In new progress on conjectures of Stein, and Addario-Berry, Havet, Linhares Sales, Reed and Thomassé, we prove that every oriented graph with all in- and out-degrees greater than 5k/8 contains an alternating path of length k. This improves on previous results of Klimošová and Stein, and Chen, Hou and Zhou.
Two-block paths in oriented graphs of large semidegree
Charles University（查理大学）；Universidad de Chile（智利大学）；Univ. Lyon, ENS de Lyon, UCBL, CNRS, LIP（里昂大学、里昂高等师范学院、里昂第一大学、法国国家科学研究中心、里昂实验室）；Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学理学院）；Department of Applied Mathematics (KAM, MFF), Charles University（查理大学应用数学系）
A counterexample to Las Vergnas' strong map conjecture on realizable oriented matroids
Las Vergnas的强映射猜想指出，任何定向拟阵的强映射$f:\mathcal{M}_1\rightarrow\mathcal{M}_2$都可以分解为扩张和收缩。Richter-Gebert的一个构造证明了这个猜想是错误的，他发现了一个不可因式分解的强映射$f:\mathcal{M}_1\rightarrow\mathcal{M}_2$，然而在他的例子中$\mathcal{M}_1$是不可实现的。可实现的定向拟阵之间是否存在不可分解的强映射的问题至今尚未解决。本文给出了可实现定向拟阵上强映射猜想的一个反例，它是一个强映射$f:\mathcal{M}_1\rightarrow\mathcal{M}_2$，$\mathcal{M}_1$是秩为$4$且$f$有余秩$2$的交替定向拟阵.证明了不存在秩为$3$的一致定向拟阵$\mathcal{M}^{\prime}$使得$\mathcal{M}_1\rightarrow\mathcal{M}^{\prime}\rightarrow\mathcal{M}_2$ .
