Light Spanners for High Dimensional Norms via Stochastic Decompositions
低维空间（例如，常维的欧几里得空间，或加倍度量）的生成子是很好理解的。这与高维空间中的情况相反，除了Har-Peled，Indyk和Sidiropoulos的工作（SODA 2013），他们表明任何$n$ -点欧氏度量都有一个带有$\tilde{O}(n^{1+1/t^2})$边的$O(t)$ -点，几乎一无所知。本文研究了高维赋范空间中空间的若干性质。首先，我们用$1<p\le 2$为$\ell_p$的有限子集建立了空间。第二，我们的构造产生了一个既稀疏又{ \em light}的矩阵，即，它的总权重并不比最小生成树的总权重大多少。特别是，我们表明，任何$n$ -点的$\ell_p$的$1<p\le 2$的子集有一个$O(t)$ -与$n^{1+\tilde{O}(1/t^p)}$边缘和亮度$n^{\tilde{O}(1/t^p)}$。事实上，我们的结果是更一般的，他们适用于任何度量空间承认一定的低直径随机分解。已知任意度量空间都有一个亮度为$O(n^{1/t})$的$O(t)$ -矩阵.我们展示了以下权衡：具有可分解性参数$ν=ν(t)$的度量允许具有亮度$\tilde{O}(ν^{1/t})$的$O(t)$ -度量。例如，$n$点欧氏度量有$ν\le n^{1/t}$，具有加倍常数$λ$的度量有$ν\leλ$，亏格$g$的图有$ν\le g$ .虽然这些家庭承认（$1+ε$）…
2018-04-20 cs.DS
Finding Light Spanners in Bounded Pathwidth Graphs
给定一个边权图$G$和$ε>0$，一个$(1+ε)$ -图是一个生成子图$G'$，它的最短路距离在一个$(1+ε)$因子内近似于$G$的最短路距离。如果$G$来自某些次闭图族（至少是有界亏格图和顶点图），则我们知道存在轻空间。也就是说，我们可以计算一个$(1+ε)$ -最小生成树的总边权重至多为一个常数乘以最小生成树的权重的$G'$ $G'$。这个常数可以取决于$ε$和图形族，但不取决于特定的图形$G$，也不取决于其边权重。对于几个次闭图族中的加权图，轻空间的存在性在度量TSP（旅行商问题）和一些类似问题的逼近方案设计中是必不可少的.本文对关于每一个次闭图族都存在光空间的猜想作了一些进展。特别是，我们证明了它们存在的图有界路宽。我们这样做，通过建设足够轻的单调生成树在这样的图。
2012-08-13 cs.DS
New Additive Spanner Lower Bounds by an Unlayered Obstacle Product
对于一个输入图$G$，一个加性图是一个稀疏子图$H$，它的最短路径匹配$G$的最短路径，直到小的加性误差。本文证明了可加空间的两个新的下界：1）构造了$n$ -结点图$G$，使得$O(n)$边上的任何结点都必须增加$+Ω(n^{1/7})$的两两距离.这改进了Lu，Wein，Vassilevska Williams和Xu [SODA '22]最近提出的$+Ω(n^{1/10.5})$的下限。2)Coppersmith和Elkin [SODA '05]的一个经典结果证明了对于任何$n$ -节点图$G$和$p = O(n^{1/2})$需求对的集合，可以使用$O(n)$边上的一个顶点精确地保持需求对之间的所有成对距离。他们还提供了一个下限结构，确定该范围$p = O(n^{1/2})$无法改进。我们加强这一下限证明，对于任何恒定的$k$，这一范围内的$p$仍然是不可改进的，即使允许$+k$添加剂的需求对之间的错误。这从负面解决了Coppermith和Elkin [SODA '05]以及Cygan，Grandoni和Kavitha [STACS '13]和Abboud和Bodwin [SODA '16]提出的一个开放性问题。在技术层面上，我们的下界是通过对整个障碍产品框架的改进来获得的，该框架用于将“内部”和“外部”图组成下界实例。特别是，我们开发了一种新的分析策略，允许在产品中使用某些…
2022-10-05 cs.DS
Subsetwise and Multi-Level Additive Spanners with Lightness Guarantees
本文研究子集间与多级加性轻量伸缩器，提出基于 Steiner 树的子集轻量性及多项式时间构造，并将多级问题的近似比由 4 改进为 e。
2025-02-15 cs.DS
Light Spanners
加权无向图$G=(V,E)$的一个$t$ -图是一个子图$H$，使得对所有$u,v\in V$有$d_H(u,v)\le t\cdot d_G(u,v)$。稀疏度可以通过它的大小（边的数量）和权重（所有边权重的总和）来衡量，这两个都是衡量稀疏度质量的重要指标-在这项工作中，我们专注于后者。具体地说，它表明，对于任何参数$k\ge 1$和$ε>0$，任何加权图$G$上的$n$顶点允许一个$(2k-1)\cdot(1+ε)$ -拉伸的重量最多$w(MST(G))\cdot O_ε(kn^{1/k}/\log k)$，其中$w(MST(G))$是$G$的最小生成树的重量。我们的结果是通过一个新的分析经典的贪婪算法，并提高了以前的工作的一个因素的$O(\log k)$。
2014-04-30 cs.DS
Better Lower Bounds for Shortcut Sets and Additive Spanners via an Improved Alternation Product
本文通过改进交替乘积这一图乘积技术，提升了加性伸缩器、加性仿真器和快捷集在大小受限情况下的加性伸展或直径下界。
2023-09-26 cs.DS
Minor-free graphs have light spanners
我们证明了每个$H$ -minor free图都有一个轻的$(1+ε)$ -图，解决了Grigni和Sissokho的一个公开问题，并证明了Grigni和Hung的一个猜想.我们的亮度界是\[O\left(\frac{σ_H}{ε^3}\log \frac{1}ε\right)\]，其中$σ_H = |V(H)|\sqrt{\log |V(H)|}$是$H$ -minor-free图的稀疏系数。也就是说，它实际上依赖于子函数$H$的大小。我们的结果还表明，Demaine，Hajiaghayi和Kawarabayashi对$H$ -minor-free图中的旅行商问题（TSP）的多项式时间近似方案（PTAS）是一个有效的PTAS，其运行时间为$2^{O_H\left(\frac{1}{ε^4}\log \frac{1}ε\right)}n^{O(1)}$，其中$O_H$忽略了对$H$的大小的依赖性.我们的技术显着偏离现有的研究路线spectrometry的$H$ -未成年人的自由图，但建立在spectrometry的一般图的spectrometry的工作。
2017-11-02 cs.DS
A PTAS for subset TSP in minor-free graphs
本文给出了$H$ -无子图中子集旅行商问题的第一个PTAS。这解决了一个长期存在的开放问题，在一个长期的工作线上设计PTASes TSP在小封闭的家庭发起的Grigni，Koutsoupias和Papadimitriou在FOCS'95。在我们的PTAS的主要技术成分是一个几乎轻的子集$(1+ε)$ -图的任何给定的边加权$H$ -minor-free图的建设。这种构造是基于\emph{sparse spanner oracles}给出的一个充分必要条件：稀疏子集存在当且仅当稀疏子集存在.这个关系使我们得到两个新的结果：对于任何常维数的加倍度量$d$，一个具有亮度$O(ε^{-d+2})$的$(1+ε)$ -矩阵.这改进了由Borradaile、Le和Wulff-Nilsen获得的较早的亮度约束$ε^{-O(d)}$。_一个$(1+ε)$ -对于任何恒定关联维数的度量具有次线性亮度的矩阵。在此之前，没有已知的具有非平凡亮度的发光体。
2019-10-30 cs.DS
Approximating Spanners and Directed Steiner Forest: Upper and Lower Bounds
最近发现，加性空间的存在与（子图，其中所有距离都保持到加法拉伸），（其中需求对的距离精确保持的子图），以及成对的空间（其中需求对的距离保持到乘法或加法延伸的子图）[Abboud-Godwin SODA '16，Godwin-Williams SODA '16]。我们研究这些问题从优化的角度来看，而不是研究极值的存在情况下，我们给出了一个实例，并要求找到sparsify可能的bandwidth/bandwidth。我们给出了一个$O(n^{3/5 + ε})$ -近似的距离和两两的空间（对于任意常数$ε> 0$）。这是两个问题的第一个非平凡上限，这两个问题都像标签覆盖一样难以近似。我们还证明了标签覆盖硬度近似添加剂spiritual，即使是添加剂1拉伸（其中人们可能会期望一个多对数近似，因为相关的乘法2-$O(\log n)$问题承认一个$O(\log n)$ -近似）和添加剂多对数拉伸（其中相关的乘法$O(1)$问题有一个$O(1)$ -近似）的情况下。有趣的是，我们在近似算法中使用的技术超出了基于距离的问题，纯连接网络设计问题。特别是，我们的技术使我们能够给出一个$O(n^{3/5 + ε})$ -近似的有向斯坦纳森林问题（对于任意常数$ε> 0$）时，所有的边缘都有统一的成本，提高了以前的最佳$O(n^{2/3 + ε})$ -近似由于伯曼等人。[ICALP '11]（适用于一…
2016-07-20 cs.DS
Light spanners for bounded treewidth graphs imply light spanners for $H$-minor-free graphs
Grigni和Hung~ \cite{GH12}证明了无H-子图的$(1+ε)$ -空间是轻的，也就是说，对于某个函数$g$，它的权是最小生成树权的$g(|H|,ε)$倍.这个猜想暗示了$H$ -小自由图中旅行售货员问题的{ \em有效}多项式时间近似方案（PTAS），即对于某个函数$f$，PTAS的运行时间是$2^{f(ε)}n^{O(1)}$的形式.在H-小自由图中的TSP的最新PTAS具有运行时间$n^{1/ε^c}$。我们进一步证明了这个猜想，证明了如果有界树宽图有轻贪婪空间，那么这个猜想是真的。我们还证明了有界路宽图的贪婪图是轻的，并讨论了将我们的证明扩展到有界树宽图的可能性。
2017-03-30 cs.DM cs.DS
Towards Lower Bounds for Geometric Spanners in High Dimension
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
该研究针对高维ℓ_p空间几何生成树的拉伸-大小权衡，给出已有2跳生成树下界的简单证明并扩展至带Steiner顶点的情形，还建立了有界跳与通用生成树的关联，推导了无跳限制生成树的下界结论。
2026-08-11 cs.CG cs.DS
Approximate Light Spanners in Planar Graphs
University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；California State University Northridge（北岭加州州立大学）；Tufts University（塔夫茨大学）；Nanjing University（南京大学）
针对带权平面图轻量生成子图近似算法无法超越存在性界的问题，提出基于迭代平面图修剪的多项式时间算法，构造出权重近似比为常数的双准则近似生成子图。
2025-10-22 cs.DS
Additive Spanner Lower Bounds with Optimal Inner Graph Structure
本文构造了 $n$-节点图，证明了任何 $O(n)$-大小生成树的加性误差下界至少为 $+Ω(n^{3/17})$，通过引入具有紧确技术属性的内部图统一了上下界构造，并改进了加性模拟器的下界。
2024-04-29 cs.DS
Fast Constructions of Light-Weight Spanners for General Graphs
据我们所知，对于一般图，只有两种已知的算法可以构造稀疏图和轻图。其中之一是Alth $\ddot{o}$ fer等人的贪婪算法。\cite{ADDJS93}由Chandra等人在SoCG '92中分析。该贪婪算法对每个\emph{weighted}无向$n$-顶点$m$-边图$G = (V,E)$和任意整数$k \ge 1$，构造一个$(2k-1)$-边图，它具有$O(n^{1 + 1/k})$边和权值$O(k \cdot n^{(1+\eps)/k}) \cdot ω(MST(G))$，对任意$\eps > 0$.贪婪算法的缺点是它需要$O(m \cdot (n^{1 + 1/k} + n \cdot \log n))$时间。另一种算法是由于Awerbuch等人的\cite{ABP91}。它构造了$O(k)$-spectrometry，其中$O(k \cdot n^{1 + 1/k} \cdot Λ)$边、权重$O(k^2 \cdot n^{1/k} \cdot Λ) \cdot ω(MST(G))$、时间内$O(m \cdot k \cdot n^{1/k} \cdot Λ)$，其中$Λ$是图的纵横比的对数。这两种算法的运行时间都不令人满意。此外，通常更快的\cite{ABP91}算法通过显着增加拉伸、稀疏性和结果块的权重来实现加速。在本文中，我们设计了一个有效的算法来构建稀疏…
2012-07-06 cs.DS
Towards a Unified Theory of Light Spanners I: Fast (Yet Optimal) Constructions
University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文提出了一种统一框架，用于在多种图类中快速构造具有最优轻量级特性的spanner，解决了以往方法在通用性、运行时间和参数优化上的不足。
2025-12-04 cs.CG cs.DS
Light spanners for snowflake metrics
在空间研究中的一个经典结果是欧几里德空间存在轻低拉伸空间。这些空间具有任意的低拉伸，并且权重仅大于点的最小生成树的常数因子（依赖于拉伸和欧几里得维数）。这个领域的一个中心问题是，其他空间是否也允许低权空间--例如具有低内在维数的度量空间--但只有少数这类结果是已知的。本文考虑低内在维数的雪花度量空间。度量（X，δ）的α雪花是度量（X，$δ^α$），其中0<α<1。通过利用一种完全不同于欧几里得空间的方法，我们证明了雪花度量承认轻speries。此外，我们表明，的直径为O（$\log$ n），结果不可能为欧几里德空间。作为一个直接的推论，我们的旅行商问题的算法在这种情况下，我们获得了显着的改进，实现了多项式时间近似计划与近线性运行时间。一路上，我们表明，所有的${\ell}_p$空间承认光spectrum，在其本身的权利感兴趣的结果。
2014-01-20 cs.CG cs.DS
On Constructing Spanners from Random Gaussian Projections
图绘制是一种强大的范例，用于通过Ahn，Guha和McGregor（SODA'12）引入的线性测量来分析图结构，此后在流，分布式计算和大规模并行算法等中找到了许多应用。图的草图已被证明是相当成功的各种问题，如连接，最小生成树，边或顶点连接，削减或频谱稀疏。然而，一个图的近似最短路径度量的问题，特别是计算一个最短路径的问题，显然是从成功的列表中缺失的。这使这一根本问题的地位成为这一领域最长期悬而未决的问题之一。我们提出了一个部分的解释，这种缺乏成功的证明一个强大的下限为一个大家庭的图形绘制算法，包括以前的工作spectrometry和许多（但重要的是不是所有）相关的切割为基础的问题上面提到的。我们的下界匹配的算法边界的Filtser，Kapralov，和Nouri（SODA'21），最近的结果，低阶项，通过相同的图形素描家庭构建spectrometry。这建立了这些界限的近最优性，至少限于这个家庭的图形素描技术，并在后者的工作中提出的猜想取得进展。
2022-09-29 cs.DS
The 4/3 Additive Spanner Exponent is Tight
图是一个稀疏子图，它近似地保持了原始图的两两距离。众所周知，只要距离误差是乘性测量的，那么在稀疏性和近似质量之间存在平滑的折衷。该领域的一个中心问题是证明或反驳这种权衡是否也存在于\emph{additive}错误的机制中。也就是说，对于所有$\varepsilon>0$，是否存在一个常数$k_{\varepsilon}$，使得每个图在$O(n^{1+\varepsilon})$边上都有一个保留其成对距离直到$+k_{\varepsilon}$的顶点？以前的下界与这个问题的正解是一致的，而以前的上界显示了一个折衷曲线的开始：所有图在$O(n^{3/2})$边上都有$+2$空间，在$\tilde{O}(n^{7/5})$边上都有$+4$空间，在$O(n^{4/3})$边上都有$+6$空间。然而，进展已经神秘地停止在$n^{4/3}$边界，尽管社区做出了巨大的努力，这个问题仍然对所有$0 < \varepsilon < 1/3$开放。我们的主要结果是一个令人惊讶的负面决议的开放问题，即使在一个高度概括的设置。我们展示了一个新的信息理论的不可压缩性的界限：有没有功能，压缩成$O(n^{4/3 - \varepsilon})$位，使距离信息可以恢复$+n^{o(1)}$错误的图形。作为我们定理的一个特例，我们得到了加性空间稀疏性的一个严格下界：即使允许任何子多项式量的加性误差，$O(n^{…
2020-05-11 cs.DS
Distributed Construction of Light Networks
加权图$G=(V,E,w)$的一个$t$ -{ \em} $H$是一个子图，它将所有成对距离近似到$t$的一个因子。$H$的{ \em亮度}被定义为$H$的权重与最小生成树的权重之间的比率。$(α,β)$ -{ \em浅光树}（\em Shallow Light Tree）是亮度$β$的树，其近似从指定根顶点到$α$的因子的所有距离。一长串的工作产生了有效的算法，产生（几乎）最佳的光spectrum和SLT。一些最值得注意的算法应用的光spectrum和SLT是在分布式设置。令人惊讶的是，到目前为止，还没有已知的有效的分布式算法来构建这些对象的一般图。在本文中，我们设计了有效的分布式算法，在CONGEST模型构建光spectrum和SLT，接近最佳的参数。具体来说，对于任何$k\ge 1$和$0<ε<1$，我们显示了一个$(2k-1)\cdot(1+ε)$ -具有亮度的$O(k\cdot n^{1/k})$可以在$\tilde{O}\left(n^{\frac12+\frac{1}{4k+2}}+D\right)$轮中构建（其中$n=|V|$和$D$是$G$的跳直径）。此外，对于任何$α>1$，我们提供了一个$(α,1+\frac{O(1)}{α-1})$ -循环$(\sqrt{n}+D)\cdot n^{o(1)}$轮。我们的算法的运行时间不能得到实质性的改善。我们还考虑了加倍图…
2019-05-07 cs.DS
Sparse Euclidean Spanners with Tiny Diameter: A Tight Lower Bound
在STOC'95 [ADMSS'95]中，Arya等人表明，$\mathbb R^d$中的任何$n$点集都允许具有至多2（分别为3）的跳直径和$O(n \log n)$边（分别为$O(n \log \log n)$边缘）。他们还给出了一个通用的上限权衡的跳跃直径在大多数$k$和$O(n α_k(n))$边缘，任何$k \ge 2$。函数$α_k$是在原始递归层次结构的$\lfloor k/2 \rfloor$级的某个阿克曼风格函数的逆，其中$α_0(n) = \lceil n/2 \rceil$、$α_1(n) = \left\lceil \sqrt{n} \right\rceil$、$α_2(n) = \lceil \log{n} \rceil$、$α_3(n) = \lceil \log\log{n} \rceil$、$α_4(n) = \log^* n$、$α_5(n) = \lfloor \frac{1}{2} \log^*n \rfloor$、\ldots。粗略地说，对于$k \ge 2$，函数$α_{k}$接近于$\lfloor \frac{k-2}{2} \rfloor$ -迭代对数星函数，即，带有$\lfloor \frac{k-2}{2} \rfloor$星星的$\log$。还有$α_{2α(n)+4}(n) \le 4$，其中$α(n)$是单参数逆阿克曼函数，这…
2021-12-30 cs.DS
Distributed Construction of Purely Additive Spanners
本文研究了CONGEST模型中纯加空间的分布式构造的复杂性。我们描述了在几种情况下，建立这样的speries的算法。由于需要同时在相距甚远的位置做出决策，与顺序算法相比，这些算法使用了额外的机制。我们补充我们的算法与计算成对spectrometer所需的轮数的下限。从集合不相交性和相等性的标准约简似乎不适合这个任务，因为不需要从图中删除特定的边。相反，为了获得我们的下限，我们定义了一个新的通信复杂性问题，减少到计算稀疏的，并证明了其通信复杂性使用信息论的下限。这种技术大大扩展了当前用于获得CONGEST模型下限的工具箱，我们相信它可能会找到更多的应用。
2016-07-19 cs.DC cs.DS
Near-Optimal Spanners for General Graphs in (Nearly) Linear Time
设$G = (V,E,w)$是$|V| = n$顶点和$|E| = m$边上的加权无向图，$k \ge 1$是任意整数，$ε< 1$是任意参数.我们提出了以下结果的快速建设的spectrometry与接近最佳的稀疏性和亮度，最终在这方面的一长串工作。(By近似最优我们指的是在Erdos '围长猜想下的最优，并且忽略$ε$依赖性。- 存在（确定性的）算法用于构造具有接近最优稀疏度$O(n^{1/k} \log(1/ε)/ε))$的$G$的$(2k-1)(1+ε)$ -空间。第一个算法可以在时间$O(mα(m,n) \log(1/ε)/ε) + SORT(m))$内在指针机器模型中实现，其中$α( , )$是两参数逆阿克曼函数，$SORT(m)$是对$m$整数进行排序所需的时间。第二种算法可以在时间$O(m \log(1/ε)/ε))$内在WORD RAM模型中实现。- 有一种（确定性的）算法用于为$G$构建$(2k-1)(1+ε)$ -矩阵，它在稀疏度和亮度上都达到了$O(n^{1/k}\mathrm{poly}(1/ε))$的接近最优的界限.该算法可在时间$O(mα(m,n) \mathrm{poly}(1/ε) + SORT(m))$内的指针机模型和时间$O(m α(m,n) \mathrm{poly}(1/ε))$内的WORD RAM模型中实现。以前最快的$(2k-1)(1+ε…
2021-07-30 cs.DS
Steiner Transitive-Closure Spanners of d-Dimensional Posets
给定一个有向图G和一个整数k >= 1，G的一个k-传递闭包图（k-TC图）是一个有向图H，它具有（1）与G相同的传递闭包和（2）至多为k的直径.在某些应用中，为了获得小直径而添加到图中的捷径路径可以使用Steiner顶点，即不在原始图G中的顶点。由此产生的闭包称为Steiner传递闭包（Steiner TC闭包）。出于应用程序的属性重建和访问控制层次结构，我们专注于施泰纳TC-speries的有向无环图，或者等价地，偏序集。在这些应用中，目标是找到偏序集G的稀疏Steiner k-TC-ε，对于给定的k和G。本文主要研究偏序集的维数与其稀疏SteinerT_C_m的大小之间的关系。偏序集G的维数是使得G可以通过保序嵌入嵌入到d维有向超网格中的最小d。本文给出了d维有向超网格的Steiner 2-TC-空间的大小的一个几乎紧的下界。这意味着单调函数和低Lipschitz常数函数的局部重构的复杂性的较好的下界。下界的证明构造了Steiner 2-TC-Boundary问题的线性规划松弛的对偶解。我们还表明，可以有效地构建一个施泰纳2-TC-的，大小匹配的下界，任何低维偏序集。最后，我们给出了d维偏序集的Steiner k-TC-空间的大小的下界，这表明由于De Santis等人，无法得到显著改善。
2010-11-28 cs.DM cs.DS
Truly Optimal Euclidean Spanners
欧几里德空间是重要的几何结构，多年来已经发现了许多应用。80年代末和90年代初在这一领域的基石结果表明，对于任何$d$维$n$点欧氏空间，都存在一个具有$nO(ε^{-d+1})$边和亮度$O(ε^{-2d})$的$(1+ε)$点.令人惊讶的是，对于小$d$，这些对$ε$和$d$的依赖性是否可以改进的基本问题仍然是难以捉摸的，即使对于$d = 2$也是如此。这个问题自然出现在任何应用欧几里德空间的精度是必要的。利用{ \em greedy}算法实现了空间物体大小和亮度的最新界$nO(ε^{-d+1})$和$O(ε^{-2d})$。在2016年，Filtser和Solomon证明了在低维空间中，贪婪算法是接近最优的。到目前为止，关于贪婪策略是否真的是最优策略的问题仍然没有定论。本文的贡献是双重的。我们通过确定对$ε$和$d$的确切依赖关系并证明贪婪扳手确实是最佳的，解决了这些长期存在的问题。具体来说，对于任何$d= O(1), ε= Ω({n}^{-\frac{1}{d-1}})$：-我们表明，任何$(1+ε)$ -的，必须有$n Ω(ε^{-d+1})$边缘，这意味着贪婪（和其他）的spectum实现最佳的大小。- 我们证明了任何$(1+ε)$ -图必须具有亮度$Ω(ε^{-d})$，然后将贪婪图的亮度上界从$O(ε^{-2d})$提高到$O(ε^{-d})$。然后，我们用一个相当…
2021-04-05 cs.CG cs.DS
Multiplicative Spanners in Minor-Free Graphs
该研究扩展了FOCS 2017中关于minor-free图轻量稀疏生成子图的结果，证明了更优的尺寸/拉伸权衡，并证明了指数的最优性。
2025-04-23 cs.DS
Light, Reliable Spanners
本文发起了对轻量级可靠生成器的研究，通过引入遗忘型随机生成器和轻量级树覆盖，为 $k$-HST、一般度量及倍增度量等空间构造了具有近最优权重参数的可靠生成器。
2023-07-31 cs.CG cs.DS
Dynamic Light Spanners in Doubling Metrics
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；Dartmouth College（达特茅斯学院）；Bar-Ilan University（巴伊兰大学）
研究在双倍度量空间中动态维护轻量级跨度图的方法，实现高效插入和删除操作，保持跨度因子和权重稳定。
2026-03-24 cs.CG cs.DS
Unconditional Lower Bounds for Degree Fault Tolerant Spanners
University of Michigan EECS（密歇根大学电气与计算机工程系）
研究$f$度容错模型中乘法图生成子图，通过分析温格图，证明存在$n$节点下界图，得出$f$-DFT（$2k - 1$）-拉伸生成子图$H$大小的下界，与之前条件下界及当前上界匹配。
2026-07-09 cs.DS math.CO
Maintaining Light Spanners via Minimal Updates
针对d维欧氏空间动态点集的轻量有界度(1+ε)-spanner维护问题，提出全动态算法，实现插入常数摊销追索权、删除O(logΔ)摊销追索权，同时保持度与轻量的常数界。
2024-03-05 cs.CG cs.DS
New Techniques and Fine-Grained Hardness for Dynamic Near-Additive Spanners
图中最短路径信息的维护和更新是许多应用中的一个基本问题。由于密集图上的计算可能非常昂贵，并且优选的是在粗略地保留最短路径信息的给定图的稀疏骨架上执行计算。Spanner和emulator服务于此目的。本文开发了快速的动态算法，稀疏的并行计算和仿真器维护，并提供证据，从细粒度的复杂性，这些算法是紧密的。根据流行的OMv猜想，我们表明，可以有没有递减或递增的算法，保持一个$n^{1+o(1)}$边缘（纯添加剂）$+n^δ$ -模拟器的任何$δ<1/2$任意多项式的预处理时间和总更新时间$m^{1+o(1)}$。而且，在组合$k$ -集团假设下，任何维护$n^{1+o(1)}$边$(1+ε,n^{o(1)})$ -子系统或仿真器的完全动态组合算法必须具有预处理时间$mn^{1-o(1)}$或分摊更新时间$m^{1-o(1)}$ .我们的两个条件下界都是紧的。由于上述完全动态下界仅适用于组合算法，我们还开发了一种代数迭代算法，该算法改进了稠密图的$m^{1-o(1)}$更新时间。对于任何恒定的$ε\in (0,1]$，存在具有最坏情况更新时间$O(n^{1.529})$的完全动态算法，其whp保持$n^{1+o(1)}$边缘$(1+ε,n^{o(1)})$ -k。我们的新的代数技术和递归算法使我们能够获得（1）一个新的全动态算法的所有对最短路径（APSP）的更新和路径查询时间$O(n^{1…
2021-09-20 cs.DS
Lightweight Near-Additive Spanners
该研究聚焦近加性生成子图构造问题，提出首个轻量近加性生成子图构建方法，在$α=1+\varepsilon$的设定下实现了$\tilde{O}(n^{1/k})$的轻量性与$O(kn^{1+3/k})$的边数上界。
2024-10-31 cs.DS math.CO
Lower bounds on collective additive spanners
本文针对集体树稀疏子图和加性树宽稀疏子图，证明了多个下界，包括单位区间图、强弦图、弦图、弱弦图及外平面图等类别，并指出这些下界适用于一般图。
2025-04-25 cs.DS math.CO
Optimal Fault-Tolerant Spanners in Euclidean and Doubling Metrics: Breaking the $Ω(\log n)$ Lightness Barrier
本文针对欧几里得和倍增度量，设计了一种在大小、度、轻量度和运行时间上均最优的 $f$-容错稀疏子图构造，首次突破轻量度的 $\Omega(\log n)$ 障碍。
2024-02-08 cs.CG cs.DS
A Hierarchy of Lower Bounds for Sublinear Additive Spanners
生成器、模拟器和近似距离预言器可以被视为有损压缩方案，其在小空间（例如$\tilde{O}(n^{1+δ})$位）中表示未加权的图度量。压缩方案的稀疏参数$δ$和拉伸函数$f$之间存在固有的折衷，但是这种折衷的定性性质仍然是一个持续的开放问题。在本文中，我们表明，最近的添加剂的Abboud和Bodwin的ESTA下界只是第一步，在一个层次的下界，充分表征的渐近行为的最佳拉伸函数$f$作为一个功能的$δ\in (0,1/3)$。具体来说，对于任何整数$k\ge 2$，任何大小为$O(n^{1+\frac{1}{2^k-1} - ε})$的压缩方案都有一个次线性加法拉伸函数$f$：$$f(d) = d + Ω(d^{1-\frac{1}{k}}).$$这个下限匹配Thorup和Zwick（2006）的次线性加法仿真器的构造。它还表明，Elkin和Peleg的$(1+ε,β)$ -分布在$δ,ε,$和$β$之间具有基本上最优的权衡，并且Pettie（2009）和Pennhik（2013）的次线性加法分布离最优不远。为了补充这些下界，我们提出了一个新的结构的$(1+ε, O(k/ε)^{k-1})$ -spectrum的大小为$O((k/ε)^{h_k} kn^{1+\frac{1}{2^{k+1}-1}})$，其中$h_k < 3/4$。这个大小界限改进了Elkin and Peleg（…
2017-01-10 cs.CC cs.DM cs.DS
The Greedy Spanner is Existentially Optimal
贪婪的构造可以说是最简单和最好研究的构造。实验结果表明，它至少是一样好的任何其他结构，在尺寸和重量参数。然而，这一说法的严格证明仍然难以捉摸。在这项工作中，我们填补了理论空白，通过一个令人惊讶的简单的观察：贪婪图是\emph{existentially optimal}（或存在性接近最优）的几个重要的图形家庭，在大小和重量方面。粗略地说，如果在$\mathcal G$中的所有图上的贪婪图的最差性能与在$\mathcal G$中的所有图上的最优图的最差性能一样好（或几乎一样好），则贪婪图被称为对于图族$\mathcal G$是存在最优的（或接近最优的）。聚焦于权重参数，一般图（由于Escherhik和Wulff-Nilsen [SODA'16]）和加倍度量（由于Gottlieb [FOCS'15]）的最先进的构造都是复杂的。插入我们对这些结果的观察，我们得出结论，贪婪的网络实现了接近最优的重量保证一般图和加倍指标，从而解决了两个长期存在的问题在该地区。此外，我们观察到，近似贪婪的spectrometer是存在性接近最优的。因此，我们提供了一个$O(n \log n)$ -时间结构的$(1+ε)$ -spectrum加倍度量恒定的亮度和程度。我们的构造改进了Gottlieb的构造，其运行时是$O(n \log^2 n)$，其边数和度是无界的，并且值得注意的是，它匹配最先进的欧几里德结果…
2020-01-20 cs.DS
An Alternate Proof of Near-Optimal Light Spanners
该研究针对图的轻量生成树问题，通过直接分析greedy spanner，以Moore界扩展的方式给出了具备改进ε依赖度的近最优轻量生成树结果的新证明。
2025-01-09 cs.DM cs.DS math.CO
Light Spanners with Small Hop-Diameter
本文提出基于树覆盖的通用框架，构造具有小跳直径的轻量稀疏生成子图，并在倍增度量上获得了轻量性与跳直径之间的紧权衡。
2025-05-07 cs.CG cs.DS
The Norms of Graph Spanners
图$G$的一个$t$ -图是一个子图$H$，其中所有的距离都保持到一个乘法$t$因子。Althöfer等人的一个经典结果是：对于每个整数$k$和每个图$G$，存在一个$G$的$(2k-1)$ -图，其中至多有$O(n^{1+1/k})$条边.但对于某些设置，更有趣的概念不是边的数量，而是节点的度。这激发了人们对最大度数小的激励的兴趣和研究。然而，这并不一定是一个足够强大的目标：我们希望空间不仅具有小的最大度，而且还具有“少数”节点的“大”度。为了在这两个极端之间进行插值，本文首先研究了图空间的度向量的$\ell_p$ -范数，从而同时对边数（$\ell_1$ -范数）和最大度（$\ell_{\infty}$ -范数）进行建模.我们给出了精确的上界的所有范围的$p$和拉伸$t$：我们证明了贪婪的$(2k-1)$的$\ell_p$范数至多为$\max(O(n), O(n^{(k+p)/(kp)}))$，并且这个界是紧的（假设Erdibs围长猜想）。我们还研究了普遍的下界，使我们能够给“通用”的贪婪算法的近似比的保证，推广和插值之间的已知近似的$\ell_1$和$\ell_{\infty}$规范。最后，我们表明，至少在某些情况下，$\ell_p$规范的行为从根本上不同的$\ell_1$或$\ell_{\infty}$：有制度（$p=2$和拉伸$3$特别是）的贪婪有一个可证明的优越近似的通…
2019-03-18 cs.DS
On Light Spanners, Low-treewidth Embeddings and Efficient Traversing in Minor-free Graphs
自Robertson和Seymour的基本工作以来，了解无子图度量的结构，即在不包括固定子图的加权图上获得的最短路径度量，一直是一个重要的研究方向。一个基本的想法，既有助于理解这些指标的结构特性，并导致强大的算法结果是构建一个“小复杂度”的图，近似保持度量的点对之间的距离。我们显示了以下两个结构性结果的次要的自由度量：1。构造一个光子集。给定一个子集的顶点称为终端，和$ε$，在多项式时间，我们构造一个子图，保留所有成对的终端之间的距离，直到一个乘法$1+ε$因子，总重量最多$O_ε(1)$倍的重量的最小斯坦纳树跨越终端。2.构造嵌入到具有期望加性失真的低树宽图中的随机度量$εD$。即，给定一个直径为$D$的次自由图$G=(V,E,w)$，参数为$ε$，构造了一个分布$\mathcal{D}$，使得在树宽- $O_ε(\log n)$图中的支配度量嵌入使得加性失真至多为$εD$ .我们的一个重要的技术贡献是一个新的框架，使我们能够减少\emph{both problems}的问题，更简单的图形有界直径。我们的结果具有以下算法的结果：（1）子集TSP的第一有效的近似方案在minor-free度量;（2）第一有效的近似方案在minor-free度量的车辆路径有界的能力;（3）第一有效的近似方案在有界亏格度量的车辆路径有界的能力。
2020-09-10 cs.DS
Shortcuts and Transitive-Closure Spanners Approximation
University of Sheffield（谢菲尔德大学）；MPI-INF, Germany（德国马克斯·普朗克信息学研究所）；University of Birmingham（伯明翰大学）
本文研究捷径与传递闭包扳手的近似算法，在投影博弈猜想下证明不存在多项式时间的$(n^\epsilon,n^\epsilon)$-近似算法，并给出满足$3\gamma_D+2\gamma_S>1$的$(n^{\gamma_D},n^{\gamma_S})$-近似上界。
2025-10-18 cs.DS
Light Edge Fault Tolerant Graph Spanners
研究轻量边容错图稀疏子图，提出以容错连通保持子图归一化轻量性，证明最小可容忍故障数为2f时轻量性有界，为O(f^{1/2})倍非容错轻量性。
2025-04-25 cs.DM cs.DS math.CO
Shallow, Low, and Light Trees, and Tight Lower Bounds for Euclidean Spanners
证明了对每个$n$ -点度量空间$M$，存在一个生成树$T$，其直径为$O(\log n)$，权为$ω(T) = O(\log n) \cdot ω(MST(M))$ .此外，存在指定点$rt$，使得对于任意小的常数$ε> 0$，对于每个点$v$，$dist_T(rt,v) \le (1+ε) \cdot dist_M(rt,v)$。我们扩展了这个结果，并提供了未加权直径和重量之间的折衷，并证明了这种折衷是\emph{tight up to constant factors}在整个参数范围内。这些结果使我们能够解决计算几何中一个长期悬而未决的问题。在STOC'95中，Arya等人设计了一种具有未加权直径$O(\log n)$和权重$O(\log n) \cdot ω(MST(M))$的欧几里得扳手的构造。十年后，在SODA'05中，Agarwal等人表明，该结果接近于$O(\log \log n)$的因子。我们缩小了这一差距，并表明Arya等人的结果是紧密的常数因子。
2008-01-23 cs.CG cs.DS
Local Routing in a Tree Metric 1-Spanner
Solomon和Elkin构造了一个加权树的捷径方案，该方案导致由输入树引起的树度量为1- 1。该树具有对数亮度、对数直径、线性边数和有界度（假设输入树具有有界度）。该算法已被应用于一系列的论文中，致力于设计有界度，低直径，低重量的$(1+ε)$ -空间在欧几里德和加倍度量。在本文中，我们提出了一个简单的局部路由算法，这种树度量的路由。该算法的路由比为1，保证在$O(\log n)$跳后终止，并且每个顶点需要$O(Δ\log n)$位的存储，其中$Δ$是在其上构造树的最大度。这种局部路由算法可以适用于一个局部路由算法的一个双重的度量，它利用了捷径计划。
2021-09-21 cs.CG cs.DS
Spanners in Planar Domains via Steiner Spanners and non-Steiner Tree Covers
本文研究平面域生成树的边数与伸缩率难题，通过引入 non-Steiner 树覆盖揭示伸缩率 2 附近的阈值现象，证明 stretch 2 需 $Ω(n\log n)$ 边而 $2+ε$ 仅需 $O(n)$ 边。
2024-04-07 cs.CG cs.DS
Online Spanners in Metric Spaces
给定度量空间$\mathcal{M}=(X,δ)$，$X$上的加权图$G$是$\mathcal{M}$的度量$t$ -ε，如果对每个$u,v \in X$，$δ(u,v)\le d_G(u,v)\le t\cdot δ(u,v)$，其中$d_G$是$G$中的最短路径度量.本文构造了度量空间中有限集的在线空间。这里，我们被给出点序列$(s_1, \ldots, s_n)$，其中点被一次一个地呈现（即，在$i$步骤之后，我们看到了$S_i = \{s_1, \ldots , s_i\}$）。当新点到达时，该算法允许向图中添加边，但是，不允许从图中移除任何边。目标是为所有$i$维护$t$ -$G_i$ for $S_i$，同时最小化边的数量及其总权重。我们在欧氏$d$ -空间中构造了在线$(1+\varepsilon)$-空间，在一般度量中构造了$(2k-1)(1+\varepsilon)$ -空间，在超度量中构造了$(2+\varepsilon)$ -空间.最值得注意的是，在欧几里德平面中，我们构造了具有竞争比$O(\varepsilon^{-3/2}\log\varepsilon^{-1}\log n)$的$(1+\varepsilon)$ -矩阵，绕过了经典的亮度下限$Ω(\varepsilon^{-2})$，该下限将矩阵的重量与MST的重量进行比较。
2022-02-21 cs.CG cs.DS
Very Sparse Additive Spanners and Emulators
我们研究了两种常用的方法来绘制输入图的最短路径距离。第一个是距离图，它是稀疏的子图，与给定的一组需求对上的原始图的距离一致。之前关于距离转换器的工作只利用了最短路径的一个简单的结构属性，称为一致性，即人们可以打破最短路径的联系，使得没有两条路径相交，分开，然后再相交。我们证明了仅仅一致性是不足以理解距离的一致性，通过显示的权力的一致性和一个新的一般性的上限，多项式超越it. Specifically，我们的新的上限是，任何$p$需求对在$n$ -节点无向赋权图有距离的一致性在$O(n^{2/3}p^{2/3} + np^{1/3})$边。我们留下一个猜想，即右界是$O(n^{2/3}p^{2/3} + n)$或更好。本文的第二部分利用这些距离的加法spectrographs，这是子图，保持所有的成对距离的一个加性误差函数的一个新的建设。我们给出了改进的误差界相对较少的边缘，例如，我们证明了所有的图形有speries的$O(n)$边缘与$+O(n^{3/7 + \varepsilon})$错误。我们的建设可以被看作是一个扩展的流行的路径购买框架的集群更大的半径。
2021-06-06 cs.DS
Graph Spanners: A Tutorial Review
本教程评论提供了一个指导性的参考研究人员谁想要有一个关于图空间的大量文献的概述。它回顾了目前的文献涵盖各种研究流的图空间，如不同的公式，稀疏性和亮度的结果，计算复杂性，动态算法，和应用。作为一个额外的贡献，我们提供了一个开放的问题列表上的图空间。
2020-03-14 cs.DM cs.DS math.CO
Better Distance Preservers and Additive Spanners
我们研究了两种常用的方法来绘制输入图的最短路径距离。第一个是距离图，它是稀疏的子图，与给定的一组需求对上的原始图的距离一致。之前关于距离转换器的工作只利用了最短路径的一个简单的结构属性，称为一致性，即可以打破最短路径的联系，使得没有两条路径相交，分开，然后再相交。我们证明了仅仅一致性是不足以理解距离的一致性，通过显示的权力的一致性和一个新的一般性的上限，多项式超越it. Specifically，我们的新的上限是，任何$p$需求对在$n$ -节点无向赋权图有距离的一致性在$O(n^{2/3}p^{2/3} + np^{1/3})$边。我们留下一个猜想，即右界是$O(n^{2/3}p^{2/3} + n)$或更好。本文的第二部分利用这些距离的加法spectrographs，这是子图，保持所有的成对距离的一个加性误差函数的一个新的建设。我们给出了改进的误差界相对较少的边缘，例如，我们证明了所有的图形有speries的$O(n)$边缘与$+O(n^{3/7 + \varepsilon})$错误。我们的建设可以被看作是一个扩展的流行的路径购买框架的集群更大的半径。
2021-08-15 cs.DS
Optimal Vertex Fault Tolerant Spanners (for fixed stretch)
图$G$的一个$k$ -图是一个稀疏子图$H$，它的最短路距离与$G$的最短路距离匹配，直到一个乘法误差$k$。在本文中，我们研究的是抗故障的spectrum。一个子图$H \subseteq G$是一个$f$顶点容错（VFT）$k$ -树，如果对于任何可能“失败”的$f$顶点的小集合$F$，$H \setminus F$是$G \setminus F$的$k$ -树.“该领域的一个主要问题是：对于所有$n$节点图（作为$f$、$k$和$n$的函数），$f$容错$k$的最小大小是多少？这个问题首先是在几何图的背景下研究的[Levcopoulos et al. STOC '98，Czumaj and Zhao SoCG '03]，最近在一般无向图中被考虑[Jehik et al. STOC '09，Dinitz and Krauthgamer PODC '11]。在本文中，我们解决的问题的最佳尺寸的VFT的，在设置的拉伸因子$k$是固定的。具体来说，我们证明了每一个（无向，可能加权）$n$节点图$G$有$(2k-1)$ -弹性$f$顶点故障与$O_k(f^{1 - 1/k} n^{1 + 1/k})$边缘，这是完全最优的（除非著名的鄂尔多斯周长猜想是假的）。我们的下限甚至可以概括为，在最坏的情况下，没有一种数据结构能够类似地近似于$dist_{G \setminus F}(s, t)…
2017-10-09 cs.DS math.CO
Everywhere-Sparse Spanners via Dense Subgraphs
在构造稀疏（少量边）或轻（低总权重）的图空间方面的重大进展已经跳过了到处稀疏（最大度小）的空间。这种差异与其他网络设计问题是一致的，其中最大程度的目标一直是一个臭名昭著的技术挑战。我们的主要结果是最低度2-生成器（LD 2S）问题，其中的目标是计算输入图的2-向量，以最小化最大度。我们设计了一个多项式时间的算法，实现近似因子$\tilde O(Δ^{3-2\sqrt{2}}) \approx \tilde O(Δ^{0.172})$，其中$Δ$是输入图的最大程度。之前的$\tilde O(Δ^{1/4})$ -近似在近20年前由Kortsarz和Peleg证明[SODA 1994，SICOMP 1998]。我们的主要概念贡献是在LD 2S和最密k子图（DkS）问题的变体之间建立正式联系。具体而言，我们设计这两个问题的强松弛的基础上的Sherali-Adams线性规划（LP）的层次结构，并表明，“忠实”的DKS-变量的随机舍入可以用来圆LD 2S的解决方案。我们的忠实性概念直观地意味着所有的顶点和边都是以与它们的LP值成比例的概率被选择的，但精确的公式更微妙。不幸的是，DkS已知的最好算法以不忠实的方式使用Lovász-Schrijver LP层次结构[Bhaskara，Charikar，Chlamtac，Feige和Vijayaraghavan，STOC 2010]。我们的主要技术…
2012-05-01 cs.DS
Optimal Spanners for Unit Ball Graphs in Doubling Metrics
解决了2006年的一个公开问题，证明了单位球图在有界双倍维数度量下存在轻量有界度空间，并在计算模型中设计了一个简单的$\mathcal{O}(\log^*n)$ -轮分布式算法，给定一个具有$n$顶点和正常数$ε< 1$的单位球图$G$，找到一个$(1+ε)$ -仅使用2跳邻域信息对其最大程度和亮度进行恒定边界的优化。这立即改善了最佳先验亮度边界，Damian，Pandit和Pemmaraju的算法，该算法在Rightmark模型中以$\mathcal{O}(\log^*n)$轮运行，但其亮度具有$\mathcal{O}(\log Δ)$边界，其中$Δ$是单位球图中最长边的长度与最短边的长度之比。接下来，我们调整我们的算法工作在CONGEST模型，而不改变其轮复杂度，因此提出了第一个单位球图的CONGEST计算模型的构造。我们进一步研究的问题，在二维的欧几里德平面，我们提供了一个建设具有类似的属性，具有恒定的平均数量的边缘交叉点每个节点。最后，我们提供的实验结果，确认我们的理论界限，并显示出我们的分布式算法相比，最知名的集中式建设的有效性能。
2022-11-04 cs.CG cs.DS cs.NI
The Sparsest Additive Spanner via Multiple Weighted BFS Trees
生成器是基本的图结构，它以较小的拉伸为代价使图稀疏化。特别是近年来，许多构造可加全对子图的顺序算法被设计出来，提供了非常稀疏的小拉伸子图。值得注意的是，然后证明了已知的（+6）-稀疏结构本质上是稀疏可能的，也就是说，更大的加法拉伸不能保证更稀疏的稀疏，这使得拉伸-稀疏性权衡达到了极限。分布的空间结构也很丰富。然而，对于加性空间，虽然有算法构造（+2）和（+4）-所有对空间，但（+6）-空间的稀疏情况仍然难以捉摸。我们通过设计一个新的顺序算法来弥补这一点，该算法用于构造具有大致O（n^{4/3}）条边的本质最优稀疏度的（+6）-图。然后，我们展示了我们算法的分布式实现，回答了[Censor-Hillel et al.，DISC 2016]。在我们的分布式算法的一个主要成分是一个有效的多个加权BFS树的建设。加权BFS树是加权图中的BFS树，它由从根到每个节点的所有最短路径中最轻的路径组成。提出了一种在CONGEST模型下的分布式算法，该算法在|S| +D-1轮中构造多个加权BFS树，其中S是源集，D是网络图的直径。
2020-06-02 cs.DC cs.DS
Lasserre Integrality Gaps for Graph Spanners and Related Problems
最近在用于近似图空间的算法上已经有了显著的进展，即，算法的近似最好的一个给定的输入图的搜索。基本上所有这些算法都使用相同的基本LP松弛，因此各种论文都研究了这种方法的局限性，并证明了这种LP在各种设置中的完整性差距。我们扩展这些结果表明，即使是最强的升降机和项目的方法不能帮助显着，证明多项式的完整性差距，即使是$n^{Ω(ε)}$级别的Lasserre层次结构，为有向和无向的问题。我们还将这些完整性差距扩展到相关问题，特别是定向施泰纳网络和浅光施泰纳网络。
2019-05-17 cs.CC cs.DS math.OC
Online Euclidean Spanners
本文研究了$\mathbb{R}^d$中点的在线欧氏空间问题。假设我们在$\mathbb{R}^d$中给出一个$n$点序列$(s_1,s_2,\ldots, s_n)$，其中点$s_i$在$i=1,\ldots, n$的步骤~ $i$中给出。在线算法的目标是为每个步骤~ $i$在$S_i=\{s_1,\ldots, s_i\}$上维护几何$t$ -矩阵。首先，我们建立了一个$Ω(\varepsilon^{-1}\log n / \log \varepsilon^{-1})$的竞争比的任何在线$(1+\varepsilon)$ -迭代算法的下界，在1维$n$点序列。我们表明，这个界是紧的，有一个在线算法，可以保持一个$(1+\varepsilon)$ -竞争比$O(\varepsilon^{-1}\log n / \log \varepsilon^{-1})$。接下来，我们设计在线算法的$\mathbb{R}^d$中的点序列，任何恒定的$d\ge 2$，$L_2$规范下。我们发现，以前已知的增量算法实现竞争比$O(\varepsilon^{-(d+1)}\log n)$。然而，如果允许该算法使用附加点（Steiner点），则可以显著提高$\varepsilon$方面的竞争比。我们描述了一个在线的Steiner $(1+\varepsilon)$算法，具有竞争比$O(\varepsil…
2021-07-01 cs.CG cs.DS
