关于 VII 类紧复曲面分类
On Classification of compact complex surfaces of class VII
AI总结：
本文研究 VII 类紧复曲面的分类，证明在特定条件下曲面为 Kato 曲面，并探讨 λ 的性质与 GSS 猜想的关联。
摘要：
设 S 是一个极小的紧复曲面，其贝蒾数 b₁(S)=1 且 b₂(S)≥1，即 S 是 VII₀⁺ 类的紧曲面。我们证明，如果存在一个扭曲的对数 1 形式 τ∈H⁰(S,Ω¹(log D)⊗L_λ)，其中 D 是一个非零除子，L∈H¹(S,C*)，则 S 是 Kato 曲面。已知 λ 实际上是实数，我们证明 λ≥1，并且当 S 不是 Inoue-Hirzebruch 曲面时，λ 是唯一的。此外，λ=1 当且仅当 S 是 Enoki 曲面。当 λ>1 时，这些条件等价于在 S 的循环覆盖 p:Ŝ→S 上存在一个负的 PSH 函数 Ť，该函数在 Ŝ\̃D 外是 PH 的，并且其自同构常数与 S 的自同构常数 λ 相同。结合与 V.Apostolov 前期结果，这提出了证明 GSS 猜想的策略。
英文摘要：
Let $S$ be a minimal compact complex surface with Betti numbers $b_1(S)=1$ and $b_2(S)\ge 1$ i.e. a compact surface in class VII$_0^+$. We show that if there exists a twisted logarithmic 1-form $τ\in H^0(S,Ω^1(\log D)\otimes \mathcal L_λ)$, where $D$ is a non zero divisor and $\mathcal L\in H^1(S,\mathbb C^\star)$, then $S$ is a Kato surface. It is known that $λ$ is in fact real and we show that $λ\ge 1$ and unique if $S$ is not a Inoue-Hirzebruch surface. Moreover $λ=1$ if and only if $S$ is a Enoki surface. When $λ>1$ these conditions are equivalent to the existence of a negative PSH function $\hat τ$ on the cyclic covering $p:\hat S\to S$ of $S$ which is PH outside $\hat D:=p^{-1}(D)$ with automorphy constant being the same automorphy constant $λ$ for a suitable automorphism of $\hat S$. With previous results obtained with V.Apostolov it suggests a strategy to prove the GSS conjecture.
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