Lectures on Nonnegative Polynomials and Sums of Squares
这些课堂讲稿提供了非负多项式和平方和理论的非正式介绍。我们强调的历史和一些最近的发展，特别是新的连接与经典（复）代数几何和交换代数。我们简要地讨论连接到半定规划和应用。我们希望读者熟悉代数和代数几何的基本原理，在研究生课程的水平上，并知道关于正半定矩阵的基本事实。
2021-05-29 math.AG
Moments, Sums of Squares, and Tropicalization
本文用热带化刻画半代数集上矩锥与伪矩锥的组合结构，借此区分非负多项式与平方和，并揭示平方和逼近的局限。
2025-09-01 math.AG math.CO math.FA
Fixed points of the EM algorithm and nonnegative rank boundaries
两个离散随机变量的$r$独立分布的混合可以用非负秩矩阵$r$表示。这种联合分布的模型的似然推断导致真正的代数几何的问题，在这里解决的第一次。我们刻画了期望最大化算法的不动点集，并研究了非负秩至多为$3$的矩阵空间的边界.这两个集合都对应于具有许多不可约分量的代数簇。
2015-03-05 math.AG math.OC math.ST
Positivity of polynomials on the nonnegative part of certain affine hypersurfaces
研究多项式在特定仿射超曲面非负部分上的非负性，证明严格正多项式可由正系数多项式表示，推广Pólya定理。
2026-03-11 math.AG
A sum of squares approximation of nonnegative polynomials
我们证明，每个实非负多项式$f$都可以根据需要通过平方和的多项式序列$\{f_ε\}$来近似。每一个$f_ε$都有一个简单而明确的形式，表示为$f$和$ε$。对于凸半代数集上的非负凸多项式，也得到了一种特殊的表示。
2004-12-20 math.AC math.AG
Sums of Squares: A Real Projective Story
非负多项式与平方和的关系是实代数几何中的中心问题之一。一个现代的方法是研究实簇上的非负多项式和平方和。我们调查这一领域的丰富历史，并侧重于最近的发展，突出意想不到的联系，复杂的代数几何和交换代数。
2021-01-14 math.AG math.OC
Algebraic volumes of divisors
投射簇上的卡地亚因子的体积是一个非负的实数，它度量因子的倍数的部分的渐近增长。已知这些数的集合是可数的，并且具有乘法半群的结构。与此同时，仍然不知道哪些非负的实代数数是作为某个簇上的卡地亚因子的卷而出现的。在这里，我们扩展了建设首先使用的Cutkosky，并使用理论的实乘法阿贝尔簇，以获得一个大类的例子代数卷。我们还表明，$π$产生的体积。
2016-11-30 math.AG math.NT
A Positivstellensatz for Sums of Nonnegative Circuit Polynomials
最近，第二和第三作者发展了非负回路多项式的和（SONC）作为实多项式非负性的新证明，它独立于平方和。本文证明了在非负多项式锥中SONC锥是全维的。我们建立了一个Positivstellenum，它保证了每个多项式是积极的一个给定的紧，半代数集可以表示的集合和SONC多项式的约束。在此基础上，我们提供了一个层次的下界收敛于一个给定的紧集$K$上的多项式的最小值。此外，我们表明，这些新的边界可以有效地计算通过内点方法使用有关相对熵函数的结果。
2017-03-17 math.AG math.OC
Amoebas, Nonnegative Polynomials and Sums of Squares Supported on Circuits
我们完全刻画部分的锥的非负多项式，凸多项式和平方和多项式支持电路，一类真正的稀疏多项式。特别是，非负性的特征在于一个不变量，它可以立即从初始多项式导出。此外，这种多项式$f$的非负性与$f$的变形虫的坚固性一致，即，$f$的代数簇$\mathcal{V}(f) \subset (\mathbb{C}^*)^n$的对数绝对值图像。这些结果推广了早期的作品都在变形虫理论和真正的代数几何Fidalgo，Kovacec，Reznick，Theobald和德沃尔夫和解决一个开放的问题Reznick。他们建立了阿米巴理论和实多项式的非负性之间的第一个直接联系。此外，这些陈述产生了一个全新的非负性证书，独立于平方和证书。
2015-10-25 math.AG math.CO
Discriminants and Nonnegative Polynomials
对于R^n中的半代数集K，设P_d（K）是R^n中次数至多为d的多项式的锥，这些多项式在K上是非负的。本文研究了它的边界几何。当K=R^n且d为偶数时，证明了它的边界位于由单个多项式判别式定义的不可约超曲面上.当K是实代数簇时，我们证明了P_d（K）位于由多个多项式的判别式所定义的超曲面上。当K是一般半代数集时，我们证明了P_d（K）位于由判别方程定义的超曲面的并上。给出了这些超曲面的度和判别式的显式公式。我们还证明了P_d（K）一般不存在对数多项式型障碍，但存在对数半代数型障碍。示出了一些说明性示例。
2010-04-23 math.AG math.OC
A Linear-algebraic Proof of Hilbert's Ternary Quartic Theorem
希尔伯特的三元四次定理指出，每个三元的非负4次齐次多项式都可以写成三个齐次二次多项式的平方和。通过证明正半定矩阵的结构锥是由秩为1的元素生成的，给出了Hilbert定理的一种线性代数方法。
2019-05-12 math.AG
Refined Asymptotics for Multigraded Sums of Squares
要证明一个多项式在R^n上是非负的，可以尝试证明它是多项式平方和（SOS）。后者的问题是现在已知的是减少到一个半定规划（SDP）的计算速度比经典的代数方法，从而使新的加速代数优化。然而，究竟有多少次非负多项式实际上是多项式的平方和仍然是一个悬而未决的问题。布莱克曼最近能够证明，对于n个变量的k次多项式（k>=4固定），当n趋于无穷大时，SOS多项式在R^n上的非负多项式中所占的比例非常小。着眼于小n的情况下，我们完善Blekherman的边界纳入基础的牛顿多面体，同时锐化他的一些老边界的道路上。我们改进的渐近性表明，某些牛顿多面体可能会导致家庭的多项式，有效的SDP仍然可以用于大多数输入。
2010-10-26 math.AG math.OC
SOS approximations of nonnegative polynomials via simple high degree perturbation
我们表明，每一个真正的多项式$f$非负$[-1,1]^{n}$可以近似的$l_{1}$ -范数的系数，由一系列的多项式$\{f_{\ep r}\}$的平方和。这补充了s.o.s.的存在。近似Berg，Christensen和Ressel的稠密结果，因为我们提供了一个非常简单的和\textit{explicit}近似序列。然后证明了如果矩问题对于内部非空的基本闭半代数集$K_S\subset\R^n$成立，则$K_S$上的每个非负多项式都可以用相应的预序中的元素以类似的方式近似.最后，我们表明，在近似序列的扰动程度依赖于$ε$以及程度和非负多项式$f$的系数的大小，但不是在其系数的具体值。
2005-10-21 math.AG
The K-moment problem for continuous linear functionals
给定一个闭的（不一定紧的）基本半代数集$K\subseteq R^n$，我们解决了连续线性泛函的$K$ -矩问题.即，我们在$R[x]$上引入了加权$\ell_1$ -范数$\ell_w$，并证明了预序$P$和二次模$Q$（与$K$的生成元有关）的$\ell_w$ -闭包是$K$上非负多项式的锥$psd(K)$.我们还证明了$P$和$Q$解决了$\ell_w$ -连续线性泛函的$K$ -矩问题，并完全刻画了这些$\ell_w$ -连续线性泛函在$P$和$Q$上（因此在$psd(K)$上）的非负性。当$K$有一个非空的内部，我们也提供了一个明确的形式规范$\ell_w$ -投影$g^w_f$的任何多项式$f$，（度截断）预序或二次模。值得注意的是，对$g^w_f$的支持非常少，并且不依赖于$K$！这使我们能够在$K$上提供明确的Positivstellenum。最后，我们给出了$K$上多项式非负的一个简单刻画，这是证明上述结果的关键。
2011-09-05 math.AG math.CA math.OC
Positive trigonometric polynomials
本文从代数的角度研究了非负三角多项式的边界。特别地，我们证明了它是不可约代数超曲面的子集，并建立了它的结式的显式形式。
2003-01-06 math.AC math.AG math.CV
Isoparametric polynomials and sums of squares
希尔伯特第17问题问的是，是否每个非负多项式都可以是有理函数的平方和。阿廷对此作出了肯定的回答。然而，一个给定的非负多项式是否是多项式的平方和的问题仍然是实代数几何中的一个中心问题。本文完全解决了由E。Cartan，它定义了相应的等参超曲面的焦点子流形。
2022-10-12 math.AG math.DG
Virtual Betti numbers of real algebraic varieties
利用双有理映射的弱因子分解定理证明了：对所有非负i，紧致非奇异实代数簇的第i个mod 2贝蒂数对所有实代数簇的“虚贝蒂数“beta_i有唯一的扩张，使得若Y是X的闭子簇，则beta_i（X）= beta_i（X \Y）+ beta_i（Y）.
2002-10-23 math.AG
The Gauss map and a noncompact Riemann-Roch formula for constructible sheaves on semiabelian varieties
对于代数群G中的一个不可约子簇Z，我们定义一个非负整数gdeg（Z）作为Z的Gauss映射在一定意义下的次数.它可以看作是Z的余法丛与T^*G的零截面的交指标的替代，即使G可能是非紧的。对于半交换簇G（特别是代数环面（C^*）^n），我们证明了G上可构造层的Riemann-Roch型公式，其中包含了我们对交指标的替换.作为推论，我们得到了这样一个G上的反常层具有非负的欧拉示性数，推广了Loeser-Sabbah的一个定理.
1999-09-15 math.AG
Sufficiently Regularized Nonnegative Quartic Polynomials are Sum-of-Squares
University of Oxford（牛津大学）
研究揭示了正则化下非负四次多项式成为平方和的条件，指出四次正则化在多项式优化中的关键作用，区分了可计算与不可计算的优化区域。
2026-04-02 math.AG math.OC
Approximation and homotopy in regulous geometry
设X，Y是非奇异实代数集.一个映射fi：X-->Y称为k-正则的，其中k是非负整数，如果它是C^k类的，且fi对X的某个Zebriki开稠密子集的限制是正则映射.设Y是一致有理的，且k>0，我们证明了C^inf映射f：X-->Y可以用C^k拓扑中的k-正则映射逼近当且仅当f同伦于k-正则映射.一致有理实代数簇包括球面、Grassmannian曲面和实有理曲面，并且在非奇异中心爆破下是稳定的。进一步，设Y=S^p（单位p维球面），我们得到了C^k拓扑中k-正则映射对X到S^p的C^inf映射的逼近的几个新结果，其中k是非负的.
2023-02-02 math.AG
Algebraic certificates for the truncated moment problem
截断矩问题包括确定给定的实数y的有限维向量是否是通过对有限维欧几里得空间的给定集合K上关于非负测度的有界次数多项式的向量空间的基进行积分而获得的。这个问题在优化、控制理论和统计学中有很多应用。当K是一个紧半代数集时，K上的非负测度的矩锥和K上的非负多项式的锥之间的对偶产生了一个选择：要么y是矩向量，要么y不是矩向量，在这种情况下，K上存在一个严格正的多项式，使得依赖于y的线性泛函为零。这样的多项式是矩不可表示性的代数证明。我们研究的复杂性计算这样的证书，使用计算机代数算法。
2023-02-14 math.AG math.OC
A Sum of Squares Characterization of Perfect Graphs
该研究给出完美图的代数刻画，证明图为完美图当且仅当关联非负多项式是平方和，还得到非平方和非负多项式族、刻画特殊图类并将完美图经典结果转化为平方和证明命题。
2023-05-02 math.AG math.CO math.OC
Approximation by piecewise-regular maps
一个维数为m的实代数簇W称为一致有理的，如果它的每一个点都有一个与R^m的一个Zurski开子集双正则同构的Zurski开邻域。设l为任意非负整数。证明了C^l类中从实代数簇的紧子集到一致有理实代数簇的映射都可以在C^l拓扑中用C^k类的分段正则映射来逼近，其中k是大于或等于l的任意整数.接下来，我们推导出拓扑向量丛代数化的结果。
2019-08-26 math.AG
Real algebraic curves, the moment map and amoebas
本文证明了实平面代数曲线关于三条直线的极大排列的拓扑唯一性。更一般地，我们证明了拓扑唯一性的最大安排代数曲线上的真正复曲面。我们使用矩映射作为研究实代数曲线的拓扑及其复化的工具。
2000-10-02 math.AG
Chapter 12: The moment problem on compact semi-algebraic sets (revised version)
本文是著作第12章的修订版，为二次模和半环的Archimedean Positivstellensätze提出统一方法，并补充了半环Positivstellensätze与矩问题的新结果。
2023-09-18 math.AG math.FA
The NIEP is solvable by reality and finitely many polynomial inequalities
本文证明非负逆特征值问题可由实性条件及有限多项式不等式求解，并指出对称与实NIEP为半代数集，概述了实代数几何工具的应用。
2024-07-19 math.AG
Semidefinite representation for convex hulls of real algebraic curves
我们证明了R^n的任何一维半代数子集的闭凸包都有一个半定表示，这意味着它可以表示为某些线性矩阵不等式的解集的线性投影.这是证明的应用程序的时刻松弛法。给定一条非奇异仿射实代数曲线C及其R点的紧致半代数子集K，已知C上所有在K上非负的正则函数的预序P（K）都是非线性生成的.我们证明了P（K）是稳定的，这意味着P（K）的元素的加权平方和表示存在一致的度界。我们还将最后一个结果推广到K仅为虚紧的情形。证明稳定性的主要技术工具是阿基米德局部-全局原理。作为结果的一个推论，我们证明了R^2的每个凸半代数子集都有一个半定表示。
2017-09-18 math.AG
Stubborn Polynomials
Universität Leipzig（莱比锡大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；Technische Universität Dortmund（多特蒙德工业大学）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
研究顽固多项式在实代数几何中的性质，证明三元六次多项式非负当且仅当其实delta不变量至少为9。
2026-02-01 math.AG
Algebraic and Real K-theory of Algebraic varieties
设V是定义在实数上的光滑簇。V上的每一个代数向量丛在其基础拓扑空间V（C）上诱导出一个复向量丛，并且由复共轭产生的对合使它成为Atiyah意义下的实向量丛。这种联系导致了一个自然的映射，从V的代数K理论到Atiyah的V（C）的“实K理论”。当n至少是V的维数时，至少当m是2的幂时，我们证明了从K_n（V ; Z/m）到KR ^{-n}（V（C）;Z/m）的映射是同构的.我们的关键下降结果是V的K理论空间与复簇V（C）的K理论空间的同伦不动点（对于复共轭）的比较。当V是d-球面S的仿射簇时，结果是KR*（V（C））=KO*（S）。在这种情况下，我们证明了对所有非负的n，我们有K_n（V ; Z/m）= KO^{-n}（S ; Z/m）。
2005-09-19 math.AG math.KT
Tractable hierarchies of convex relaxations for polynomial optimization on the nonnegative orthant
Institute of Mathematics, Vietnam Academy of Science and Technology（越南科技科学院数学研究所）；CNRS（法国国家科学研究中心（CNRS）、劳伦斯·亚当斯研究所（LAAS））；LAAS（图卢兹大学；劳伦斯·亚当斯研究所）；Université de Toulouse（新加坡国立大学数学系）；LAAS；Department of Mathematics, National University of Singapore
针对非负卦限半代数集上的多项式优化问题，提出基于Pólya正性定理扩展的可调节矩阵尺寸的半定松弛层级，证明其收敛速率，且在两类应用中效果与速度均优于标准Moment-SOS层级。
2025-06-11 cs.LG math.AG math.OC
Toric ideals, real toric varieties, and the algebraic moment map
这是一个关于复曲面变体的某些方面的教程，这些方面与它们在几何建模中的潜在用途有关。我们讨论了投射环面簇及其理想，以及真正的环面簇和代数矩映射。特别地，我们解释了线性精度和代数矩映射之间的关系。这建立在大卫·考克斯对复曲面品种的介绍基础上：什么是复曲面品种？网址：http://www.cs.amherst.edu/~dac/lectures/tutorial.ps
2008-04-18 cs.CG math.AG
Gram Spectrahedra
将非负多项式表示为平方和是实代数几何的核心，也是积极研究的主题。给定多项式的平方和表示由半正定格拉姆矩阵的凸体参数化，称为格拉姆谱面体。这是多项式优化和凸代数几何中的一个基本目标。我们总结的平方和，自然适合到革兰氏光谱面体的背景下，提出了一些新的结果，并突出相关的开放性问题。我们讨论的平方和表示的最小长度，并将它们与厄米克光谱面和点的评价复曲面品种。
2018-05-02 math.AG
A connectedness property of algebraic moment maps
设连通约化群G作用在光滑连通簇X上. X的余切丛是一个Hamilton G-簇。我们表明，它的“总矩映射“有连接的纤维。这是我的论文dg-ga/9712010关于外尔群的哈密尔顿流形的第6节的扩展版本。
2001-08-09 math.AG math.RT math.SG
Algebraic polynomials and moments of stochastic integrals
提出了一种证明随机积分矩估计的代数方法。该方法使用定性性质的根代数多项式从某些一般类。作为应用，我们给出了关于实局部平方可积鞅的随机积分的Burkholder-Davis-Gundy不等式的一个变形的新证明.进一步可能的应用和扩展的方法进行了概述。
2011-02-24 math.AG math.PR
Airy limit for the Jack process and topological expansion
该研究建立Jack-Plancherel过程的多时间软边矩收敛性，推导其极限矩的布朗桥展开，确定等时极限与Airy_β过程的关联，得到边际b猜想的渐近β拓扑展开及β=2时Witten-Kontsevich相交数的显式非负公式。
2026-10-27 math-ph math.AG math.CO
Sharp Degree Bounds for Sum-of-Squares Certificates on Projective Curves
给定一条实射影曲线，其齐次坐标环R和R中的一个非负齐次元素f，我们在R中限定了一个非零齐次平方和g的次数，使得乘积fg仍是平方和.更好的是，我们的度界只依赖于曲线的几何不变量，我们表明，存在平滑曲线和非负元素，我们的边界是尖锐的。我们从凸代数几何中的一个新的Bertini定理推导出乘子g的存在性，并通过变形复曲面上的有理Harnack曲线证明了其尖锐性。我们的技术也产生类似的边界乘子表面上的最小程度，推广希尔伯特的工作三进制形式。
2018-06-24 math.AG
On fibers of algebraic invariant moment maps
本文研究了仿射辛簇上约化群的Hamilton作用的不变矩映射纤维的一些性质。我们证明了所有的纤维都有相等的维数。进一步，在一些附加的限制条件下，我们证明了纤维的逆元是不可约正规格式。本文是AG/0612559 v1第5节和第7.2小节的扩展版本。
2009-09-14 math.AG math.RT math.SG
Algebraic Degree of Network Games: Balanced Factors and Strategy Scaling
Nanjing Normal University（南京师范大学）
本文通过热带几何推导达塔公式，揭示了网络游戏总混合纳什均衡的代数次数结构，展示了代数次数作为网络架构复杂性不变量的特性。
2026-09-15 math.AG math.CO
Reconstructing real algebraic maps locally like moment-maps with prescribed images and compositions with the canonical projections to the $1$-dimensional real affine space
本研究提出一类局部类似矩映射、原像为单点集或球面乘积的非正余维数显式实代数映射，补充了Nash-Tognoli理论下显式实代数映射实例不足的问题，并给出其与典范投射复合的显式函数族。
2024-09-15 math.AG math.GN math.GT
Moment-like maps and real algebraic functions with prescribed preimages
本文研究构造具有指定原像和单一奇异值的显式实代数函数，推广球面投影与Morse-Bott函数，并首次考虑原像拓扑，推动实代数奇点理论研究。
2025-06-21 math.AG math.CO math.GT
A transversality theorem for semi-algebraic sets with application to signal recovery from the second moment and cryo-EM
本文证明了半代数集在群表示中的横截性定理，并将其应用于从二阶矩恢复信号的问题，特别针对冷冻电镜推导出分子结构恢复的显式界，同时给出Gram矩阵分解、多参考对齐、相位恢复及置换不变分离器设计的信息论界。
2025-08-18 cs.IT eess.SP math.AG
