元辛尖点形式与大筛法
Metaplectic cusp forms and the large sieve
AI总结：
本文证明固定三次元辛尖点形式傅里叶系数在素数上求和的幂节省上界，通过新的双线性大筛估计和线性型估计克服分布水平2/3的瓶颈。
摘要：
我们证明了一个关于固定三次元辛尖点形式 f 的傅里叶系数 ρ_f(·) 在素数上求和的幂节省上界。我们的结果是 Duke 和 Iwaniec 1990 年著名定理的三次类比，也是作者与 Radziwill 关于三次高斯和偏差定理的尖点类比。证明有两个主要输入，二者均具有独立意义。首先，我们证明了一个新的双线性型大筛估计，其核函数为 ρ_f(·)。该双线性估计的证明使用了 Browning 和 Vishe 的圆法数域版本、Voronoi 求和以及 Gauss-Ramanujan 和。其次，我们利用 Voronoi 求和与 Heath-Brown 的三次大筛法证明了涉及 ρ_f(·) 的线性型估计。我们的线性估计克服了出现在分布水平 2/3 处的瓶颈。
英文摘要：
We prove a power saving upper bound for the sum of Fourier coefficients $ρ_f(\cdot)$ of a fixed cubic metaplectic cusp form $f$ over primes. Our result is the cubic analogue of a celebrated 1990 Theorem of Duke and Iwaniec, and the cuspidal analogue of a Theorem due to the author and Radziwill for the bias in cubic Gauss sums. The proof has two main inputs, both of independent interest. Firstly, we prove a new large sieve estimate for a bilinear form whose kernel function is $ρ_f(\cdot)$. The proof of the bilinear estimate uses a number field version of circle method due to Browning and Vishe, Voronoi summation, and Gauss-Ramanujan sums. Secondly, we use Voronoi summation and the cubic large sieve of Heath-Brown to prove an estimate for a linear form involving $ρ_f(\cdot)$. Our linear estimate overcomes a bottleneck occurring at level of distribution $2/3$.
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