Horn versus full first-order: complexity dichotomies in algebraic constraint satisfaction
我们研究的技术，决定计算复杂性的无限域约束满足问题。对于某些基本代数结构Delta，我们证明了以下形式的可定义性二分法定理：对于Delta的每个一阶扩展Gamma，要么Gamma在Delta中具有无量词Horn定义，要么Gamma中存在元素d，使得Gamma中的所有非空关系包含形式为（d，...，d），或者所有在Delta中具有一阶定义的关系在Gamma中具有本原正定义。结果表明，几个家庭的约束满足问题表现出复杂性二分法：问题是在P或NP-难，这取决于选择的允许关系。作为具体的例子，我们研究基本的代数约束满足问题。第一类由（Q;+）的所有一阶展开式组成。第二类是第一类的仿射变体。在这两种情况下，我们通过利用我们的一般方法获得充分的二分法。
2010-06-02 cs.CC cs.LO math.LO
Approximating partition functions of bounded-degree Boolean counting Constraint Satisfaction Problems
研究了有限度下近似计数约束满足问题的复杂性.具体地说，给定一个布尔约束语言$Γ$和一个度界$Δ$，我们研究了#CSP $_Δ(Γ)$的复杂性，即计算满足$Γ$约束且其变量最多出现$Δ$次的CSP实例的赋值问题.我们的主要结果表明：（i）如果$Γ$中的每个函数都是仿射的，则#CSP $_Δ(Γ)$对于所有$Δ$都在FP中，（ii）否则，如果$Γ$中的每个函数都在称为IM $_2$的类中，则对于所有足够大的$Δ$，#CSP $_Δ(Γ)$在近似保持（AP）约简下等价于计数问题#BIS（二分图中独立集的计数问题）（iii）否则，对于所有足够大的$Δ$，即使在指数因子内，也是NP-困难的，以近似#CSP $_Δ(Γ)$的实例的满意分配的数目。我们的结果扩展了以前的结果，只适用于所谓的“保守”的情况。
2020-08-20 cs.CC cs.DS
Approximating Constraint Satisfaction Problems Symmetrically
本文研究了约束满足问题（CSP）的最优值在多大程度上可以用带计数的不动点逻辑（FPC）语句来近似。已知，在假设$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$和唯一对策猜想的条件下，通过求解和舍入一个特定的半定规划松弛，给出了任意CSP的最佳多项式时间近似算法.我们证明了一个类似的算法，可定义为FPC的解释，这并没有假设$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$。虽然我们不能放弃（一个FPC版本）的唯一游戏猜想作为一个假设，我们提出了一些部分的结果来证明它。具体来说，我们给出了一个新的结构，它表明，对于所有的$α> 0$，存在一个正整数$q = \text{poly}(\frac{1}α)$，使得没有没有FPC解释给出一个$α$ -近似的唯一游戏的标签集的大小$q$。
2020-08-03 cs.CC cs.LO
The Complexity of Quantified Constraint Satisfaction: Collapsibility, Sink Algebras, and the Three-Element Case
约束满足问题（CSP）是一个公认的框架，其中许多组合搜索问题可以自然地制定。CSP可以被看作是决定一个逻辑句子的真值的问题，该逻辑句子由约束条件的连接组成，在约束条件之前，所有变量都是存在性量化的。量化的约束满足问题（QCSP）是CSP的推广，其中除了存在量化之外，还允许泛量化。这些问题的一般棘手性激发了研究这些问题的复杂性下的限制约束语言，这是一组关系，可以用来表达约束。本文介绍了可扩展性，一种在QCSP上导出正复杂性结果的技术。特别是，这种技术允许一个显示，对于一个特定的约束语言，QCSP减少到CSP。我们表明，可验证性适用于三个已知的易于处理的情况下，QCSP最初研究使用不同的证明技术在不同的几十年：量化2-SAT（Aspvall，Plass，和Tarjan 1979），量化角SAT（Karpinski，Kleine Büning，和施密特1987），和量化的Affine-SAT（Crevanu，Khanna，和苏丹2001）。这和解，并揭示了这些情况下，这是由约束语言描述的两个元素域之间的共同结构。除了统一这些已知的易处理的情况下，我们研究约束语言的域的大小较大。
2006-07-25 cs.CC cs.LO
The Complexity of the Distributed Constraint Satisfaction Problem
本文从理论上研究了同步匿名网络上分布式约束满足问题的复杂性。在这种设置中，变量和约束由代理控制，代理通过固定的通信信道发送消息来相互通信。我们的研究结果认可了经典CSP中的一个众所周知的事实，即固定模板计算问题的复杂性取决于模板在某些操作下的不变性。具体来说，我们表明，DCSP（$Γ$）是多项式时间易处理的当且仅当$Γ$是不变的对称多态性的所有arities。否则，没有在有限时间内求解DCSP（$Γ$）的算法。我们还表明，同样的条件适用于搜索变种的DCSP。附带地，我们的研究结果揭示了一个功能的进程的邻域在分布式网络，其迭代度，这在分析中起着重要作用。我们探讨这个概念建立一个紧密的连接与基本的线性规划放松的CSP。
2021-01-22 cs.CC cs.DC cs.DS
Local consistency as a reduction between constraint satisfaction problems
针对承诺CSP需更强表达归约的问题，提出一致性归约框架，覆盖多数承诺CSP的NP难度证明归约，刻画弧一致性相关片段，还可用于设计易解算法并描述Sherali-Adams层级。
2024-05-17 cs.CC cs.LO
The Complexity of Weighted Boolean #CSP
本文给出了加权布尔约束满足问题实例的配分函数计算复杂性的一个二分法。该问题由非负函数的有限集合F参数化，该非负函数可以用于将权重分配给问题实例的配置（可行解）。经典的约束满足问题对应于0，1值函数的特殊情况。我们证明了配分函数，即所有配置的权重之和，可以在多项式时间内计算，如果（1）F中的每个函数都是"乘积型“，或（2）F中的每个函数都是"纯仿射”。对于每一个其他的固定集合F，计算配分函数是FP^{#P}-完全的。
2008-06-19 cs.CC math.CO
The Complexity of Reachability in Affine Vector Addition Systems with States
该研究刻画了仿射VASS中整数可达性的复杂性，给出三分法：重置类NP完全，转移/复制类PSPACE完全，其余不可判定；标准可达性仅置换类可判定，并探讨了固定实例的复杂性任意性。
2021-07-19 cs.CC cs.FL cs.LO
Relaxation and Metastability in the RandomWalkSAT search procedure
分析了随机布尔约束满足的局部搜索解决过程的平均性质。取决于每个变量的约束的比率alpha，解析花费时间T_res随着实例的大小N线性增长（T_res \sim tau（alpha）N，alpha < alpha_d）或指数增长（T_res \sim exp（N zeta（alpha）），alpha > alpha_d）。在线性阶段的弛豫时间τ（α）计算通过系统的扩展方案的基础上的量子公式的演化算子。当α> α_d时，系统被困在某个亚稳态中，并通过跨越一个大势垒从该亚稳态中逃逸而分解.退火计算的高度zeta（α）的这个障碍。多项式/指数交叉α_d与解之间聚类的开始无关。
2003-01-29 cond-mat cs.CC
The Power of the Combined Basic LP and Affine Relaxation for Promise CSPs
在约束满足问题（CSP）领域，承诺CSP是一个令人兴奋的新的研究方向。在promise CSP中，每个约束都有两种形式：“严格”和“弱”，在相关的决策问题中，必须区分能够满足所有严格约束和不能满足所有弱约束。Promise CSP最常被引用的例子是近似图着色问题-最近已经看到了令人兴奋的进展[BKO 19，WZ 20]，受益于基于“多态性”的Promise CSP的系统代数方法，该操作将每个约束的严格形式的元组映射到相应弱形式的元组。在这项工作中，我们提出了一个简单的算法，在多项式时间解决了所有承诺CSP，承认无限多的对称多态性，这是在任意坐标排列不变的决策问题。这概括了前两位作者的工作[BG 19]。我们还将该算法扩展到更一般的块对称多态性类。作为一个推论，这个单一的算法解决所有多项式时间听话的布尔CSP同时。这些结果提供了一个新的视角Schaefer的经典二分法定理，并进一步阐明对称性的多态性如何使算法。最后，我们表明，块对称多态性不仅是充分的，而且是必要的，这种算法的工作，从而建立其精确的权力
2020-09-18 cs.CC cs.DS cs.LO
Approximating Rectangles by Juntas and Weakly-Exponential Lower Bounds for LP Relaxations of CSPs
我们表明，约束满足问题（CSP），次指数大小的线性规划松弛是强大的$n^{Ω(1)}$轮的Sherali-Adams线性规划层次。作为一个推论，我们获得了次指数大小的下界线性规划松弛击败随机猜测许多CSP，如MAX-CUT和MAX-3SAT。这是一个接近指数级的改进，以前的结果，它是唯一已知的大小为$n^{o(\log n)}$的线性程序不能击败任何CSP的随机猜测（Chan-Lee-Raghavendra-Steurer 2013）。我们的界限是通过利用和扩展最近的进展，通信复杂性的“提升”查询下界通信问题。在我们的结果的主要成分是一个新的结构结果“高熵矩形”，可能独立的兴趣在通信复杂性。
2017-12-30 cs.CC cs.DM cs.DS
On k-Submodular Relaxation
$k$ -次模函数，由Huber和Kolmogorov引入，是定义在$\{0, 1, 2, \dots, k\}^n$上满足某些次模型不等式的函数。$k$ -次模函数通常作为NP难问题的松弛而出现，并且由$k$ -次模函数得到的松弛在高效、近似或固定参数的易处理算法的设计中起着关键作用。受此启发，我们考虑以下问题：给定一个函数$f : \{1, 2, \dots, k\}^n \rightarrow \mathbb{R} \cup \{\infty\}$，确定$f$是否扩展到一个$k$ -次模函数$g : \{0, 1, 2, \dots, k\}^n \rightarrow \mathbb{R} \cup \{\infty\}$，其中$g$被称为$f$的一个$k$ -次模松弛。我们给出了允许$k$ -次模松弛的函数的多态性刻画，并给出了一个组合$O((k^n)^2)$ -时间算法来寻找一个$k$ -次模松弛或建立一个$k$ -次模松弛不存在.我们的算法具有有趣的性质：（1）如果输入函数是整数值，那么我们的算法输出一个半整数松弛，（2）如果输入函数是二进制的，那么我们的算法输出唯一的最优松弛。我们介绍了我们的算法在有值约束满足问题中的应用。
2016-09-09 cs.CC cs.DS math.OC
Beyond #CSP: A Dichotomy for Counting Weighted Eulerian Orientations with ARS
我们定义并探索了约束函数的唯一素分解的概念，并以此作为一个新的工具来证明计数加权欧拉方向问题的复杂性分类与箭头反转对称（ARS）。我们证明了所有这样的问题要么是多项式时间可计算的，要么是#P-hard的。我们证明了一类加权欧拉方向问题包含了布尔变量上的所有加权计数约束满足问题（#CSP）。更重要的是，我们建立了一个新的连接#CSP和计数加权欧拉方向问题，是全球性的。这种连接是基于$\mathbb{Z}_2$上所有半权仿射线性子空间的结构决定，这是使用莫比乌斯反演证明。
2020-06-02 cs.CC
The power of Sherali-Adams relaxations for general-valued CSPs
我们给出了一个精确的代数刻画的权力的Sherali-Adams松弛值约束满足问题的最优解。的条件是，有界宽度已经被证明捕捉的权力的局部一致性方法的决定CSP和半定规划的强大逼近CSP的权力。我们的特性有几个算法和复杂性的后果。在算法方面，我们表明，一些新的和许多已知的值的约束语言是通过第三层次的Sherali-亚当斯松弛易于处理。对于已知的语言，这是一个比以前获得的算法简单得多的算法。在复杂性方面，我们得到了一个二分法定理的值约束语言，可以表示一个单射一元函数。这意味着Kolmogorov和Zivny [JACM'13]建立的保守值约束语言的二分法定理的简单证明，以及极小解问题的精确可解性的二分法定理。这些是任意有限域的最小一问题的推广。我们的结果改进了Khanna等人[SICOMP'00]，Jonsson等人[SICOMP'08]和Uppman [ICALP'13]以前的几个分类。
2017-03-21 cs.CC cs.DM
Promise Constraint Satisfaction and Width
我们研究了固定模板Promise约束满足问题（PCSP）的边界宽度一致性算法的能力。我们的主要技术发现是，模板的每一个PCSP是可解的有界宽度满足一定的结构条件，这意味着它的代数闭包性质包括弱近的多态性的所有大的arities。虽然这与标准（非承诺）CSP理论相似，但证明方法却截然不同，甚至适用于次线性宽度的范围。我们还表明，与CSP世界相比，弱近多态性的存在下，所有大的arities不保证有界宽度的可解性。分离的例子甚至在线性规划松弛的Sherali-Adams（SA）层次结构的第二层中是可解的。这表明，与CSP不同，线性规划可以比有界宽度更强。这些方法的一个直接应用还表明，对于任意两个常数$p$和$q$使得$3 \leq p \leq q$，$p$ -可着色图的$q$-着色问题在有界甚至次线性宽度上都是不可解的.转向算法，我们注意到，Wigderson的算法$O(\sqrt{n})$ -着色$3$ -着色图与$n$顶点是可实现的宽度$4$。实际上，通过推广该方法，我们看到，对于任何小于$1/2$的$ε> 0$，解决具有$n$顶点的$O(n^ε)$ -着色$3$ -可着色图的问题的最佳宽度位于$n^{1-3ε}$和$n^{1-2ε}$之间。上界给出了一个简单的$2^{Θ(n^{1-2ε}\log(n))}$时间算法，该算法渐近地击败了直接的$2^{Θ(n^{1-ε})}$界，该界…
2021-07-13 cs.CC cs.DM
Piecewise Linear Valued CSPs Solvable by Linear Programming Relaxation
值约束满足问题是一类组合优化问题。VCSP的计算复杂性取决于输入中允许的成本函数集。最近，有限域上有限组代价函数的所有VCSP的计算复杂性已被分类。然而，许多自然的优化问题，不能制定为VCSP在有限域。通过研究分段线性齐次代价函数的VCSP的复杂性，我们开始了对无限域VCSP的系统研究。如果代价函数通过所有整数的完全对称分式运算得到改进，则这种VCSP可以在多项式时间内求解。我们表明这一点，通过减少问题的有限域VCSP，可以解决使用基本的线性规划松弛。由此可见，VCSPs的次模块化PLH成本函数可以解决在多项式时间，事实上，我们表明，次模块化PLH功能形成一个最大的易处理类PLH成本函数。
2019-12-18 cs.CC cs.LO math.LO
CLAP: A New Algorithm for Promise CSPs
提出了一种求解承诺约束满足问题的新算法。它是$\textbf{C}$约束基本$\textbf{L}$ P松弛和$\textbf{A}$仿射I $\textbf{P}$松弛（CLAP）的组合。我们给出了一个表征的权力CLAP的一个奴才同态。使用这种特性，我们确定了一定的弱对称性的概念，如果满足无限多的多态性的PCSP，保证易处理。我们证明，有PCSP解决CLAP没有解决任何现有的算法PCSP;特别是，不是由BLP+AIP算法的Brakensiek等人。[SICOMP'20]，而不是通过减少到易处理的有限域CSP。
2022-10-22 cs.CC cs.DM cs.DS
Toward a Uniform Algorithm and Uniform Reduction for Constraint Problems
本文提出统一框架，通过多valued minion描述约束问题的求解能力，引入新的SDP-like向量放松方法，证明其等价于AIP-Z_p放松的第k级，并解决二面体群D4的CSP问题。
2026-04-07 cs.CC cs.DS cs.LO
The Sherali-Adams Hierarchy for Promise CSPs through Tensors
本文研究了承诺约束满足问题（PCSP）中的Sherali-Adams线性规划问题。当层次结构的一个级别接受一个实例时，我们将其转换为通过约束语言的张量幂获得的适当的多线性结构的同态问题。这种结构的几何，它包括在一个空间的张量满足一定的对称性，然后允许建立非解的近似图着色问题，通过不断的许多层次的Sherali-亚当斯。除了这个主要的应用程序，我们的张量化建设引入了一个新的工具，层次结构的算法松弛计算问题内（并可能超越）的上下文约束满足的研究。特别是，我们认为这是一个关键的一步，以代数表征的权力，谢拉利-亚当斯PCSP。
2022-11-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Beyond PCSP (1-in-3,NAE)
承诺约束满足问题（promise constraint satisfaction problem，PCSP）是约束满足问题（constraint satisfaction problem，CSP）的一个推广，它描述了可满足实例的近似性。一个PCSP实例带有两种形式的约束：严格约束和弱约束。假设存在使用严格约束的解，则任务是使用弱约束找到解。虽然现在有几个二分法的PCSP片段的结果，他们都认为（在某种程度上）对称的PCSP。1-in-3-SAT和Not-All-Equal-3-SAT是布尔对称（非承诺）CSP的经典示例。虽然这两个问题都是NP难的，但Brakensiek和Guruswami证明了[SICOMP'21]，给定一个1-in-3-SAT的可满足实例，可以找到相应的（较弱的）不全等于3-SAT的解决方案。换句话说，PCSP模板（1-in-3，NAE）是易处理的。我们专注于非对称的PCSP。特别是，我们研究PCSP模板从布尔模板（t-in-k，NAE）通过添加元组到t-in-k或从NAE删除元组。对于前者，我们将所有模板分类为易于处理的或不可解决的，由目前已知的最强的PCSP算法，结合基本LP和Brakensiek，Guruswami，Wrochna，和Gracivnovik的仿射IP松弛[SICOMP'20]。对于后者，我们将所有模板分类为易处理或NP难。
2022-08-28 cs.CC cs.DM
Extended Formulation Lower Bounds for Refuting Random CSPs
随机约束满足问题（CSP），如随机$3$ -SAT被证明是计算困难的。随机$3$ -SAT和其他CSP的平均情况硬度对近似，学习理论和密码学问题具有广泛而深远的影响。在这项工作中，我们证明了次指数下界的大小线性规划松弛反驳随机情况下的约束满足问题。形式上，假设$P : \{0,1\}^k \to \{0,1\}$是一个谓词，它支持在其满足的赋值上的$t-1$ -wise均匀分布。考虑带有$m = Δn$约束的CSP $P$随机实例的分布。我们表明，任何线性规划扩展配方，可以反驳的情况下，从这个分布与恒定的概率必须有大小至少$Ω\left(\exp\left(\left(\frac{n^{t-2}}{Δ^2}\right)^{\frac{1-ν}{k}}\right)\right)$的所有$ν> 0$。例如，对于具有线性数目的子句的随机$3$ -SAT，这产生大小$\exp(n^{1/3})$的下限。我们使用伪校准技术直接从种植分布中获得扩展的配方下限。这种方法绕过了在证明一般LP下界时构造Sherali-Adams完整性缺口的需要。作为一个推论，人们得到了一个自包含的证明，这些问题的次指数Sherali-Adams LP下界。我们相信，这一结果揭示了伪校准技术，一个有前途的，但不合理的方法，LP/SDP的下限。
2019-11-07 cs.CC cs.DS
