Randomized sparse grid algorithms for multivariate integration on Haar-Wavelet spaces
\emph{deterministic}稀疏网格方法，也称为Scarlak方法，是一种成熟且广泛使用的处理多元近似问题的工具，有大量的文献对其进行了研究，但对稀疏网格方法的\emph{randomized}版本知之甚少。本文分析了$D$维单位立方体$[0,1)^D$上多元积分的随机稀疏网格算法，即随机稀疏网格求积。令$d,s \in \mathbb{N}$使得$D=d\cdot s$。稀疏网格求积的$s$维构建块基于$s=1$的分层采样和$s\ge 2$的加扰$(0,m,s)$ -网。我们考虑的被积函数空间和误差准则是具有参数$α$和随机误差的Haar小波空间（即，最坏情况的均方根误差）。我们证明了自己的敏锐（即，匹配）的上界和下界的收敛速度的$N$ -th最小误差的参数$d$和$s$的所有可能的组合。如果把Haar小波空间看作是具有光滑参数$1/2< α< 1$的混合控制光滑的Sobolev被积空间，我们的误差上界仍然成立.
2020-01-23 cs.NA math.NA
Random-prime--fixed-vector randomised lattice-based algorithm for high-dimensional integration
本文提出随机素数–固定生成向量的随机化格点积分算法，证明其在加权 Korobov 空间中达到接近最优的随机化误差速率，并通过乘积权重下的构造算法与数值实验验证理论。
2023-04-20 cs.NA math.NA
Explicit error bounds for randomized Smolyak algorithms and an application to infinite-dimensional integration
Institut für Mathematik, Universität Osnabrück（奥斯纳布吕克大学数学研究所）；Mathematisches Seminar, Christian-Albrechts-Universität zu Kiel（基尔大学克里斯蒂安-阿尔布雷希特大学数学系）
本文研究了随机化的Smolyak算法，提供了误差界并探讨了其在无限维积分中的应用，包括收敛率分析和确定算法优于确定性算法的空间条件。
2019-03-06 cs.NA math.NA
CUR for Implicit Time Integration of Random Partial Differential Equations on Low-Rank Matrix Manifolds
本研究提出一种基于CUR低秩近似的Newton隐式时间积分方法，用于在低秩矩阵流形上高效求解随机偏微分方程离散化得到的刚性非线性矩阵微分方程，结合秩自适应和高阶隐式格式，有效控制误差并提升了计算效率。
2024-08-29 cs.NA math.NA
On the Randomization of Frolov's Algorithm for Multivariate Integration
Friedrich-Schiller-Universität Jena（耶拿弗里德里希·席勒大学）
本文研究了Frolov算法在多变量积分中的随机化方法，分析了其误差界及最优性，探讨了在混合光滑性空间中的应用。
2016-03-16 cs.NA math.NA
Randomized quasi-Monte Carlo integration
Stanford University（斯坦福大学）
本文针对统计领域读者，梳理随机拟蒙特卡罗（RQMC）的历史与当前方向，阐述其作为数值积分方法的特性及误差表现，为相关研究提供讲解。
2026-08-19 cs.NA math.NA stat.CO
Scrambled Polynomial Lattice Rules for Infinite-Dimensional Integration
本文利用加扰多项式晶格规则在随机情形下比加扰数字网具有更优的强可处理性，改进了无穷维积分的误差界。
2010-10-29 cs.NA math.NA
Iterative thresholding low-rank time integration for high-dimensional problems
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
本研究提出一种基于分层张量近似的迭代阈值低秩时间积分方法，用于求解高维线性薛定谔型问题，经耦合振子数值测试验证了其有效性。
2026-08-10 cs.NA math.NA
A Coherent Integration Method Based on Radon Non-uniform FRFT for Random Pulse Repetition Interval (RPRI) Radar
本文提出基于Radon非均匀FRFT的相干整合方法，用于解决随机脉冲重复间隔雷达中目标运动引起的距离单元迁移和频谱扩展问题，通过运动参数空间搜索和非均匀FRFT实现目标检测，优于MTD、RFT和RFRFT方法。
2015-11-03 cs.NA math.NA stat.ME
Tractability of Monte Carlo integration in Hermite spaces
研究在随机环境下多变量积分的可处理性，通过Hermite系数衰减特性确定蒙特卡洛积分的必要和充分条件。
2015-02-04 cs.NA math.NA
Embeddings of Weighted Hilbert Spaces and Applications to Multivariate and Infinite-Dimensional Integration
Christian-Albrechts-Universität zu Kiel（基尔大学）；Technische Universität Kaiserslautern（凯泽斯劳滕工业大学）；Johannes-Kepler-Universität Linz（林茨约翰内斯开普勒大学）
本文研究了加权再生核希尔伯特空间张量积的嵌入和范数估计，提出了一种可直接应用于多变量问题（如积分和近似）及其无限维对应物的转移原理，并在应用中推导了多变量和无限维积分的新结果。
2016-08-02 cs.NA math.NA
A fast multilevel dimension iteration algorithm for high dimensional numerical integration
本文提出并研究了一种基于张量积近似的计算任意$d$维积分的快速多层维数迭代（MDI）算法。它将张量积方法的计算复杂度（就CPU时间而言）从指数阶$O(N^d)$降低到多项式阶{\color{black} $O(d^3N^2)$或更好}，其中$N$代表每个坐标方向上的正交点的数量。因此，所提出的MDI算法有效地避免了张量积方法的维数灾难的高维数值积分。MDI算法的主要思想是在聚类中的所有积分点上计算函数求值，并沿每个坐标方向迭代，因此每次迭代中可以重复使用大量的函数求值计算。这一思想也适用于积分点具有格状结构的任何求积规则。
2022-10-24 cs.NA math.NA
Digital inversive vectors can achieve strong polynomial tractability for the weighted star discrepancy and for multivariate integration
本文研究了高维数值积分的最坏情况下的可处理性，提出使用伪随机向量作为积分节点以实现强多项式可处理性，展示了加权星形偏差和多变量积分的成效。
2015-12-21 cs.NA math.NA
An efficient and fast sparse grid algorithm for high-dimensional numerical integration
本文研究了一种有效的数值算法，用于快速实现计算给定函数的$d$维积分的稀疏网格方法。新算法称为MDI-SG（{ \em多级维迭代稀疏网格}）方法，基于维迭代/降维过程实现稀疏网格方法，它不需要存储积分点，也不独立计算每个积分点处的函数值，而是，它通过在簇中的所有积分点处执行函数求值并且沿着坐标方向迭代地执行函数求值来尽可能多地重新使用用于函数求值的计算。数值结果表明，建议MDI-SG方法的计算复杂性（在CPU时间方面）是多项式阶$O(Nd^3 )$或更好，相比，指数阶$O(N(\log N)^{d-1})$的标准稀疏网格方法，其中$N$表示在每个坐标方向上的积分点的最大数量。因此，建议MDI-SG方法有效地避免了标准稀疏网格方法所遭受的高维数值积分的维数灾难。
2022-10-25 cs.NA math.NA
Optimal Summation and Integration by Deterministic, Randomized, and Quantum Algorithms
本文综述了有限序列求和与Hölder或Sobolev空间函数积分的最优算法，并引入量子计算新视角，比较了确定性、随机化和量子三种设置下的算法性能。
2001-05-23 cs.NA math.NA quant-ph
Fast multilevel sparse Gaussian kernels for high-dimensional approximation and integration
University of Leicester（莱斯特大学）
本文提出基于方向缩放张量积高斯核的快速多级算法，用于高维函数插值和高维积分计算，通过预计算一维基函数实现并行化插值与积分。
2015-01-14 cs.NA math.NA
Fast high-dimensional integration using tensor networks
本文介绍了无回归张量网络表示法在积分中的设计和应用。张量网络方法被证明优于蒙特卡洛测试问题，指数收敛被证明是可实现的非解析被积函数。
2022-02-20 cs.NA math.NA q-fin.CP
A simple universal algorithm for high-dimensional integration
该研究提出一种简单通用的高维积分算法，其在随机和确定性设置下的所有加权Korobov类中均具有与维度无关的最优错误率，并通过数值测试验证了理论发现。
2024-11-28 cs.CC cs.NA math.NA
A high-order compact finite difference scheme and precise integration method based on modified Hopf-Cole transformation for numerical simulation of n-dimensional Burgers' system
本文通过修正Hopf-Cole变换将n维Burgers系统转化为热传导方程，结合四阶精细积分与六阶紧致差分格式，并耦合Strang分裂推广至多维，显著提升计算精度。
2023-11-18 cs.NA math.NA
Sparse Quadrature for High-Dimensional Integration with Gaussian Measure
The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文分析了高维参数下基于高斯测度的稀疏求积法的维度无关收敛性，提出前验和后验方案并进行数值实验验证其收敛性。
2017-06-20 cs.NA math.NA
The Curse of Dimensionality for Numerical Integration of Smooth Functions
Universität Jena（耶拿大学）；Università Roma Tre（罗马三大学）；Columbia University（哥伦比亚大学）；University of Warsaw（华沙大学）
本文证明了对于C^r函数的多变量积分，存在维数灾难：达到误差ε所需的函数值个数大于c_r (1+γ)^d，其中c_r,γ>0，d为维数。
2013-04-16 cs.NA math.NA
Integration of bounded monotone functions: Revisiting the nonsequential case, with a focus on unbiased Monte Carlo (randomized) methods
本文重温有界单调函数的数值积分问题，聚焦非序列 Monte Carlo 方法，给出了非序列算法极大 $L^p$ 误差的新下界，并在 p = 2 时研究了控制变量法与分层抽样两种无偏方法的极大误差。
2022-06-21 cs.NA math.NA math.ST
Embeddings for Infinite-Dimensional Integration and $L_2$-Approximation with Increasing Smoothness
Christian-Albrechts-Universität zu Kiel（基尔大学）；Technische Universität Kaiserslautern（凯泽斯劳滕工业大学）；Johannes-Kepler-Universität Linz（林茨约翰内斯开普勒大学）；University of Kentucky（肯塔基大学）
本文研究了在可数张量积函数空间上的积分和 $L_2$-逼近问题，通过推导嵌入定理，得到了最小误差的上界和下界，这些界在许多情况下都是最优的，包括Korobov、Walsh、Haar和Sobolev空间。
2018-09-19 cs.NA math.NA
Open type quasi-Monte Carlo integration based on Halton sequences in weighted Sobolev spaces
本文研究了基于Halton序列的开放型准蒙特卡洛积分在加权Sobolev空间中的应用，推导了RMS最坏情况误差界，并证明在特定坐标权重条件下误差与维度无关，实现了强多项式可处理性。
2014-11-17 cs.NA math.NA
Efficient adaptive integration of functions with sharp gradients and cusps in n-dimensional parallelepipeds
University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
提出一种基于分治策略的自适应积分算法，用于高效积分具有尖锐梯度和尖点的函数，在Rn中C0函数达到n+1阶收敛速度，并应用于正则化Heaviside函数积分和晶体金刚石全电子库仑问题的富集有限元求解。
2012-02-23 cs.NA math.NA
A Universal Algorithm for Multivariate Integration
Mathematisches Institut, Universität Jena（耶拿大学数学研究所）
本文提出一种多变量积分算法，针对所有混合Sobolev空间和Sobolev空间，具有最优收敛阶。
2016-01-30 cs.NA math.NA
Median randomized quasi-Monte Carlo for nested integration
King Abdullah University of Science & Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
该研究将中位数随机拟蒙特卡洛（mRQMC）扩展至嵌套积分，提出双循环mRQMC估计量，针对EIG应用设计重要性采样正则化方案，在多项式示例和EIG估计中均实现收敛性能提升。
2026-10-12 cs.NA math.NA
Fast Numerical Integration Techniques for 2.5-Dimensional Inverse Problems
微波和超声波的逆散射需要对非线性最优化问题进行数值解。为了减轻全三维（3-D）逆问题的计算负担，通常的做法是通过2-D散射模式的傅立叶积分将对象近似为2-D，并将发射器和接收器传感器视为3-D。所得积分是奇异的，因此需要大量的积分点，其中每个点对应于一个2-D的解决方案。为了降低计算复杂性，本文提出了一种基于变换的快速积分方法。我们在2-D模型的对象，但作为3-D的发射和接收器对，因此，我们术语的解决方案作为一个2.5-D的逆问题。收敛性结果表明，所提出的积分方法具有指数收敛性，从而降低了计算2.5维格林函数的计算复杂性。
2022-07-13 cs.DC cs.NA math.NA
High dimensional integration of kinks and jumps -- smoothing by preintegration
通过预积分单变量处理高维积分中的kink和jump，利用Sobolev空间理论提升Quasi Monte Carlo方法效率，以数字亚洲期权为例验证有效性。
2017-12-04 cs.NA math.NA
Arithmetic circuit tensor networks, multivariable function representation, and high-dimensional integration
许多计算问题可以用高维函数来表达。这种函数的简单表示和由此产生的计算通常会受到“维数灾难”的影响，即对维数的指数成本依赖。张量网络提供了一种用多项式记忆来表示某些类别的高维函数的方法。这导致计算中指数成本得到改善，或者在某些情况下，如果可以获得张量网络表示，则可以删除。在这里，我们介绍了从函数的算术电路到算术电路张量网络的直接映射，避免了执行任何优化或函数拟合的需要。我们展示了电源的电路建设的例子中的多变量集成的单位超立方体在多达50个维度，集成的复杂性可以从电路结构中理解。我们发现非常有利的成本缩放相比，准蒙特卡洛集成这些情况下，并进一步给出一个例子，有效的准蒙特卡洛理论上不能执行没有知识的底层张量网络电路结构。
2022-08-16 cs.NA math.NA quant-ph
Quantum Complexity of Integration
研究量子计算机在计算Hölder类函数积分时的复杂度，发现量子算法在光滑性较小时相对于确定性算法有指数加速，相对于随机化经典方法有近似二次加速。
2001-06-24 cs.NA math.NA quant-ph
Optimal Monte Carlo integration on closed manifolds
University of Vienna（维也纳大学）；Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院）；Newcastle University（纽卡斯尔大学）
本文研究了闭流形上Sobolev空间的蒙特卡洛积分方法，证明重加权能提高收敛速度，并在单位球面和Grassmannian流形上进行了数值实验。
2018-01-24 cs.NA math.NA stat.ME
A Survey of Quantum Alternatives to Randomized Algorithms: Monte Carlo Integration and Beyond
Quantum Technologies Group, HSBC Holdings Plc.（汇丰控股量子技术组）；HSBC（汇丰银行）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；Raytheon（雷神公司）
综述量子电路实现蒙特卡洛方法以加速计算，介绍替代经典蒙特卡洛的量子算法及自适应增强方案。
2026-07-01 cs.DS cs.NA math.NA
Solvable Integration Problems and Optimal Sample Size Selection
Universität Osnabrück（奥斯纳布吕克大学）；Universität Jena（耶拿大学）；Universität Göttingen（哥廷根大学）
本文研究了如何以最小成本计算函数积分或随机变量期望，并提出了一种新的算法和复杂度上界，通过独立同分布样本选择样本大小，基于方差估计或$p$-矩估计来保证小绝对误差概率，从而解决可解问题。同时，通过下界证明算法在精度、置信水平和输入随机变量范数方面最优，尽管最坏情况成本可能无限，但通过自适应停止规则可使期望成本有限。
2018-10-23 cs.NA math.NA stat.CO
Learning the Exact Time Integration Algorithm for Initial Value Problems by Randomized Neural Networks
Purdue University（普渡大学）；Center for Computational and Applied Mathematics（计算与应用数学中心）
本文提出用物理信息ELM随机神经网络学习非自治IVP的高维精确时间积分函数，支持显式/隐式算法，并在非刚性、刚性和混沌基准上展现近指数收敛与长期高精度。
2025-02-16 cs.LG cs.NA math.NA
Overcoming the sign problem in 1-dimensional QCD by new integration rules with polynomial exactness
IVU Traffic Technologies AG（IVU交通技术公司）；King’s College London（伦敦国王学院）；DESY Zeuthen（德国电子同步加速器研究所采斯滕分所）
本文提出一种新的积分方法，用于U(N)和SU(N)群，验证其对N≤3的多项式精确性，并应用于具有化学势的一维QCD，克服符号问题并减少误差。
2016-08-10 cs.NA hep-lat math.NA
Rank-adaptive tensor methods for high-dimensional nonlinear PDEs
提出了一种新的秩自适应张量方法来计算高维非线性偏微分方程的数值解。该方法结合了功能张量训练（FTT）系列扩展，运营商分裂时间积分，和一个新的秩自适应算法的阈值标准的基础上，限制的PDE速度矢量的分量正常的FTT张量流形。这就产生了一个方案，可以添加或删除张量模式自适应的PDE解决方案的时间积分进行。新方法的目的是提高高维问题数值积分的计算效率、精度和鲁棒性。特别是，它克服了与动态张量积分相关的众所周知的计算挑战，包括低秩建模误差和需要在每个时间步长反转张量核的协方差阵。介绍并讨论了二维线性和非线性平流问题以及四维福克-普朗克方程的数值应用。
2021-04-24 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Neural Measures for learning distributions of Random PDEs
DMAM, University of Crete, Greece（DMAM，希腊克里特大学）；IACM, Foundation for Research and Technology - Hellas, Greece（IACM，希腊基础研究与技术研究所）；MPS, University of Sussex, United Kingdom（MPS，英国 Sussex 大学）
本研究提出一种结合生成建模与PINNs的概率框架，用于有效建模随机偏微分方程中的不确定性，提升模型的预测准确性与不确定性控制能力。
2025-12-29 cs.LG cs.NA math.NA
