图中行走的鲁棒推广。在一个禁止变迁图中，每一对与一个公共顶点关联的边都是允许的或禁止的;如果一条行走上的所有连续边都是允许的，那么这条行走是相容的。禁止转移图及其相关模型在光通信网络、道路网络和生物信息学等领域有着广泛的应用。我们从参数化复杂性的角度开始研究基本的连通性问题，包括深入研究各种图宽度参数的易处理性。在几个结果中，我们证明了当用到线性森林的顶点删除距离参数化时，在禁止变迁图中找到给定端点之间的简单相容路径是W[1]-困难的（因此当用路径宽度或树宽度参数化时也是困难的）。另一方面，我们展示了一个代数技巧，当用树宽参数化找到一个适当着色的Hamilton圈时，它会产生易处理性;适当着色的边着色图中的行走是禁止过渡图中相容行走的最受研究的特殊情况之一。
2020-09-27 cs.DS
A Deterministic Algorithm for the Vertex Connectivity Survivable Network Design Problem
在顶点连通的可生存网络设计问题中，我们给出了一个无向图G =（V，E）和每对顶点u，v的连通性要求r（u，v）。我们的目标是找到最小成本的边缘子集，使每对（u，v）的顶点，我们有r（u，v）顶点不相交的路径在图中所选择的边缘。最近，Chuzhoy和Khanna提出了一个随机算法，实现了这个问题的一个因素的O（k^3 log n），其中k是最大的连接要求。本文对他们的算法进行了反随机化，得到了一个O（k^3logn）的确定性因子算法。另一个感兴趣的问题是问题的单源版本，其中有一个特殊的顶点s，所有非零连通性要求必须涉及s。我们还给出了一个O（k^2logn）的算法。
2010-04-07 cs.DS
Incremental Strong Connectivity and 2-Connectivity in Directed Graphs
在本文中，我们提出了新的增量算法，用于维护数据结构，表示所有连接削减的大小为一个有向图（有向图），和强连接的组件，结果删除这些削减。我们给出了一个条件下界，提供证据表明，我们的算法可能是紧子多项式的因素。作为一个额外的结果，与我们的方法，我们也可以保持动态的$2$ -顶点连接组件的有向图在任何序列的边缘插入在总的$O(mn)$时间。这与有向图的$2$ -边连通分量的增量维护的界限相匹配。
2018-02-27 cs.DS
Connectivity Oracles for Planar Graphs
本文研究平面图的动态子图连通性问题。在这个模型中，有一个固定的底层平面图，其中每个边和顶点要么是“关闭”（失败），要么是“打开”（恢复）。我们希望回答关于“on”子图的连通性查询。该模型有两个自然变体，一个是在所有连接查询之前存在$d$边/顶点故障，另一个是故障/恢复和查询混合在一起。我们提出了一个$d$ -故障连通性甲骨文平面图，处理任何$d$边/顶点故障在$sort(d,n)$时间，使连接查询可以回答在$pred(d,n)$时间。(Here $sort$和$pred$是在大小为$d$的$[n]$子集上进行整数排序和整数前导搜索的时间。）我们的算法有两个离散部分。第一个算法是针对三连通平面图的。它利用了巴内特定理，该定理指出每个三连通平面图都包含一个3度生成树。第二部分是从一般平面图到三连通平面图的一般约化。此外，我们的算法是可证明的最佳。Patrascu和Thorup关于前趋搜索的下限的含义是没有$d$ -故障连通性预言机（甚至在树上）可以击败$pred(d,n)$查询时间。我们将我们的算法扩展到子图连接模型，其中边/顶点故障（但没有恢复）与连接查询混合在一起。在三连通平面图中，每个故障和查询都在$O(\log n)$时间内处理（摊销），而在一般平面图中，两个边界都变成了$O(\log^2 n)$。
2012-04-23 cs.DS
Improved Approximations for Flexible Network Design
针对柔性网络设计中需在不安全元素故障下保持连通性的最小子图求解问题，提出兼顾边、顶点连通性及更高连通度的改进近似算法，且顶点连通性变体的近似因子首次严格优于2。
2024-04-13 cs.DS
Log Diameter Rounds Algorithms for $2$-Vertex and $2$-Edge Connectivity
许多现代并行系统，如MapReduce，Hadoop和Spark，可以很好地建模MPC模型。MPC模型可以很好地捕捉大数据上的粗粒度计算--数据被分发到处理器，每个处理器都有一个次线性（在输入数据中）的内存量，我们在计算轮和通信轮之间交替，每个机器可以传输与其内存大小一样大的数据量。该模型比经典的PRAM模型更强，设计运行时间比PRAM模型更短的算法是一个有趣的问题。本文研究了两个基本问题：$2$ -边连通性和$2$ -点连通性（双连通性）.在$O(\log n)$时间内运行的PRAM算法已经公知多年。在MPC模型中，我们给出了使用粗对数直径轮的算法。我们的主要结果是：1）$n$并行时间$2$-边连通算法; 2）$O(\log D\log^2\log_{m/n}n+\log D'\log\log_{m/n}n)$并行时间双连通算法，其中双直径$D'$是同一双连通分支中所有顶点对上的最大圈长.我们的结果是完全可扩展的，这意味着每个处理器的内存可以是$O(n^δ)$为任意常数$δ>0$，和使用的总内存是线性的问题大小。我们的$2$ -边缘连接算法实现了与Andoni等人的连接算法相同的并行时间。（FOCS 2018）。我们还证明了双连通问题的$Ω(\log D')$条件下界。
2019-05-02 cs.DC cs.DS
Deterministic Distributed Sparse and Ultra-Sparse Spanners and Connectivity Certificates
本文提出了有效的分布式算法的一些基本问题，在该地区的图稀疏：我们提供了第一个确定性的分布式算法，计算超稀疏的$\textrm{polylog}(n)$轮加权图。具体地说，我们的算法输出的生成子图只有$n+o(n)$边，其中的成对距离拉伸的一个因素，最多$O(\log n \;\cdot\; 2^{O(\log^* n)})$。我们提供了一个$\textrm{polylog}(n)$轮确定性分布式算法，计算一个拉伸$(2k-1)$和$O(nk + n^{1 + 1/k} \log k)$边在未加权图和$O(n^{1 + 1/k} k)$边在加权图的顶点。我们提出了第一个$\textrm{polylog}(n)$轮随机分布式算法，计算稀疏连接证书。对于$n$ -节点图$G$，用于连通性的证书$k$是$k$ -边连通的生成子图$H$当且仅当$G$是$k$-边连通的，并且如果该子图具有$O(nk)$边，则该子图$H$被称为稀疏的。我们的算法实现了稀疏的$(1 + o(1))nk$边缘，这是一个$2(1 + o(1))$因素的最佳可能。
2022-09-23 cs.DC cs.DS
Polynomial-Time Approximation Schemes for Subset-Connectivity Problems in Bounded-Genus Graphs
我们提出了第一多项式时间近似方案（PTASes）的边加权图的有界亏格的子集连通性问题：斯坦纳树，低连通生存网络设计，和子集TSP。该计划运行在O（n log n）的时间嵌入定向和非定向表面上的图。这项工作将Borradaile，Klein和Mathieu的PTAS框架从平面图推广到有界亏格图：任何未来的问题都可以承认平面图的必要结构定理，同样也可以扩展到有界亏格图。
2011-03-01 cs.DM cs.DS
Dynamic Spanning Trees for Connectivity Queries on Fully-dynamic Undirected Graphs (Extended version)
在边和顶点频繁插入和删除的情况下，查询连通性是完全动态图的基础。现有的工作提出了具有最坏情况保证的数据结构和算法。我们提出了一种新的数据结构，动态树（D-tree），连同算法来构建和维护它。D-tree是第一个数据结构，规模的完全动态图与数以百万计的顶点和边，平均而言，回答连接查询速度比数据结构与最坏情况的保证。
2022-07-18 cs.DB cs.DS
