Optimal Vertex Fault-Tolerant Spanners in Polynomial Time
最近的工作已经确定了顶点容错空间的存在最优大小界限：对于任何正整数$k$，每个$n$ -节点图在$O(f^{1-1/k} n^{1+1/k})$上都有一个$(2k-1)$ -节点，它对$f$顶点故障有弹性，并且有一些输入图的例子，在这些例子上这个界限不能被改进。然而，这些证明是通过分析某个指数时间贪心算法的输出来工作的。在这项工作中，我们给出了第一个算法，产生顶点容错空间的最佳大小和运行在多项式时间。具体地说，我们给出了一个随机算法，需要$\widetilde{O}\left( f^{1-1/k} n^{2+1/k} + mf^2\right)$时间。我们也去随机化我们的算法，给出一个确定性的算法与类似的界限。这反映了在运行时间上的指数级改进[Bodwin-Patel PODC '19]，这是以前唯一已知的用于构建最佳顶点容错spectrometer的算法。
2020-10-31 cs.DS
Distributed Construction of Light Networks
加权图$G=(V,E,w)$的一个$t$ -{ \em} $H$是一个子图，它将所有成对距离近似到$t$的一个因子。$H$的{ \em亮度}被定义为$H$的权重与最小生成树的权重之间的比率。$(α,β)$ -{ \em浅光树}（\em Shallow Light Tree）是亮度$β$的树，其近似从指定根顶点到$α$的因子的所有距离。一长串的工作产生了有效的算法，产生（几乎）最佳的光spectrum和SLT。一些最值得注意的算法应用的光spectrum和SLT是在分布式设置。令人惊讶的是，到目前为止，还没有已知的有效的分布式算法来构建这些对象的一般图。在本文中，我们设计了有效的分布式算法，在CONGEST模型构建光spectrum和SLT，接近最佳的参数。具体来说，对于任何$k\ge 1$和$0<ε<1$，我们显示了一个$(2k-1)\cdot(1+ε)$ -具有亮度的$O(k\cdot n^{1/k})$可以在$\tilde{O}\left(n^{\frac12+\frac{1}{4k+2}}+D\right)$轮中构建（其中$n=|V|$和$D$是$G$的跳直径）。此外，对于任何$α>1$，我们提供了一个$(α,1+\frac{O(1)}{α-1})$ -循环$(\sqrt{n}+D)\cdot n^{o(1)}$轮。我们的算法的运行时间不能得到实质性的改善。我们还考虑了加倍图…
2019-05-07 cs.DS
Fast Constructions of Light-Weight Spanners for General Graphs
据我们所知，对于一般图，只有两种已知的算法可以构造稀疏图和轻图。其中之一是Alth $\ddot{o}$ fer等人的贪婪算法。\cite{ADDJS93}由Chandra等人在SoCG '92中分析。该贪婪算法对每个\emph{weighted}无向$n$-顶点$m$-边图$G = (V,E)$和任意整数$k \ge 1$，构造一个$(2k-1)$-边图，它具有$O(n^{1 + 1/k})$边和权值$O(k \cdot n^{(1+\eps)/k}) \cdot ω(MST(G))$，对任意$\eps > 0$.贪婪算法的缺点是它需要$O(m \cdot (n^{1 + 1/k} + n \cdot \log n))$时间。另一种算法是由于Awerbuch等人的\cite{ABP91}。它构造了$O(k)$-spectrometry，其中$O(k \cdot n^{1 + 1/k} \cdot Λ)$边、权重$O(k^2 \cdot n^{1/k} \cdot Λ) \cdot ω(MST(G))$、时间内$O(m \cdot k \cdot n^{1/k} \cdot Λ)$，其中$Λ$是图的纵横比的对数。这两种算法的运行时间都不令人满意。此外，通常更快的\cite{ABP91}算法通过显着增加拉伸、稀疏性和结果块的权重来实现加速。在本文中，我们设计了一个有效的算法来构建稀疏…
2012-07-06 cs.DS
Near-Optimal Spanners for General Graphs in (Nearly) Linear Time
设$G = (V,E,w)$是$|V| = n$顶点和$|E| = m$边上的加权无向图，$k \ge 1$是任意整数，$ε< 1$是任意参数.我们提出了以下结果的快速建设的spectrometry与接近最佳的稀疏性和亮度，最终在这方面的一长串工作。(By近似最优我们指的是在Erdos '围长猜想下的最优，并且忽略$ε$依赖性。- 存在（确定性的）算法用于构造具有接近最优稀疏度$O(n^{1/k} \log(1/ε)/ε))$的$G$的$(2k-1)(1+ε)$ -空间。第一个算法可以在时间$O(mα(m,n) \log(1/ε)/ε) + SORT(m))$内在指针机器模型中实现，其中$α( , )$是两参数逆阿克曼函数，$SORT(m)$是对$m$整数进行排序所需的时间。第二种算法可以在时间$O(m \log(1/ε)/ε))$内在WORD RAM模型中实现。- 有一种（确定性的）算法用于为$G$构建$(2k-1)(1+ε)$ -矩阵，它在稀疏度和亮度上都达到了$O(n^{1/k}\mathrm{poly}(1/ε))$的接近最优的界限.该算法可在时间$O(mα(m,n) \mathrm{poly}(1/ε) + SORT(m))$内的指针机模型和时间$O(m α(m,n) \mathrm{poly}(1/ε))$内的WORD RAM模型中实现。以前最快的$(2k-1)(1+ε…
2021-07-30 cs.DS
Fast Construction of 4-Additive Spanners
一个图的$k$ -加性图是一个子图，它保持任意两个节点之间的距离，直到总的加性误差为$+k$。已经设计了有效的算法来构造2 [Aingworth等人，SIAM '99]，6 [Baswana等人，ACM '10，Woodruff ICALP '13]和8-加性空间群[Knudsen '17]，但是还没有发现用于4-加性空间群的有效算法。在本文中，我们提出了一个修改的Escherhik的4-可加性的构造[Escherhik SODA '13]，产生一个4-可加性的$\Oish(n^{7/5})$边缘，从$O(mn)$的$\Oish(mn^{3/5})$改进的运行时间。我们还讨论了加权加法空间的设置的推广。
2021-09-17 cs.DS math.CO
Finding 4-Additive Spanners: Faster, Stronger, and Simpler
本文提出一种构造 $4$-加性伸缩器的确定性算法，在保持 $\tilde{O}(n^{7/5})$ 边数界的同时，将运行时间改进至 $\tilde{O}(\min\{mn^{3/5},n^{11/5}\})$，且更简单易实现。
2025-10-20 cs.DS
Graph Spanners for Group Steiner Distances
本文研究群组 Steiner 度量下的图稀疏生成树构造，揭示其与按源稀疏生成树的联系，并为全对和单源情形给出多种规模-拉伸权衡，其中单元素情形达到几乎最优，同时分析了转化为距离预言机后的查询时间。
2024-07-01 cs.DS
New weighted additive spanners
本文通过扩展Woodruff的+6-spanner构造并针对加权图进行分析，构造了边数为$\tilde{O}(n^{4/3})$的$+6W_{\max}$加权加性生成器，解决了Ahmed等人的遗留问题，并给出了快速构造算法。
2024-08-26 cs.DS
A Local Algorithm for Constructing Spanners in Minor-Free Graphs
构造图的生成树是图论中最基本的任务之一。我们认为这个问题的设置中的本地算法：一个想要快速确定是否一个给定的边缘$e$是在一个特定的生成树，而不计算整个生成树，而是通过检查本地邻域的$e$。挑战在于保持一致性。也就是说，根据相同的生成树回答关于不同边的查询。由于它是已知的，这个问题不能解决，而基本上没有查看所有的图，我们认为宽松的版本找到一个生成子图与$(1+ε)n$边缘（其中$n$是顶点的数量和$ε$是一个给定的稀疏参数）。众所周知，这个放松的问题需要检查一般图中的$Ω(\sqrt{n})$边，这激发了对自然受限图族的研究。一个这样的家庭是家庭的图与排除的少数人。对于这个族，有一种算法可以实现恒定的成功概率，并检查$(d/ε)^{poly(h)\log(1/ε)}$边（对于每个边，它被查询），其中$d$是图中的最大度，$h$是排除的子图的大小。生成子图$G'$中的顶点对之间的距离最多是$G$中的$poly(d, 1/ε, h)$的一个因子。在这项工作中，我们表明，对于一个输入图是$H$ -未成年人自由的任何$H$的大小$h$，这项任务可以通过检查只有$poly(d, 1/ε, h)$边缘。生成子图$G'$中的顶点对之间的距离至多是$G$中的$\tilde{O}(h\log(d)/ε)$的一个因子。此外，新算法的错误概率显着提高到$Θ(1/n)$。该算法也可以很容易地适应，以产生一个…
2016-04-24 cs.DS
Efficient Construction of Spanners in $d$-Dimensions
本文考虑在$\dspace$中有效构造$k$ -顶点容错几何空间的问题（对于$k \ge 0$和$t >1$）.顶点容错空间是由Levcopoulus等人提出的。在1998年。对于$k=0$，我们提出了一个$O(n \log n)$方法，使用代数计算树模型来寻找一个度界为O（1）且权值为$O(\weight(MST))$的$t$ -图。这解决了一个开放的问题。对于$k \ge 1$，我们给出了一个有效的方法，即给定$\dspace$中的$n$点，构造出最大度界为O（k）且权界为$O(k^2 \weight(MST))$的$k$ -顶点容错$t$ -空间$O(n \log n)$ .我们的方法实现了最佳的程度，总的边缘长度，和时间复杂度的界限，并解决了开放的问题的有效建设（容错）$t$ -spectrometry在$\dspace$在时间$O(n \log n)$。
2013-03-28 cs.CG cs.DS
Graph Spanners by Sketching in Dynamic Streams and the Simultaneous Communication Model
图素描是一个强大的技术介绍的开创性工作的Ahn，Guha和McGregor'12的连接在动态图形流，从那时起，在文献中享有相当大的关注，并导致了近最佳的动态流算法的许多基本问题，如连接，削减和频谱稀疏和匹配。然而，有趣的是，近似图的最短路径度量的草图和动态流的复杂性仍然远未得到很好的理解。除了经典构造的直接$k$ -通路实现（最近由Fernandez、Woodruff和Yasuda改进为$\lfloor\frac k2\rfloor+1$ -通路'20）之外，现有技术相当于Ahn、Guha和McGregor'12的$O(\log k)$ -通路算法，以及Kapralov和Woodruff'14的$2$ -通路算法.特别是，没有单遍算法是已知的，并且遍数、拉伸和空间复杂度之间的最佳折衷是开放的。在本文中，我们介绍了几个新的图形素描技术近似的最短路径度量的输入图。我们给出了第一个{ \em单遍}绘制算法，用于构建图空间：我们展示了如何使用$\widetilde{O}(n)$空间获得$\widetilde{O}(n^{\frac23})$ -图，以及在一般情况下，对于每个$α\in [0, 1]$，使用$\widetilde{O}(n^{1+α})$空间获得$\widetilde{O}(n^{\frac23(1-α)})$ -图，我们认为这种折衷可能接近最优。我们还给出了新的构造算法，任…
2020-11-12 cs.DS
Everywhere-Sparse Spanners via Dense Subgraphs
在构造稀疏（少量边）或轻（低总权重）的图空间方面的重大进展已经跳过了到处稀疏（最大度小）的空间。这种差异与其他网络设计问题是一致的，其中最大程度的目标一直是一个臭名昭著的技术挑战。我们的主要结果是最低度2-生成器（LD 2S）问题，其中的目标是计算输入图的2-向量，以最小化最大度。我们设计了一个多项式时间的算法，实现近似因子$\tilde O(Δ^{3-2\sqrt{2}}) \approx \tilde O(Δ^{0.172})$，其中$Δ$是输入图的最大程度。之前的$\tilde O(Δ^{1/4})$ -近似在近20年前由Kortsarz和Peleg证明[SODA 1994，SICOMP 1998]。我们的主要概念贡献是在LD 2S和最密k子图（DkS）问题的变体之间建立正式联系。具体而言，我们设计这两个问题的强松弛的基础上的Sherali-Adams线性规划（LP）的层次结构，并表明，“忠实”的DKS-变量的随机舍入可以用来圆LD 2S的解决方案。我们的忠实性概念直观地意味着所有的顶点和边都是以与它们的LP值成比例的概率被选择的，但精确的公式更微妙。不幸的是，DkS已知的最好算法以不忠实的方式使用Lovász-Schrijver LP层次结构[Bhaskara，Charikar，Chlamtac，Feige和Vijayaraghavan，STOC 2010]。我们的主要技术…
2012-05-01 cs.DS
Approximate Light Spanners in Planar Graphs
针对带权平面图轻量生成子图近似算法无法超越存在性界的问题，提出基于迭代平面图修剪的多项式时间算法，构造出权重近似比为常数的双准则近似生成子图。
2025-10-22 cs.DS
The Emergence of Sparse Spanners and Greedy Well-Separated Pair Decomposition
在$R^d$中的一组点上的一个图包含任意两点之间的最短路径，其长度至多是它们的欧氏距离的常数因子。在本文中，我们研究新的模型，旨在解释为什么好的空间“出现”在现实中，当他们显然是内置的块与自己的利益和建设是不协调的代理。我们的主要结果是表明，如果边是内置的一个任意的顺序，但边是建立当且仅当它的端点不“接近”的端点现有的边缘，图是一个$(1 + \eps)$的线性数的边缘，常数的平均度，和总的边缘长度作为一个小的对数因子的成本的最小生成树。作为一个副产品，我们展示了一个简单的贪心算法，用于构建最佳大小以及分离对分解，可能是自己的兴趣。
2009-05-15 cs.CG cs.DS
Improved Roundtrip Spanners, Emulators, and Directed Girth Approximation
本文研究有向图往返距离生成子、模拟器及围长近似的高效构造，分别给出近线性于边数的3-伸缩生成子、稠密图近最优模拟器，以及稀疏图更快的4-近似围长算法。
2023-10-31 cs.DS
Relaxed spanners for directed disk graphs
设$(V,δ)$是一个有限度量空间，其中$V$是一组$n$点，$δ$是为这些点定义的距离函数。假设$(V,δ)$有一个常数的双倍维数$d$，并且假设每个点$p\in V$周围都有一个半径为$r(p)$的圆盘，对应于$V$和$r(\cdot)$的圆盘图是\emph{directed}图$I(V,E,r)$，其顶点是$V$的点，并且其边集包括从$p$到$q$的有向边，如果$δ(p,q)\leq r(p)$。在\cite{PeRo08}中，我们给出了一个构造大小为$O(n/\eps^d \log M)$的$(1+\eps)$ -矩阵的算法，其中$M$是最大半径$r(p)$ .本文件提出了两个结果。第一个结果表明，\cite{PeRo08}的交联基本上是最佳的，即，对于常数倍维数的度量，不可能保证其大小独立于$M$的矩阵。第二个结果表明，稍微放松的要求，并允许一个小的扰动的半径分配，相当好的spectrometry可以构建。特别是，我们表明，如果它是允许使用的边缘的磁盘图$I(V,E,r_{1+\eps})$，其中$r_{1+\eps}(p) = (1+\eps)\cdot r(p)$的每一个$p\in V$，那么它是可能的，以获得一个$(1+\eps)$的大小为$O(n/\eps^d)$为$I(V,E,r)$。我们的算法是简单的，可以有效地实现。
2010-02-03 cs.CG cs.DS
Shortcuts and Transitive-Closure Spanners Approximation
本文研究捷径与传递闭包扳手的近似算法，在投影博弈猜想下证明不存在多项式时间的$(n^\epsilon,n^\epsilon)$-近似算法，并给出满足$3\gamma_D+2\gamma_S>1$的$(n^{\gamma_D},n^{\gamma_S})$-近似上界。
2025-10-18 cs.DS
Distributed Spanner Approximation
我们解决的基本网络设计问题，构建近似最小空间。我们的贡献是分布式设置，提供算法和硬度的结果。我们的主要硬度结果表明，$α$ -近似的最小有向$k$-问题$k \geq 5$需要$Ω(n /\sqrtα\log{n})$轮使用确定性算法或$Ω(\sqrt{n }/\sqrtα\log{n})$轮使用随机的，在分布式计算的CONGEST模型。结合[Barenboim，Elkin and Gavoille，2016]中的CONGEST模型中的常数轮$O(n^ε)$ -近似算法，以及我们在这里展示的CONGEST模型中的多对数轮$(1+ε)$ -近似算法，我们对CONGEST模型的下界意味着CONGEST和CONGEST模型之间的严格分离。值得注意的是，据我们所知，这是这些模型之间的局部近似问题的第一次分离。类似地，有向和无向情况之间的分离是隐含的。我们还证明了一个近似线性下界的最小加权$k$-问题的$k \geq 4$，我们显示的加权2-问题的下界。在算法方面，除了上述的$(1+ε)$ -近似算法的最小$k$ -空间，我们的主要贡献是一个新的分布式结构的最小2-空间，只使用多项式的本地计算。我们的算法有一个保证的近似比为$O(\log(m/n))$的图与$n$顶点和$m$边，它匹配的多项式时间序列算法[Kortsarz和Peleg，1994]的最佳已知的比率，如果我们限制自己的多项式本地…
2018-02-09 cs.DC cs.DS
PTAS for Steiner Tree on Map Graphs
我们研究Steiner树问题的地图图，这大大推广平面图，因为它们允许任意大的集团。我们得到了一个PTAS的Steiner树映射图，这是建立在平面边缘加权的情况下Borradaile等人的结果。Steiner树映射图的问题可以被铸造作为一个特殊的情况下，平面节点加权Steiner树问题，其中只有2.4-近似是已知的。我们证明并使用压缩分解定理的平面节点加权的情况下。这容易地将找到平面节点加权Steiner树的PTAS的问题减少到找到一个树，即，包含接近最佳解的常数因子近似。最后，我们针点的地方，已知的技术，用于构建这样的节点加权实例失败，进一步的进展需要新的想法。
2019-12-02 cs.DS
Spanners in Planar Domains via Steiner Spanners and non-Steiner Tree Covers
本文研究平面域生成树的边数与伸缩率难题，通过引入 non-Steiner 树覆盖揭示伸缩率 2 附近的阈值现象，证明 stretch 2 需 $Ω(n\log n)$ 边而 $2+ε$ 仅需 $O(n)$ 边。
2024-04-07 cs.CG cs.DS
Communication-Efficient Distributed Graph Clustering and Sparsification under Duplication Models
在本文中，我们考虑的问题，聚类图节点和稀疏图边缘分布图，当图边缘可能边缘重复观察到在物理上遥远的网站。虽然不同站点之间的边缘重复乍一看似乎是有益的，但实际上它们可能会使聚类和稀疏化更加复杂，因为它们的处理可能需要额外的计算和通信。我们提出了两个完善的通信模型，即消息传递和黑板模型的第一个通信优化算法。具体来说，给定一个图上的$n$节点与边缘观察在$s$网站，我们的算法实现的通信成本$\tilde{O}(ns)$和$\tilde{O}(n+s)$（$\tilde{O}$隐藏一个多对数因子），几乎匹配它们的下界，$Ω(ns)$和$Ω(n+s)$，分别在消息传递和黑板模型。在边分布的假设下，通信成本与非重复模型下的通信成本渐近相同。我们的算法也可以保证聚类质量几乎一样好，集中所有的边缘，然后应用任何标准的聚类算法。此外，我们进行了第一次调查的分布式结构的图空间的黑板模型。我们为乘法和加法扳手提供了几乎匹配的通信下限和上限。例如，在有和没有复制模型的黑板中构造$(2k-1)$ -模型的通信下界分别是$Ω(s+n^{1+1/k}\log s)$和$Ω(s+n^{1+1/k}\max\{1,s^{-1/2-1/(2k)}\log s\})$，它们几乎匹配两个模型的上界$\tilde{O}(s+n^{1+1/k})$。
2023-02-19 cs.DS
Improved Approximate Distance Oracles: Bypassing the Thorup-Zwick Bound in Dense Graphs
该研究提出首个适用于稠密图、兼具1+ε乘性伸展与小加性伸展且保持次平方空间复杂度的近似距离预言机，还给出一族不同伸展-空间权衡的预言机构造，突破了稠密图下的相关界限制。
2023-07-21 cs.DS
A Local Algorithm for the Sparse Spanning Graph Problem
构造稀疏生成子图是图论中的一个基本问题。在本文中，我们研究这个问题的集中式本地模型，其目标是通过只检查输入的一小部分来确定边缘是否是生成子图的一部分;然而，答案必须是全局一致的，并且独立于先前的查询。不幸的是，最大稀疏生成子图，即，生成树，不能有效地构建在这个模型中。因此，我们满足于生成子图包含最多$(1+\varepsilon)n$边（其中$n$是顶点数，$\varepsilon$是给定的近似/稀疏参数）。我们实现了$\tilde{O}(poly(Δ/\varepsilon)n^{2/3})$的查询复杂度，（$\tilde{O}$ -记法隐藏了$n$中的多对数因子）。其中，$Δ$是输入图的最大度。我们的算法是第一个这样做的任意有界度图。此外，我们还实现了一个额外的属性，即我们的算法输出一个符号，即，距离大致保持不变。对于每个被删除的边，在输出中有一条连接其端点的$O(poly(Δ/\varepsilon)\log^2 n)$跳路径的概率很高。
2017-07-18 cs.DS
Near-Linear Lower Bounds for Distributed Distance Computations, Even in Sparse Networks
我们开发了一种新的技术，用于构建稀疏图，使我们能够证明在CONGEST模型中计算距离的轮复杂性的近线性下界。具体来说，我们展示了用于计算稀疏网络中的直径的$\widetildeΩ(n)$下限，这在以前仅对于密集网络是已知的[Frishknecht等人，SODA 2012]。事实上，我们甚至可以修改我们的构造，使用我们定义的简单但强大的降度技术来获得具有常数度的图。此外，我们的技术允许我们显示$\widetildeΩ(n)$下限计算$(\frac{3}{2}-\varepsilon)$ -近似的直径或半径，并计算一个$(\frac{5}{3}-\varepsilon)$ -近似的所有偏心率。对于半径，我们不知道任何以前的下限。对于直径，这些极大地改善了先前的下限，并且接近于多对数因子[Frishknecht等人，SODA 2012]，而对于偏心率，在下限和近似因子方面都有改善[Holzer和Wattenhofer，PODC 2012]。有趣的是，我们的技术还允许显示一个几乎线性的下限验证的$(α,β)$ -spectrometry，为$α< β+1$。
2016-05-17 cs.DC cs.DS
Reconstructing 3-colored grids from horizontal and vertical projections is NP-hard
我们考虑用k种颜色给网格着色的问题，但每一行和每一列中每种颜色都有特定数量的单元格。在一个已经经典的结果中，Ryser得到了当考虑两种颜色时存在这种着色的一个充分必要条件。这个特性产生了一个线性时间算法，用于构建这样的着色时，它存在。Gardner等人证明，当k>=7时，问题是NP难的。后来，Chrobak和Durr改进了这个结果，证明了当k>=4时，它仍然是NP难的。我们解决的差距表明，3种颜色的问题已经是NP难的。此外，我们也给出了一些关于平铺层析成像问题的结果。
2009-04-21 cs.CC cs.DS
