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arXiv 2407.17837math.AP
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具有退化扩散和Hölder连续系数的抛物型方程组的部分梯度正则性

Partial gradient regularity for parabolic systems with degenerate diffusion and Hölder continuous coefficients

Fabian Bäuerlein

备注：
46 pages, 1 figure
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AI总结：

本文研究带Hölder连续系数的退化/奇异抛物型方程组，在非Uhlenbeck型结构、p-增长及小梯度类p-Laplacian退化的条件下，证明了弱解梯度的部分Hölder正则性。

摘要：

我们研究取值于$\u211d^N$（$N\in\mathbb{N}$）的向量值弱解$u:\Omega_T\to\mathbb{R}^N$，它满足如下退化或奇异抛物型方程组：在$\Omega_T=\Omega\times(0,T)$中，$\partial_t u - \mathrm{div}\\, a(z,u,Du) = 0$，其中$\Omega$是$\mathbb{R}^n$（$n\geq1$）中的开集，$T>0$为有限时间。假设向量场$a$不具备Uhlenbeck型结构，满足$p$-增长条件，且对任意$\xi\in\mathbb{R}^{Nn}$，映射$(z,u)\mapsto a(z,u,\xi)$是Hölder连续的；我们证明：当向量场在小梯度处呈现类似$p$-Laplacian（$p$-拉普拉斯算子）的退化性时，梯度$Du$是部分Hölder连续的。

英文摘要：

We consider vector valued weak solutions $u:Ω_T\to \mathbb{R}^N$ with $N\in \mathbb{N}$ of degenerate or singular parabolic systems of type \begin{equation*} \partial_t u - \mathrm{div} \, a(z,u,Du) = 0 \qquad\text{in}\qquad Ω_T= Ω\times (0,T), \end{equation*} where $Ω$ denotes an open set in $\mathbb{R}^{n}$ for $n\geq 1$ and $T>0$ a finite time. Assuming that the vector field $a$ is not of Uhlenbeck-type structure, satisfies $p$-growth assumptions and $(z,u)\mapsto a(z,u,ξ)$ is Hölder continuous for every $ξ\in \mathbb{R}^{Nn}$, we show that the gradient $Du$ is partially Hölder continuous, provided the vector field degenerates like that of the $p$-Laplacian for small gradients.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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