Sobolev regularity of the Beurling transform on planar domains
考虑Lipschitz域$Ω$及其特征函数$\mathcal{B} χ_Ω(z)= - {\rm p.v.}\frac1{πz^2}*χ_Ω(z) $的Beurling变换.证明了如果域的边界的向外单位法向量$N$在$W^{n,p}(Ω)$的迹空间中（即，Besov空间$B^{n-1/p}_{p,p}(\partialΩ)$），然后是$\mathcal{B} χ_Ω\in W^{n,p}(Ω)$。此外，当$p>2$时，$W^{n,p}(Ω)$上的Beurling变换的有界性如下。这一事实在Beltrami方程拟共形解的正则性研究中具有深远的影响。
2017-06-21 math.AP math.CA
Improved bounds for the dimensions of planar distance sets
我们获得了新的下界的豪斯多夫维数的距离集和钉扎距离集的平面Borel集的尺寸略大于$1$，改善最近的估计凯莱蒂和Shmerkin，刘在这个政权。特别地，我们证明了如果$A$有豪斯多夫维数$>1$，那么$A$的点所跨越的距离集的豪斯多夫维数至少为$40/57 > 0.7$，并且有许多$y\in A$使得固定距离集$\{ |x-y|:x\in A\}$的豪斯多夫维数至少为$29/42$，其下计盒维数至少为$40/57$ .我们使用的方法和许多结果从早期的工作凯莱蒂和Shmerkin，但纳入估计从最近的工作古斯，Iosevich，欧和王作为额外的输入。
2018-11-08 math.CA
The dimension of planar elliptic measures arising from Lipschitz matrices in Reifenberg flat domains
Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；ICREA（加泰罗尼亚高级研究院）
该研究针对小常数平面Reifenberg平坦区域上实值一致椭圆Lipschitz系数散度型算子的椭圆测度，证明其Hausdorff维数不超过1，且存在满椭圆测度的σ-有限一维Hausdorff测度边界子集，推广了Wolff关于调和测度的结果。
2025-04-30 math.AP math.CA
On planar self-similar sets with a dense set of rotations
证明了如果$E$是一个平面自相似集，其相似维数$d$的定义映射生成稠密旋转集，则$E$在任意直线上的正交投影的$d$维Hausdorff测度为零.我们还证明了$E$在平面上任意点的径向投影也有零$d$维Hausdorff测度.然后我们考虑这些集合的一个特殊子类，并给出了$E(ρ)$的Favard长度的一个上界，其中$E(ρ)$表示集合$E$的$ρ$ -邻域.
2006-03-08 math.CA
New bounds on the dimensions of planar distance sets
证明了平面集的距离集和钉扎距离集的维数的新界。在其他结果中，我们证明了，如果$A\subset\mathbb{R}^2$是一个Borel集的Hausdorff维数$s>1$，那么它的距离集的Hausdorff维数至少为$37/54\approx 0.685$。此外，如果$s\in (1,3/2]$，则在Hausdorff维数至多为$1$的例外$y$的集合之外，固定距离集合$\{ |x-y|:x\in A\}$具有Hausdorff维数$\ge \tfrac{2}{3}s$和至少为$ \tfrac{1}{4}(1+s+\sqrt{3s(2-s)}) \ge 0.933$的填充维数。这些估计改进了Bourgain，Wolff，Peres-Schlag和Iosevich-Liu对Hausdorff维数$>1$的估计.我们的证明使用了测量的多尺度分解，与以前的工作不同，我们能够选择受某些约束的尺度。这导致了一个组合问题，这是我们的方法的一个关键的新成分，我们完全解决了优化某些变化的Lipschitz函数。
2019-04-01 math.CA math.CO math.MG
The Assouad dimensions of projections of planar sets
我们考虑Assouad维度的正交投影平面集到线上。我们的研究涵盖了一般和自相似集。对于一般集合，主要结果如下：如果平面上的集合有Assouad维数$s \in [0,2]$，那么投影几乎必然至少有$\min\{1,s\}$的Assouad维数.与豪斯多夫维数的著名类似物--即\emph{Marstrand's Projection Theorem} --相比，一个显著的区别是“至少”这个词不能省略：事实上，对于许多平面自相似维数集$s < 1$，我们证明了投影的Assouad维数对于一组正测度方向可以同时达到值$s$和$1$。对于自相似集，我们的研究自然分为两种情况：当旋转群是离散的，当它是稠密的。在“离散旋转”的情况下，我们证明了以下二分法为任何给定的投影：要么Hausdorff措施是积极的豪斯多夫维数，在这种情况下，豪斯多夫和Assouad维数重合;或豪斯多夫措施是零的豪斯多夫维数，在这种情况下，Assouad维数等于1。在“稠密旋转”的情况下，我们证明了每个投影的Assouad维数等于1，假设平面集不是一个单例。作为我们结果的另一个应用，我们证明了Assouad维数不存在\emph{Falconer's Theorem}.更确切地说，Assouad维度的自相似（或自仿射）集是不是在一般几乎肯定恒定时，随机的平移向量。
2016-10-14 math.CA math.DS math.MG
The sharp Hausdorff measure condition for length of projections
在最近的一篇论文中，Pertti Mattila提出了这样一个问题：对于任何在规范$ϕ$中具有正Hausdorff测度的平面博雷尔集$A$，哪些度规函数$ϕ$具有这样的性质：$A$到几乎每条线的投影都具有正的长度。我们表明，可积性接近零的$ϕ(r)/(r^2)$，这是已知的是足够的这个属性，也是必要的，如果$ϕ$是经常变化的。我们的证明是基于一个随机的建设适应的度规函数。
2004-06-18 math.CA
On the Hausdorff dimension of the residual set of a packing by smooth curves
设平面剩余集是从平面上的一个开集中去掉可数个不交拓扑圆盘而得到的集合。证明了满足一定曲率下界的平面曲线填充的剩余集的豪斯多夫维数有界远离1，定量地，仅依赖于曲率界.作为推论，任何圆填充的剩余集都有豪斯多夫维数一致有界远离1。这个结果推广了Larman的结果，他对正方形内的圆填充得到了同样的结论。我们还表明，我们的定理是最佳的，并不持有一般没有下曲率界。特别是，我们构造包装严格凸，平滑曲线的剩余集有1维。另一方面，证明了严格凸曲线的任何填充都不可能有$σ$ -有限Hausdorff 1-测度.
2020-10-28 math.CA math.CV math.MG
Dimension estimate for the two-sided points of planar Sobolev extension domains
本文给出了$1<p<2$的有界单连通Sobolev $W^{1,p}$ -扩张整环的边界的双边点集的豪斯多夫维数的一个估计.并通过实例说明了估计的合理性。我们还证明了双边点的不同定义的等价性。
2021-06-23 math.CA math.FA
Pinned distances of planar sets with low dimension
本文研究低维平面集的钉距集合，给出其豪斯多夫维数的改进下界，并证明弱正则及紧致Ahlfors-David正则集存在小通用集，使得钉距维数达到最小值。
2025-03-28 math.CA math.LO
Refined size estimates for Furstenberg sets via Hausdorff measures: a survey of some recent results
本文收集和讨论了关于所谓的“Furstenberg集问题”的一些最新结果，该问题的经典形式涉及平面集的豪斯多夫维数的估计，该平面集在任意方向上包含一个在该方向上具有某个规定维数的区间点的子集。这个问题与“挂谷针问题”密切相关。在这项工作中，我们从一个更一般的角度来处理这个问题，在广义Hausdorff措施与维函数。我们推广了已知的结果的“对数间隙”，并获得类似的经典估计。此外，这些类似物允许我们将我们的结果扩展到零维端点。我们还得到了关于定义为分形方向集的Furstenberg集的变化的维数的结果。我们证明了类似的不等式，反映了一组方向的大小和每个纤维的大小之间的相互作用。这个问题也研究了一般情况下的Hausdorff措施。
2013-05-16 math.CA
Dimension and measure of sums of planar sets and curves
两个平面集合的算术和的研究一直受到人们的关注。重点研究了当$A\subset \mathbb{R}^2$和$Γ$是分段$\mathcal{C}^2$曲线时，$A+Γ:=\left\{a+v:a\in A, v\in Γ\right\}$的测度和维数.假设$Γ$具有非零曲率，我们证明：（a）如果$\dim_{\rm H} A \leq 1$，则有$\dim_{\rm H} (A+Γ)=\dim_{\rm H} A +1$，其中$\dim_{\rm H}$表示Hausdorff维数;（b）如果$\dim_{\rm H} A>1$，则有$Leb_2(A+Γ)>0$，其中$Leb_2$表示$2$维Lebesgue测度;（c）如果$\dim_{\rm H} A=1$和$H^1(A) < \infty$，则有$Leb_2(A+Γ)=0$当且仅当$A$是一个不规则的（完全不可求长的）$1$ -集。这里，$H^1$表示$1$维Hausdorff测度。（a）和（b）项来自Wolff和Oberlin以前使用傅立叶分析的工作。在这篇文章中，我们开发了一种方法，使用非线性投影理论，它给出了新的证明（a）和（b）和（c）的第一个证明。第（c）项有许多结果：如果一个圆被随机扔到平面上，它几乎肯定不会与四角康托集相交。而且，不规则$1$ -集的钉扎距离集在几乎每个钉$t\in \mathbb{R}^2$处都有$…
2022-08-12 math.CA
The largest slice of fractal percolation
本文确定了平面分形渗流包含 $k$ 个共线点的维数阈值，并研究了临界维数下最大线性切片的广义豪斯多夫测度大小。
2025-01-25 math.CA math.PR
On a planar variant of the Kakeya problem
一个K^n_2-集是一个零勒贝格测度的集合，它包含了Gr（n，2）中一个满足曲率条件的（n-2）维流形中每个平面的平移。我们证明了这是关于Kakeya问题的一个自然集合类，并证明了对于所有的K^4_2-集合E，dim_H（E）\ge 7/2.当基础域被复数C取代时，我们得到C上所有K^4_2-集的dim_H（E）\ge 7，并且我们构造了一个例子来证明这是尖锐的。因此，C上的K^4_2-集不一定有全豪斯多夫维数。
2005-11-29 math.CA
On equality of Hausdorff and affinity dimensions, via self-affine measures on positive subsystems
在较弱的条件下，我们证明了平面自仿射集的仿射维度等于原集的自仿射真子集上支持的自仿射测度的李雅普诺夫维度的上确界。这些自仿射子集可以被选择为具有更强的分离特性，并且以这样的方式使得它们的仿射的线性部分是正矩阵。结合最近在自仿射测度及其相关Furstenberg测度研究中的一些突破，我们得到了自仿射集的豪斯多夫维数等于其仿射维数的新判据.例如，应用Barány，Hochman-Solomyak和Rapaport的最新结果，我们提供了新的显式自仿射集的例子，其豪斯多夫维数等于其亲和维数，并且其线性部分不满足任何控制假设。
2017-03-29 math.CA math.DS
Dimensions of random affine code tree fractals
本文计算了一类随机仿射平面码树分形的几乎处处Hausdorff维数。描述随机性的概率测度集包括随机$V$-变量和齐次马尔可夫结构中的自然测度。
2012-02-01 math.CA math.DS math.PR
On the distance sets spanned by sets of dimension $d/2$ in $\mathbb{R}^d$
该研究在全维数下对满足Hausdorff与packing维数相等的集合证明了Falconer距离集猜想的维数版本，给出低维及高维下距离集维数的显式估计，依赖的径向投影维新估计具独立价值。
2024-08-13 math.CA math.CO math.MG
New estimates on the size of $(α,2α)$-Furstenberg sets
我们使用最近的进展，离散和产品的问题，以获得新的界限上的豪斯多夫维数的平面$(α,2α)$ -Fursterberg集。这为Héra-Shmerkin-Yavicoli的$2α+ε$结合提供了定量改善。特别地，我们证明了每一个$1/2$ -Furstenberg集的维数至少为$1 + 1/4536$ .
2022-11-07 math.CA math.CO math.MG
