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用环和 $K_4$ 的细分分离图的边

Separating the edges of a graph by cycles and by subdivisions of $K_4$

Fábio Botler, Tássio Naia

备注：
10 pages, 7 figures
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AI总结：

本文研究图边的分离系统，将路径分离结果推广到团细分，证明任意图可用线性数量的边与环、或边与 $K_4$ 细分分离。

摘要：

图 $G$ 的分离系统是 $G$ 的一族子图 $\mathcal{S}$，并满足以下条件：对于 $G$ 的所有不同边 $e$ 和 $f$，$\mathcal{S}$ 中都存在一个包含 $e$ 但不包含 $f$ 的元素。最近已有结果表明，每个阶为 $n$ 的图都具有由 $19n$ 条路径组成的分离系统［Bonamy、Botler、Dross、Naia、Skokan，《Separating the Edges of a Graph by a Linear Number of Paths》，Adv. Comb.，2023年10月］，这改进了此前 $\mathrm{O}(n\log^\star n)$ 的近线性界［S. Letzter，《Separating paths systems of almost linear size》，Trans. Amer. Math. Soc.，待发表］，并解决了 Balogh、Csaba、Martin 和 Pluhár 以及 Falgas-Ravry、Kittipassorn、Korándi、Letzter 和 Narayanan 提出的猜想。我们研究了将这些结果自然推广到团的细分，证明每个图都具有由 $41n$ 个边和环组成的分离系统，以及由 $82n$ 个边和 $K_4$ 的细分组成的分离系统。

英文摘要：

A separating system of a graph $G$ is a family $\mathcal{S}$ of subgraphs of $G$ for which the following holds: for all distinct edges $e$ and $f$ of $G$, there exists an element in $\mathcal{S}$ that contains $e$ but not $f$. Recently, it has been shown that every graph of order $n$ admits a separating system consisting of $19n$ paths [Bonamy, Botler, Dross, Naia, Skokan, Separating the Edges of a Graph by a Linear Number of Paths, Adv. Comb., October 2023], improving the previous almost linear bound of $\mathrm{O}(n\log^\star n)$ [S. Letzter, Separating paths systems of almost linear size, Trans. Amer. Math. Soc., to appear], and settling conjectures posed by Balogh, Csaba, Martin, and Pluhár and by Falgas-Ravry, Kittipassorn, Korándi, Letzter, and Narayanan. We investigate a natural generalization of these results to subdivisions of cliques, showing that every graph admits both a separating system consisting of $41n$ edges and cycles, and a separating system consisting of $82 n$ edges and subdivisions of $K_4$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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