Carleson measures on planar sets
本文研究了复平面上开子集上的Carleson测度。一个圆形域是一个连通的开子集，它的边界由许多不相交的圆组成。我们称一个域$G$为多好连通的，如果存在一个圆形域$W$和一个从$W$到$G$的共形映射$ψ$，使得$ψ$关于$\partial W$上的弧长几乎是单叶的.我们刻画了这些开子集的所有Carleson测度，使得它们的每个分量都是多良连通的，并且分量的调和测度是相互奇异的.我们的结果表明Carleson测度的扩展可能取决于这一类开子集。
2013-07-01 math.CA
Interior of sums of planar sets and curves
最近，两个平面集合的算术和的研究受到了相当大的关注。我们专注于了解内部$\left(A+Γ\right)^{\circ}$，当$Γ$是一个分段$\mathcal{C}^2$曲线和$A\subset \mathbb{R}^2.$开始，我们给出一个例子，一个非常大的（全措施，密集，$G_δ$）集$A$，使$\left(A+S^1\right)^{\circ}=\emptyset$，其中$S^1$表示单位圆。这表明仅仅$A$的大小并不能保证$(A+S^1)^{\circ }\ne\emptyset$。然而，如果我们假设$A$是两个相当大的集合的一种广义积，那么只要$Γ$有非零曲率，就有$\left(A+Γ\right)^{\circ}\ne\emptyset$。作为我们方法的一个副产品，我们证明了$C:=C_γ\times C_γ$的钉扎距离集$γ\geq \frac{1}{3}$，钉扎在$C$的任何一点上都有非空的内部，其中$C_γ$（见（1.1））是中间的$1-2γ$ Cantor集（包括通常的中间三分之一Cantor集$C_{1/3}$）。我们对中三分之一康托集的证明需要一个单独的方法。我们还证明了$C+S^1$具有非空内部.
2017-07-05 math.CA
On a planar variant of the Kakeya problem
一个K^n_2-集是一个零勒贝格测度的集合，它包含了Gr（n，2）中一个满足曲率条件的（n-2）维流形中每个平面的平移。我们证明了这是关于Kakeya问题的一个自然集合类，并证明了对于所有的K^4_2-集合E，dim_H（E）\ge 7/2.当基础域被复数C取代时，我们得到C上所有K^4_2-集的dim_H（E）\ge 7，并且我们构造了一个例子来证明这是尖锐的。因此，C上的K^4_2-集不一定有全豪斯多夫维数。
2005-11-29 math.CA
Planar sets with large visible parts
University of Jyväskylä（于韦斯屈莱大学）
构造一个平面紧集，其在所有方向上的可见部分都是3/2维的，从而否证了可见性猜想，且该值不可增大。
2026-06-29 math.CA math.MG
Local dimension spectrum for dominated planar self-affine sets
本文研究主导平面自仿集的局部维数谱，通过精确维数分析扩展了该谱的应用范围，超越了传统几乎必然设置。
2026-01-19 math.CA math.DS
On planar Nikodym-type sets
本文研究平面Nikodym型集合的存在性，通过新极大函数和局部平滑估计以及Falconer投影定理的非线性推广，结合驯顺几何，精确刻画了解析曲线族中Nikodym型集合的存在条件。
2026-10-01 math.CA
Assouad dimension of planar self-affine sets
本文计算了满足强分离条件和投影条件的平面自仿射集$X$的Assouad维数，并证明了对于共形Assouad维数，$X$是最小的.此外，我们看到，这样的自仿射集$X$坚持非常强的切正则性，通过显示，任何两个点的$X$，这是通用的关于一个自仿射测度具有简单的李雅普诺夫谱，共享相同的切集。
2020-06-22 math.CA math.DS math.MG
Isosceles trapezoids of unit area with vertices in sets of infinite planar measure
本文肯定回答了 Erdős 的问题：每个无限 Lebesgue 测度的可测平面集必含单位面积等腰梯形的四个顶点，并将肯定结论推广到等腰三角形和直角三角形。
2025-01-03 math.CA math.CO math.MG
Planar sampling sets for the short-time Fourier transform
本文考虑了将短时傅里叶变换限制在平面上非零测度域的问题，并研究了这类系统的采样界。特别地，我们给出了Hermite窗口情况下采样下界的定量估计，并推导出了一类窗口在一定平面密度下的充分条件。在此基础上，我们证明了多解析函数的一个Remez型不等式。MSC2010：42C40、46E15、46E20、42C15
2019-06-07 math.CA math.CV math.FA
Polygons of unit area with vertices in sets of infinite planar measure
University of Zagreb（萨格勒布大学）
研究探讨了面积为1的多边形顶点在无限测度集合中的存在性，分别回答了循环四边形和等边凸多边形的问题。
2025-11-10 math.CA math.CO math.MG
Monotone Sobolev functions in planar domains: level sets and smooth approximation
我们证明了几乎每一个水平集的Sobolev函数在一个平面区域由点，约旦曲线，或同胚副本的一个区间。对于平面上的单调Sobolev函数，我们得到了几乎每个水平集都是平面上的嵌入$1$维拓扑子流形的更强结论。这里的单调性是在勒贝格的意义：最大值和最小值的功能在一个开集达到的边界。我们的结果是一个模拟的Sard定理，它断言，对于一个$C^2$ -光滑函数在一个平面域几乎每个值是一个正常的值。作为应用，我们证明了平面区域上的单调Sobolev函数可以用光滑单调函数在Sobolev范数下一致逼近。
2019-11-15 math.AP math.CA math.CV
Dimensions of equilibrium measures on a class of planar self-affine sets
研究了作用在平面上的有限个对角矩阵和反对角矩阵的集合所生成的自仿射集上的平衡测度（Käenmäki测度），并满足强分离性.我们的主要结果是：这类测度是精确维数的，并且维数满足Ledrappier-Young公式，该公式给出了测度的维数的熵和李雅普诺夫指数的显式表达式，以及测度的重要坐标投影的维数.特别是，我们这样做，证明了Käenmäki措施是等于（向前推进）的两个吉布斯措施的总和在一个相关的子移位的有限型。
2018-07-23 math.CA math.DS
Universal Taylor Series on products of planar domains
利用平面紧集乘积的Mergelyan型定理，建立了平面单连通域Ω i，i=1，. . .，d.通过平面紧集Ki（i=1，.）乘积上的通用函数的Taylor展开式的部分和实现了通用逼近. . .，d，使得Ki的补数是连通的，并且对于至少一个i0，集合Ki 0与Ω i0不相交。
2019-09-08 math.CA math.CV math.FA
Pinned distances of planar sets with low dimension
本文研究低维平面集的钉距集合，给出其豪斯多夫维数的改进下界，并证明弱正则及紧致Ahlfors-David正则集存在小通用集，使得钉距维数达到最小值。
2025-03-28 math.CA math.LO
New bounds on the dimensions of planar distance sets
证明了平面集的距离集和钉扎距离集的维数的新界。在其他结果中，我们证明了，如果$A\subset\mathbb{R}^2$是一个Borel集的Hausdorff维数$s>1$，那么它的距离集的Hausdorff维数至少为$37/54\approx 0.685$。此外，如果$s\in (1,3/2]$，则在Hausdorff维数至多为$1$的例外$y$的集合之外，固定距离集合$\{ |x-y|:x\in A\}$具有Hausdorff维数$\ge \tfrac{2}{3}s$和至少为$ \tfrac{1}{4}(1+s+\sqrt{3s(2-s)}) \ge 0.933$的填充维数。这些估计改进了Bourgain，Wolff，Peres-Schlag和Iosevich-Liu对Hausdorff维数$>1$的估计.我们的证明使用了测量的多尺度分解，与以前的工作不同，我们能够选择受某些约束的尺度。这导致了一个组合问题，这是我们的方法的一个关键的新成分，我们完全解决了优化某些变化的Lipschitz函数。
2019-04-01 math.CA math.CO math.MG
The Assouad dimensions of projections of planar sets
我们考虑Assouad维度的正交投影平面集到线上。我们的研究涵盖了一般和自相似集。对于一般集合，主要结果如下：如果平面上的集合有Assouad维数$s \in [0,2]$，那么投影几乎必然至少有$\min\{1,s\}$的Assouad维数.与豪斯多夫维数的著名类似物--即\emph{Marstrand's Projection Theorem} --相比，一个显著的区别是“至少”这个词不能省略：事实上，对于许多平面自相似维数集$s < 1$，我们证明了投影的Assouad维数对于一组正测度方向可以同时达到值$s$和$1$。对于自相似集，我们的研究自然分为两种情况：当旋转群是离散的，当它是稠密的。在“离散旋转”的情况下，我们证明了以下二分法为任何给定的投影：要么Hausdorff措施是积极的豪斯多夫维数，在这种情况下，豪斯多夫和Assouad维数重合;或豪斯多夫措施是零的豪斯多夫维数，在这种情况下，Assouad维数等于1。在“稠密旋转”的情况下，我们证明了每个投影的Assouad维数等于1，假设平面集不是一个单例。作为我们结果的另一个应用，我们证明了Assouad维数不存在\emph{Falconer's Theorem}.更确切地说，Assouad维度的自相似（或自仿射）集是不是在一般几乎肯定恒定时，随机的平移向量。
2016-10-14 math.CA math.DS math.MG
Characterization for stability in planar conductivities
当Calderón逆电导率问题的数据是在一个圆盘的边界上得到的并且在其边界附近的电导率是常数时，我们发现了一个完整的表征，即在$L^2$范数下具有稳定恢复的各向同性电导率集。为了获得这一结果，我们提出了最小的先验假设，这些假设足以使电导率集在有界和粗糙域中具有稳定的恢复。该条件的连续模所涉及的系数和它们的椭圆度界。
2017-03-31 math.AP math.CA
Strong asymptotics for Christoffel functions of planar measures
对于复平面上的一类集合E和测度，证明了变权Christoffel函数的强渐近性.这类测度包含平面上正则紧集E上Stahl-Totik意义下的所有正则测度，甚至允许变权。我们的主要定理涵盖了实数直线R的子集E的一些已知结果;特别地，我们恢复了E=R且具有勒贝格测度dx和权重w（x）= exp（-Q（x））的情况下的信息，其中Q（x）是具有正首项系数的非负偶数次多项式。
2007-09-13 math.CA math.CV
The Buffon's needle problem for random planar disk-like Cantor sets
本文研究了有限正1-Hausdorff测度自相似Cantor集的第三种随机模型，证明了Buffon针落在其δ-邻域的概率衰减率为c/log(1/δ)，印证了任何合理的正有限长度随机Cantor集均具有该衰减阶的直觉。
2023-09-07 math.AP math.CA math.PR
