A closedness theorem and applications in geometry of rational points over Henselian valued fields
本文研究了任意Hensel值域$K$上$K^{n}$的代数子簇的几何性质。这是我们上一篇关于秩一值域上代数几何的文章的继续。我们方法的中心又是闭性定理，即投影$K^{n} \times \mathbb{P}^{m}(K) \to K^{n}$是可定义的闭映射。它使应用程序的奇点的分解在很大程度上相同的方式在局部紧凑的基域。如前所述，该定理的证明使用i.a.一个变量和纤维收缩的可定义函数的局部行为，是曲线选择的放松版本。但是现在，为了达到前一个结果，我们首先检查由代数幂级数给出的函数。我们以前的所有结果都将在这里建立在一般的背景下：几个版本的曲线选择（通过奇点的奇点的分解）和Jasojasiewicz不等式（通过下面指出的两个量词消去实例），扩展连续遗传有理函数以及正则函数、集合和层的理论，包括零星定理和嘉当定理A和B。本文中应用的两个基本工具是量词消除Henselian值字段由于Pas和相对量词消除有序阿贝尔群（在许多排序的语言与想象中的辅助排序）由于Cluckers-Halupczok。其他，新的应用程序的封闭性定理是分段连续的可定义的功能，霍德尔连续性的可定义的功能封闭有界子集的$K^{n}$，存在可定义的收缩到封闭的可定义子集的$K^{n}$，和一个可定义的，非阿基米德版本的Tietze-Urysohn扩展定理。在最近的预印本中，我们建立了具有解析结构的Hensel值域上的闭…
2020-03-06 math.AG
Homotopy Wave Function in Algebraic Geometry
本文提出将simplicial k-algebras上derived stacks的Segal topos的同伦形状作为量子力学波函数概念的高阶同伦推广。
2025-03-07 math-ph math.AG math.MP
A^1-homotopy invariance in spectral algebraic geometry
本文在谱代数几何的背景下研究了两种不同风格的A^1-同伦理论，并与经典的A^1-同伦理论进行了比较。作为一个应用，我们表明，谱模拟的韦伯的同伦不变量K-理论崩溃的经典理论。在此基础上，我们通过推广Bass-Schaason-Trobaugh构造，给出了稳定无穷范畴的非连接代数K理论的一个新的构造.
2020-10-15 math.AG math.AT math.KT
A stratified polyhedral homotopy method for sampling positive-dimensional zero sets of polynomial systems
Auburn University at Montgomery（阿拉巴马州奥本大学蒙哥马利分校）
本文提出一种改进的分层多面体同伦方法，统一了孤立解计算与非孤立分量采样，并实现BKK界的局部分解。
2025-09-26 math.AG
Anabelian geometry with etale homotopy types
具有etale同伦类型的Anabel几何以自然的方式推广了具有etale基本群的经典Anabel几何。证明了在经典意义和广义意义下，在Q上生成的域k上的光滑簇的任何点都有一个基本的（仿射）Anabelian Zerkiki-邻域系统.这是格罗滕迪克在给法尔明斯的信中所预言的。
2016-07-12 math.AG math.AT math.NT
The numerical algebraic geometry of bottlenecks
这是代数簇上瓶颈的计算研究。光滑簇$X \subseteq \mathbb{C}^n$的瓶颈是$\mathbb{C}^n$中在两个不同点垂直于$X$的线。主要结果是一个数值同伦，可以用来近似所有孤立的瓶颈。这个同伦在某些一般性假设下有最优的路径数。在这个过程中，我们证明了在欧几里得距离度的瓶颈的数量上的界限。应用程序包括计算两个真正的品种之间的距离的最优化问题。此外，计算瓶颈可以被看作是计算光滑实品种的范围的问题的一部分，并且计算范围的有效方法仍有待开发。本文讨论了实簇三角剖分与计算机图形学中网格剖分算法的关系。由此产生的算法已实施与贝尔蒂尼和Macaulay2。
2018-04-26 math.AG
Cohomology theories for homotopy algebras and noncommutative geometry
本文建立了一个研究强同伦代数$A_\infty, C_\infty$和$L_\infty$ -代数的上同调理论的一般框架。这个框架是基于非交换几何所阐述的康纳斯和Kontsevich。然后利用所发展的机器建立了Hochschild的Hodge分解和$C_\infty$ -代数的循环上同调的一般形式.这概括并提出了一个概念框架以前的工作Loday和Gerstenhaber-Schack。
2007-07-26 math.AG math.KT math.QA
Some Quantitative Results in Real Algebraic Geometry
实代数几何是研究半代数集，由多项式等式和不等式的布尔组合定义的$\R^k$的子集。本论文的重点是研究定量结果在真正的代数几何，主要是上界的拓扑复杂性的半代数集的测量，例如，由他们的贝蒂数。我们研究的拓扑复杂性的另一个定量度量是有界描述复杂性的半代数集的同伦类型的数量。半代数集的描述复杂度取决于上下文，但它只是定义半代数集的公式中多项式复杂度的某种度量（例如，多项式的变量的次数和数量，即所谓的密集格式）。我们还提供了一个描述的Hausdorff极限的一个参数家庭的半代数集，同伦类型，作者希望能找到进一步的使用在未来。最后，在本论文的最后一章，我们证明了一个分解定理类似于著名的半代数集的圆柱分解，但它的优点是需要显着更少的细胞在分解。这最后一个结果的设定不是在半代数几何中，而是在o-极小结构的更一般的设定中。
2013-07-31 math.AG
Numerical Algebraic Geometry for Macaulay2
数值代数几何使用数值数据来描述代数簇。它是基于数值多项式同伦连续的方法，一种替代经典的计算代数几何符号方法。我们提出了一个软件包，背后的驱动思想是相互联系的现有符号的方法Macaulay 2和强大的引擎的数值近似计算。该软件包的核心程序具有与其他同伦延拓软件相媲美的性能。
2011-05-22 cs.MS math.AG
Orientation theory in arithmetic geometry
本文在Morel和Voevodsky的运动同伦理论的基础上，研究了算术几何中的定向理论。主要的工具是一个配方的绝对纯度属性的\emph{arithmetic cohomology theory}，无论是表示的carnival部分的稳定同伦范畴或满足适当的公理。我们给出了许多例子，公式化，并证明了分析不变性的一个有用的性质。在这个公理，我们彻底发展的理论的特征和基本类，Gysin和剩余态射。这是用来证明Riemann-Roch公式，在Grothendieck风格的任意自然变换的上同调，和一个新的剩余态射。正如Grothendieck在\cite [XIV，6.1]{SGA 6}中所期望的那样，它们被应用于有理动机上同调和有理$\ell$ -adic上同调。
2018-07-14 math.AG
An Introduction to $\mathbf{A}^1$-Enumerative Geometry
我们提供了一个简要的介绍$\mathbb{A}^1$ -枚举几何，它使用的$\mathbb{A}^1$ -同伦理论的机器，以丰富经典的枚举几何问题在更广泛的领域。包括讨论丰富的地方程度的态射的光滑计划，以下莫雷尔，$\mathbb{A}^1$ -米尔诺数，以及各种计算工具和最近的例子。基于Kirsten Wickelgren在2018年LMS-CMI暑期学校“同伦理论和算术几何，Motivic和丢番图方面”的讲座。''
2020-07-19 math.AG math.AT
Ramification and descent in homotopy theory and derived algebraic geometry
我们介绍的概念，unramified和完全分歧的映射在很大的一般性-交换环，计划，环谱，或派生计划。我们证明了在数域上整数环的情况下，该定义与经典定义是等价的。新的定义直接导致（没有计算技术）的计算拓扑霍赫希尔德同调的整数环。证明了THH（R）是映射$R[ΩS^3]\otimes_RΩ^1_{R/\mathbb{Z}}\to R[ΩS^3\langle 3\rangle]$的同伦上纤维，因此存在长正合列$\cdots\to H_\ast(ΩS^3;Ω^1_{R/\mathbb{Z}})\to H_\ast(ΩS^3\langle 3\rangle;R)\to THH_\ast(R)\to\cdots$。任何时候扩张Y/X是非分歧扩张和全分歧扩张的合成，我们的结果允许通过一种弱etale下降（分歧下降）来研究THH（X）。
2021-12-29 math.AG math.AT math.KT
Big pictures of motivic and classical homotopy theories
本文通过与经典对应物比较，探讨motivic同伦理论的全景及其与Voevodsky motives的联系。
2024-01-02 math.AG math.AT
A polyhedral homotopy algorithm for computing critical points of polynomial programs
在本文中，我们提出了一种方法，使用拉格朗日乘子和数值代数几何找到所有的临界点，因此全球解决，多项式最优化问题。我们设计了一个多面体同伦算法，明确地构造一个最佳的启动系统，绕过与多面体同伦算法的典型瓶颈。我们的算法的正确性来自于多项式的代数多项式的次数优化程序的交集理论计算，并依赖于显式求解相应拉格朗日系统的热带化。我们目前的实验表明，我们的算法优于传统的同伦连续算法。
2023-02-09 math.AG math.OC
The Morel-Voevodsky localization theorem in spectral algebraic geometry
我们证明了谱代数空间上的Morel-Voevodsky局部化定理的一个类似物。作为推论，我们推导出一个“导出的幂零不变性”结果，非正式地说，A^1-同伦不变性杀死了联结交换环谱的所有高阶同伦群。
2019-05-13 math.AG math.AT math.KT
The rigid analytic period mapping, Lubin-Tate space, and stable homotopy theory
本文利用从形变空间到射影空间的 étale 刚性解析映射研究 Lubin-Tate 空间几何，得到等变典范丛的简单描述，并由此导出稳定同伦论中对偶化复形的公式。
1994-01-01 math.AG math.AT
Differential Geometry of Synthetic Schemes
University of Gothenburg（哥德堡大学）；Chalmers University of Technology（查尔摩斯理工大学）
该研究在综合代数几何框架下，利用同伦类型论给出概形间平展、光滑、非分歧映射的新综合定义，证明其微分刻画及光滑概形切空间性质，验证三类概形的局部代数描述的具体性。
2025-10-03 math.AG math.LO
Obstruction sequences to homotopy equivalences
Stockholm University（斯德哥尔摩大学）
研究完备微分分次李代数中规范等价存在性的阻碍理论，用于刻画特定微分分次代数间同伦等价，应用此理论在代数拓扑和几何中建立新结果，尤其关注高连通簇极小模型。
2026-07-29 math.AG math.AT math.QA
Cohomology operations and algebraic geometry
该手稿是一个概述的动机和基础背后Voevodsky的想法建设类类似于普通拓扑同伦类别。这些范畴的对象与代数簇严格相关，并保持它们的某些代数不变式。
2009-03-25 math.AG math.AT
Filtered A-infinity structures in complex geometry
我们证明了一个过滤版本的同伦传递定理，它给出了一个A-无穷代数结构的任何一页的谱序列相关联的过滤DG-代数。然后，我们开发各种应用程序的几何和拓扑的研究复流形，使用霍奇过滤，以及复杂的代数簇，使用混合霍奇理论
2022-10-17 math.AG math.AT
The homotopy Leray spectral sequence
在这篇工作中，我们建立了一个类似于代数拓扑中的Serre谱序列和代数几何中的Leray谱序列的运动同伦谱序列。在这里，我们专注于奠定必要的基础，以建立谱序列，并给出一个方便的描述其$E_2$ -页。我们的描述的$E_2$ -页是在同源的本地系统的纤维，这是使用类似于罗斯特的循环模的理论。最后，我们提供了谱序列的一些示例应用和未来工作的一些提示。
2019-05-09 math.AG math.AT math.KT
Formality of Kapranov's brackets in Kähler geometry via pre-Lie deformation theory
我们恢复了Dotsenko，Shadrin和Vallette最近关于准李代数的Deligne广群的一些结果，表明它们自然地遵循PBW定理的准李变体.作为应用，我们证明了Kähler流形的Dolbeault复形上的Kapranov $L_\infty$代数结构是同伦交换的，并且在$L_\infty$同构之前与Kähler度量的选择无关，通过使平凡同伦和$L_\infty$同构显式化.
2015-11-11 hep-th math.AG math.QA
Algebraic Models for Quasi-Coherent Sheaves in Spectral Algebraic Geometry
本文通过适配同调理论，证明了稳定同伦论和谱代数几何中特定非连通几何栈上拟凝聚层存在代数模型。
2025-02-28 math.AG math.AT math.CT
Flexibility properties in Complex Analysis and Affine Algebraic Geometry
在过去的几十年中，仿射代数簇和具有大（无限维）自同构群的Stein流形得到了深入的研究。提出了几个表示自同构群大的概念。所有这些都意味着所讨论的流形是Oka-Forstneriffy流形。这个重要的概念最近也从复分析中围绕同伦原理的深入研究中融合了出来。这个同伦原理可以追溯到20世纪30年代，对多复变数领域的发展产生了巨大的影响，其应用的数量也在不断增长。在这篇概述文章中，我们提出了3类属性：1。密度特性，2.灵活性3.奥卡-福斯特内里厄对于每个类，我们给出了相关的定义，其最重要的功能，并解释所有这些属性之间的已知含义。许多困难的数学问题可以通过应用发展的理论来解决，我们指出了一些最壮观的。
2013-10-09 math.AG math.CV
Brauer and Etale Homotopy Obstructions to Rational Points on Open Covers
在2010年，Poonen给出了局部-整体原理失败的第一个例子，这不能用Skorobogatov的经典Brauer-Manin阻塞来解释。出于这个例子，我们表明，Brauer-Manin障碍检测不存在的有理点上足够精细的Zebriki开盖的任何品种在一个虚构的二次或全实领域。我们提供了一些证据，为什么这是预计会发生更普遍的任何数域，其中一些涉及到部分猜想在阿那贝尔几何。然后，我们证明了一个结果的行为的étale Brauer阻塞纤维化的品种使用étale同伦阻塞的Harpaz和第二作者。最后，我们使用的结果和其他技术，进一步分析Poonen的例子，我们的一般结果。
2020-08-16 math.AG math.NT
Some real and unreal enumerative geometry for flag manifolds
本文提出一种构造计数几何实解的方法，给出实解数量下界，应用于旗流形证明两类问题可全实解、一类无实解，源于数值同伦延拓算法。
2000-07-19 cs.NA math.AG math.NA
Derived Analytic Geometry for Z-Valued Functions. Part I -- Topological Properties
研究了从紧Hausdorff拓扑空间$X$到拓扑为离散的Banach环$R$的连续函数的巴拿赫代数${\rm C}(X, R)$.证明了${\rm C}(X, R)$的Berkovich谱同胚于$ζ(X) \times {\mathcal M}(R)$，其中$ζ(X)$是$X$的Banaschewski紧化，${\mathcal M}(R)$是$R$的Berkovich谱.我们研究了如何拓扑的频谱${\rm C}(X, R)$是相关的同伦Zapriki开放嵌入的概念，用于派生几何。我们发现，$ζ(X)$的拓扑结构可以很容易地重建从同伦Zuraki拓扑相关的${\rm C}(X, R)$。我们还证明了一些结果的存在Schauder基地${\rm C}(X, R)$和推广的石头-维尔斯特拉斯定理，适当的假设下$X$和$R$。
2021-07-19 math.AG math.FA math.OA
Univalent Foundations of Constructive Algebraic Geometry
本文在同伦类型论与单一基础下，研究了定义qcqs-schemes的两种构造性方法，并证明了这两种定义的一致性，建立了相应范畴间的等价关系。
2024-07-24 math.AG math.LO
A Foundation for Synthetic Algebraic Geometry
本文基于Kock和Blechschmidt的工作，在Zariski topos内部建立代数几何基础，使用同伦类型论结合三个公理作为其内部语言，提出“Zariski局部选择”公理并通过立方模型证明其合理性，贡献了高阶类型在上同调推理中的应用。
2023-09-12 math.AG math.LO
Homotopy finiteness of some DG categories from algebraic geometry
本文证明了特征零域上有限型分离概形的凝聚层有界导出范畴是同伦有限呈现的，证实了Kontsevich猜想，并将其刻画为光滑本征簇导出范畴的DG商，同时推广到矩阵分解的$\mathbb{Z}/2$-分次DG范畴。
2018-12-26 math.AG math.CT math.RA
Twisted K-theory in motivic homotopy theory
本文从动机的角度研究扭代数$K$ -理论.对于特征为零的域上的光滑簇$X$和$X$上的Azumaya代数$\mathcal{A}$，通过计算作为动机上同调扭曲形式的动机扭曲代数$K$ -理论谱的切片，构造了$\mathcal{A}$ -扭曲动机谱序列.这推广了Kahn-Levine的先前结果，其中假定$\mathcal{A}$从基本场被拉回。我们的方法使用切片过滤和双有理几何之间的相互作用。一路上，我们证明了一个可表示的结果，表示扭曲的$K$ -理论的动机空间作为扭曲的格拉斯曼的“扭曲整数”层的扩展。这导致了扭曲同伦$K$ -理论的cdh下降和Milnor切除的证明。
2022-07-10 math.AG math.AT math.KT
Stratified noncommutative geometry
本研究提出非交换层的分层理论与重构定理，给出分层构造运算及对偶重构形式，将其应用于等变稳定同伦理论与张量三角几何，得到相应对称幺半群分层结果。
2023-11-09 math.AG math.AT math.CT
Moduli stack of oriented formal groups and cellular motivic spectra over $\mathbf C$
基于Gheorghe，Isaksen，Wang，Xu的motivic $τ$ -形变图，我们揭示了motivic同伦理论与谱代数几何之间的关系.更准确地说，我们确定细胞motivic频谱$\mathbf C$与ind-coherent层（在一个稍微非标准的意义上）在一定的频谱堆栈$τ_{\ge 0}(\mathcal M_\mathrm{FG}^\mathrm{or})$。后者是非连接谱栈$\mathcal M_\mathrm{FG}^\mathrm{or}$的连接覆盖，定向形式群的模栈，我们之前已经介绍过，并结合色同伦理论进行了研究。我们还提供了一个几何起源的水平上的堆栈所观察到的$τ$ -变形行为的水平上的层，基于一个概念的扩展有效的卡地亚因子谱代数几何。
2021-12-01 math.AG math.AT
Restriction to finite-index subgroups as étale extensions in topology, KK-theory and geometry
对于等变稳定同伦理论，等变KK-理论和等变导出范畴，我们证明了如何限制到一个有限指数的子群产生一个有限交换可分扩张，类似于代数几何中的有限代数扩张。
2015-11-13 math.AG math.AT math.CT
Topological modular forms (aftern Hopkins, Miller, and Lurie)
这是2009年3月布尔巴基同名谈话的姊妹篇。通过拓扑模形式上的Hopkins-Miller-Lurie定理来说明同伦理论与代数几何之间的相互作用，从而了解到椭圆曲线的Deligne-Mumford模叠加是作为一个对象在导出代数几何中规范地实现的。
2009-10-27 math.AG math.AT
General witness sets for numerical algebraic geometry
数值代数几何与代数几何中的相交理论有着密切的联系。我们深化这种关系，解释如何合理或代数等价给出了同伦。利用相交理论的思想，给出了光滑完备复代数簇的子簇的证明集的一般概念。在适当的假设下，一般的见证集可以实现数字算法，如采样和成员资格。这些假设适用于旗流形的乘积。我们介绍了舒伯特证据集，它提供了一般的证据集格拉斯曼和旗流形。
2020-05-16 cs.NA math.AG math.NA
Algebraic Geometry over model categories (a general approach to derived algebraic geometry)
对于一个（半）模型范畴M，我们定义了M上的同伦Grothendieck拓扑的概念，以及与之相关的栈模型范畴。我们用它来定义一个对称monoidal基模型范畴上的几何堆栈的概念;几何堆栈是“在模型范畴上做代数几何”的基本对象。我们给出了两个例子，这种形式主义的应用。第一个是DG-方案作为几何叠加在模型范畴的配合物的解释和第二个是一个定义的标准K理论的E_{\infty} -环光谱。这个第一个版本是非常初步的，可能被认为是一个详细的研究公告。一些证据，更多的细节和更多的例子将在即将到来的版本中添加。
2001-10-10 math.AG math.AT
Affine stacks (Champs affines)
这是预印本《同伦类型的图式化》的扩充和修订版。这项工作的目的是介绍一个概念的\emph{affine stacks}，这是一个同伦版本的概念的仿射计划，并给出几个应用的背景下，代数拓扑和代数几何。作为第一个应用程序，我们展示了如何仿射栈可以使用，以给出一个新的观点（和新的证明）的理性和$p$进同伦理论。这给出了A的第一个解。\cite{gr}中描述的Grothendieck \emph{schematization problem}。我们还使用仿射栈来引入\emph{schematic homotopy types}的概念。我们表明，示意同伦类型给出了第二个解决方案的图式化问题，这也使我们能够超越理性和$p$ -进同伦理论的空间与任意基本群。图式同伦类型的概念也用于构造对应于各种上同调理论的代数簇的各种同伦类型（Betti，de Rham，$l$ -adic，.），扩展了各种基本群的公知结构。最后，由于代数栈是通过胶合仿射方案得到的，我们将\emph{$\infty$-geometric stacks}定义为仿射栈的某种胶合。$\infty$ -几何堆栈的背景下，代数拓扑（模空间的dga结构的准同构）和霍奇理论（非阿贝尔周期）的例子。
2006-04-25 math.AG math.AT math.CT
Categorified algebra and equivariant homotopy theory
本论文包括三个集合的结果，都由一个共同的主题。主题是通过代数技术研究范畴，将范畴本身视为代数对象。这种范畴论的代数方法是非对易代数几何的核心，正如最近在非对易动机研究中取得的进展所实现的那样。在对称么半群和半环$\infty$范畴的一般情况下，我们成功地证明了代数结果，它们分别对阿贝尔群和环进行了分类。例如，我们证明了有限集的半环范畴Fin上的模是余范畴monoidal $\infty$ -范畴，Burn上的模（Burnside $\infty$ -范畴）是加性$\infty$ -范畴.因此，我们可以把Lawvere理论看作是循环的$\text{Fin}^\text{op}$ -模，从而为Lawvere理论的高级范畴研究提供了代数基础。我们证明了Lawvere理论的功能作为一个家的代数Yoneda引理。最后，我们提供证据的形式之间的对偶天真和真正的等变同伦理论，在一个组理论的Eilenberg-Watts定理。这建立了等变同伦理论和动机同伦理论之间的平行关系，其中伯恩赛德构造类似于森田理论。我们推测，这种关系可以精确的范围内的非交换动机的领域与一个元素。
2018-05-22 math.AG math.AT math.CT
Mysterious Triality and Rational Homotopy Theory
神秘的对偶性是由伊克巴尔、内茨克和瓦法在2001年发现的，它是M理论和del Pezzo曲面的环形紧化中某些对称模式之间令人信服的神秘对应，两者都受根系级数$E_k$的支配。事实证明，德尔佩佐曲面序列并不是数学中唯一一个产生相同$E_k$对称模式的对象序列。我们给出了一系列拓扑空间，从四球$S^4$开始，然后形成它的迭代循环回路空间$\mathcal{L}_c^k S^4$，在其中我们通过有理同伦理论发现了$E_k$对称模式。对于这个空间序列，它的$E_k$对称模式和M理论的环面紧化模式之间的对应关系不再是一个谜，因为每个空间$\mathcal{L}_c^k S^4$都自然地与$k$环面上的M理论的紧化有关，这是通过将$(11-k)$维超引力的运动方程确定为$\mathcal{L}_c^k S^4$的沙利文极小模型的定义方程来实现的。这给出了代数拓扑和物理之间的明确的对偶性。由此，我们将Iqbal-Neitzke-Vafa的代数几何与物理之间的神秘对偶性推广为一个包含代数拓扑的对偶性。通过这种三重性，物理学和数学之间的二重性被揭开了神秘面纱，而这个神秘性作为代数几何和代数拓扑之间的二重性被转移到数学领域。现在的问题是：在del Pezzo曲面$\mathbb{B}_k$和$S^4$的迭代循环回路空间之间是否存在明确的关系，从而可以解释共同的$E_k$对称模式？
2023-01-09 hep-th math.AG math.AT
