A tight Erdős-Pósa function for planar minors
令$H$为平面图。根据Robertson和Seymour的一个经典结果，存在一个函数$f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$，使得对于所有的$k \in \mathbb{N}$和所有的图$G$，要么$G$包含$k$顶点不相交的子图，每个子图包含$H$作为子图，要么存在一个至多包含$f(k)$顶点的子集$X$，使得$G-X$没有$H$ -子图.我们证明，这仍然是正确的与$f(k) = c k \log k$为某些常数$c=c(H)$。这个界限是最好的，直到$c$的值，并且改进了Chekuri和Chuzhoy的最近结果[STOC 2013]，他们用$f(k) = c k \log^d k$为一些通用常数$d$建立了这个界限。证明是建设性的，并产生一个多项式时间的$O(\log \mathsf{OPT})$ -近似算法的包装子图包含一个$H$ -子。
2019-10-23 cs.DM math.CO
Vertex-minors and the Erdős-Hajnal conjecture
证明了对图$H$，存在$\varepsilon>0$，使得每个与$H$同构的没有顶点子式的$n$ -顶点图都有一对顶点的不交集$A$，$B$，使得$|A|, |B|\ge \varepsilon n$和$A$是$B$的完全或反完全的.我们从Chudnovsky，Scott，Seymour和Spirkl（2018）的最新工作中推断出这一点。这证明了Erdens-Hajnal猜想对于顶点子式的类似性。
2018-09-06 math.CO
Erdős-Pósa property of rooted tree minors
Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；Université Côte d’Azur, CNRS, Inria, I3S（尼斯蔚蓝海岸大学、法国国家科学研究中心、法国研究与计算机数学研究所、I3S）
本文证明了以顶点子集S为根的树子式仍满足带线性界的Erdős-Pósa性质，改进了此前的O(k²)上界，是Gallai经典S-路径定理的推广。
2026-07-30 cs.DM math.CO
The Erdős-Hajnal property for graphs with no fixed cycle as a pivot-minor
证明了对任意整数$k$，存在$\varepsilon > 0$，使得对任意n-顶点图$G$，不存在与$C_k$同构的子子图，存在不交集$A,B \subseteq V(G)$，使得$|A|,|B| \geq \varepsilon n$，以及$A$与$B$是完全的或反完全的.这证明了类似的Erdens-Hajnal猜想的类图没有图的子同构$C_k$。
2021-07-01 math.CO
Pivot-minors and the Erdős-Hajnal conjecture
本文证明了 Kim 和 Oum 的猜想，即每个真轴转子式封闭图类都具有强 Erdős-Hajnal 性质，从而为 Erdős-Hajnal 猜想在轴转子式框架下提供了新的支持。
2025-04-08 math.CO
The Erdös-Pósa property for clique minors in highly connected graphs
本文证明了函数f：N^2 -> N的存在性，使得对于N中的所有p，k，每个（k（p-3）+14 p +14）-连通图要么有k个不相交的Kp子图，要么包含一个至多f（p，k）个顶点的集合，其删除杀死所有Kp子图.对于固定的p > 4，k（p-3）的连通性界是最小的，直到一个加法常数：如果我们假设k的连通性更小，那么就没有这样的函数f。
2010-03-20 math.CO
A tighter Erdös-Pósa function for long cycles
证明了存在一个二元函数f，f（k，l）= O（lklogk），使得对任意自然数k和l，任意图G至少有k个点不相交的长度至少为l的圈，或者有一个至多f（k，l）个点的集合满足所有长度至少为l的圈.这改进了Birmelé、Bondy和Reed（Combinatorica，2007）的结果，他们证明了f（k，l）= Θ（l k^2）的相同结果。
2012-05-04 cs.DM math.CO
The Erdős-Pósa property for circle graphs as vertex-minors
本文证明了圆图关于顶点子式具有 Erdős-Pósa 性质，并将相关技术推广到二元拟阵，刻画了含多个指定结构或不含该结构的低秩扰动之间的二分性。
2025-06-04 math.CO
Packing Topological Minors Half-Integrally
本文证明对任意图H，半整数版本的Erdős-Pósa性质对H-拓扑子式的装填与覆盖成立，推出Thomas猜想，还给出带根的更强结论，提供了将相关图论结果推广到更一般图类的通用机制。
2022-05-06 cs.DM math.CO
Erdös-Pósa property of minor-models with prescribed vertex sets
图$G$中的图$H$的次模型是可以收缩为$H$的$G$的子图。本文证明了对于一个正整数$\ell$和一个至少含有$\ell-1$连通分支的非空平面图$H$，存在一个函数$f_{H, \ell}:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$满足如下性质：每个含有顶点子集族$Z_1, \ldots, Z_m$的图$G$包含$H$的$k$两两顶点不相交的小模型，每个小模型至少与指定顶点集之间的$\ell$集相交，或者满足$H$的所有这样的次模型的大小至多为$f_{H, \ell}(k)$的顶点子集。这个函数$f_{H, \ell}$与给定集合的个数$m$无关，因此，我们的结果推广了Mader的$\mathcal S$ -路定理，将$\ell=2$和$H$应用于单顶点图.我们证明了这样一个功能$f_{H, \ell}$不存在，如果$H$由最多$\ell-2$连接组件。
2019-04-05 math.CO
On the Erdős-Pósa property for immersions and topological minors in tournaments
本文证明竞赛图中浸入和拓扑 minors 的 Erdős-Pósa 性质，分别给出弧和顶点反馈集大小上界 $O_H(k^3)$ 和 $O_H(k\log k)$，改进了 Raymond 对强连通 $H$ 的结果。
2022-04-01 math.CO
Induced Erdős--Pósa property for long holes, long thetas, and beyond
University of Warsaw（华沙大学）；Warsaw University of Technology（华沙理工大学）
本文研究了长环和长 theta 的诱导 Erdős–Pósa 性质，并由此得出排除 $k$ 个不相交的 $\Theta_t$ 的图具有平衡分离器，进而得到最大权重独立集的 QPTAS。
2026-07-09 cs.DM math.CO
Connectivity of graphs that do not have the edge-Erdős-Pósa property
本研究针对不具备边-Erdős-Pósa性质的图的连通性问题，证明可假设这类图连通，并在小闭性质和通用反例假设下强化为2-连通，推进了图论相关性质的研究。
2023-07-21 math.CO
The edge-Erdős-Pósa property
Robertson和Seymour证明了包含固定图$H$作为子图的图族具有Erdens-Pósa性质当且仅当$H$是平面图。我们表明，这是不再正确的边缘版本的Erdens-Pósa属性，甚至失败时，$H$是一个任意的大路径宽度或长梯子的次立方树。这回答了Raymond、Sau和Thilikos的一个问题。
2018-09-28 math.CO
A tight Erdős-Pósa function for long cycles
一个经典的结果Erdés和Pósa说，任何图包含$k$顶点不相交的循环或可以通过删除最多$O(k \log k)$顶点成为无循环的。在这里，我们推广了这个结果，证明了对所有的数字$k$和$l$，并为每个图$G$，要么$G$包含$k$顶点不相交的周期长度至少$l$，或存在一个集$X$的$\mathcal O(kl+k\log k)$，满足所有的周期长度至少$l$在$G$。作为一个推论，任何图$G$的树宽度不包含长度至少为$l$的$k$顶点不相交圈，则树宽度为$\mathcal O(kl+k\log k)$阶。这些结果改进了Birmelé，Bondy和Reed '07以及Fiorini和Herinckx '14的工作，并且在常数因子下是最优的。
2016-03-24 math.CO
Clique Minors in Double-critical Graphs
一个连通$t$ -色图$G$是\dfn{double-critical}，如果$G \backslash\{u, v\}$对每条边$uv\in E(G)$都是$(t-2)$ -可着色的.一个长期存在的猜想Erdans和Lovász的完全图是唯一的双临界$t$ -色图仍然开放的所有$t\ge6$。鉴于Erdés和Lovász猜想难以解决，并受到著名的Hadwiger猜想的启发，Kawarabayashi，Pedersen和Toft提出了一个较弱的猜想，即每个双临界$t$ -色图都包含一个$K_t$子图，并验证了他们对$t\le7$的猜想。Albar和Gonçalves最近证明了每个双临界$8$ -色图都包含一个$K_8$子图，并且他们的证明是计算机辅助的。本文证明了对于所有的$t\le9$，每个双临界$t$ -色图都含有一个$K_t$子图。我们对$t\le8$的证明更短并且不需要计算机。
2017-10-16 math.CO
The Erdos-Posa Property for Directed Graphs
Erdos和Posa的一个经典结果表明，存在一个函数$f: {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$，使得对于每个$k$，每个图$G$包含$k$两两点不相交的圈或至多有$f(k)$个顶点的集合$T$，使得$G-T$是无圈的.这个结果的推广到有向图被称为杨格猜想，并证明了里德，罗伯逊，西摩和托马斯在1996年。这个所谓的Erdos-Posa-性质可以自然地推广到任意图和有向图。Robertson和Seymour证明了图$H$具有Erdos-Posa-性质当且仅当$H$是平面图。本文研究了有向图的相应问题。我们得到了一类具有Erdos-Posa-性质的强连通有向图的一个完整的刻画（包括拓扑和蝶形子图）。我们还将这一结果推广到不强连通的有向图类。特别地，我们研究了顶点循环有向图类（没有平凡强分支的有向图）。对于这个自然类的有向图，我们得到了一个几乎完整的特性的有向图在这个类的Erdos-Posa-财产。特别是，我们给出了积极的和算法的例子，有向图的Erdos-Posa属性使用有向树分解在一个新的方式。
2016-03-14 cs.DM math.CO
Grid Minors in Damaged Grids
我们证明了最大的正方形网格图，这是一个子图，未成年人，或浅未成年人的一个图形的形式，一个更大的正方形网格，指定数量的顶点已被删除的大小上界和下界。我们的边界紧到常数因子之内。我们还提供了类似的高维网格问题的不太紧的界限。
2013-11-06 cs.DM math.CO
A Tight Erdős-Stone Bound for All Graph Densities
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；University of Haifa（海法大学）
本研究解决了Erdős–Stone问题在边密度接近1时的界的紧性问题，确定了该情形下$b_n(r,δ)$的正确阶，给出了适用于所有边密度的紧界，并分别通过构造性方法证明了上下界。
2026-09-02 math.CO
The order of the largest complete minor in a random graph
设ccl（G）表示图G中最大完全子式的阶数（也称为收缩团数），G（n，p）表示边概率为p的n阶随机图.当p为常数时，Bollobas，Catlin和Erdos渐近地确定了ccl（G（n，p））. Luczak、Pittel和Wierman给出了当p非常接近1/n时，即在相变内部时ccl（G（n，p））的界。推广了Bollobas，Catlin和Erdos的结果，当p>C/n时，我们非常严格地确定了ccl（G（n，p）），其中C是一个大常数.若p=C/n，对任意常数C>1，证明了ccl（G（n，p））是n阶平方根的渐近几乎必然的.这回答了Krivelevich和Sudakov的一个问题。
2007-05-02 math.CO math.PR
Obstructions to Erdős-Pósa Dualities for Minors
本文证明对每个 minor 封闭图类 H，其 Erdős-Pósa 反例类有限，并给出完整刻画与构造性算法，从而解决 Thomas 关于半整数 Erdős-Pósa 性质的猜想。
2024-07-16 cs.DS math.CO
Kalai's Conjecture for Tight Trees
University of Illinois, Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）；University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文证明了对紧树 $T$，不含 $T$ 的 $r$-一致超图的边数受其影子约束，确立了 Kalai 猜想（$r=2$ 时为 Erdős-Sós 猜想），证明由 GPT-6 Astra 给出，并推广至超图情形。
2026-09-09 math.CO
Polynomial Gap Extensions of the Erdős-Pósa Theorem
给定一个图$H$，我们用${\cal M}(H)$表示所有可以收缩为$H$的图。Erdens-Pósa定理的以下扩展成立：对于每个$h$ -顶点平面图$H$，存在一个函数$f_{H}$使得每个图$G$，或者包含${\cal M}(H)$中的图的$k$不相交副本，或者包含一组$f_{H}(k)$顶点满足属于${\cal M}(H)$的$G$的每个子图。在本文中，我们证明了这是每一个图$H$的路径宽度至多为2的情况下，特别是，$f_{H}(k) = 2^{O(h^2)}\cdot k^{2}\cdot \log k$。作为证明我们结果的一个主要成分，我们证明了，对于每个图$H$上的$h$顶点和路径宽度至多为2，要么$G$包含$H$的$k$不相交副本作为一个小的或$G$的树宽度是上限由$2^{O(h^2)}\cdot k^{2}\cdot \log k$。最后证明了如果$H=K_{2,r}$满足一定的条件，则在这些界中可以避免对$h$的指数依赖性.特别是，我们表明，$f_{K_{2,r}}=O(r^2\cdot k^2)$
2013-06-08 cs.DM math.CO
Tight Bounds for Hypercube Minor-Universality
本文证明 d 维超立方体不包含具有 C·2^d/d 条边的 3-均匀扩展图作为子式，从而在常数因子意义上匹配已知下界，回答了 Benjamini 等人提出的问题。
2025-02-10 math.CO
Graphs that are minor minimal with respect to dimension
Erdégs，Harary和Tutte定义了图$G$的维数为最小自然数$n$，使得$G$可以嵌入到$\mathbb{R}^n$中，每条边都是长度为1的直线段。自从这个定义提出以来，很少有人发表关于如何计算图的确切维数的文章，几乎没有人发表关于维数较小的图的文章。本文对这两个领域进行了研究。特别地，它（1）建立了某些条件，在这些条件下，计算图和的维数是容易的;（2）构造了三个无穷大的图类，它们的维数是次极小的。
2021-06-10 math.CO
On the number of cliques in graphs with a forbidden minor
Reed和Wood以及Norine、Seymour、Thomas和Wollan分别证明了对于每一个正整数$t$都存在一个常数$c(t)$，使得在$n$顶点上没有$K_t$ -minor的每一个图至多有$c(t)n$团。伍德在2007年提出，我们是否可以把$c(t) = c^t$当作某个绝对常数$c$。这个问题最近得到了Lee和Oum的肯定回答。在本文中，我们确定的指数常数。证明了$n$顶点上的无$K_t$ -子图至多有$3^{2t/3+o(t)}n$团.这个界对于$n \geq 4t/3$是紧的。更一般地，令$H$是$t$顶点上的连通图，并且$x$表示大小（即，数边）的最大匹配的补充$H$。通过一个简单的构造证明了$n$顶点上的无$H$ -子图最多有$\max(3^{2t/3-x/3+o(t)}n,2^{t+o(t)}n)$团，并且这个界对于$n \geq \max (4t/3-2x/3,t)$是紧的.更一般地说，我们明确地确定了指数常数的最大数目的团的$n$顶点图可以在一个小的封闭的家庭的图，这是封闭下不相交的工会。
2016-03-23 cs.DM math.CO
Lattice Minors and Eulerian Posets
本文定义图与多拟阵的子式偏序集，证明其同构于正则 CW 球面的面偏序集，因而为 Euler 偏序集，并给出强映射诱导的 cd-指标不等式及紧上下界。
2024-12-03 math.CO
The Erdős-Hajnal conjecture for rainbow triangles
证明了不含彩虹三角形的n个顶点的完全图的边的每一个3-着色都包含一个至多使用两种颜色的阶为Omega（n^{1/3}log^2 n）的集合，并且这个界是紧到常数因子的.这验证了Hajnal的猜想，这是著名的Erdens-Hajnal猜想的一个推广。我们进一步建立了这个结果的推广。对于固定的正整数s和r，其中s最多为r，我们确定一个常数c_{r,s}，使得以下成立。不含彩虹三角形的n个顶点上的完全图的边的每一个r-染色都包含一个至多使用s个颜色的阶Omega（n^{r（r-1）/s（s-1）}（\log n）^{ c_{r,s} }）的集合，并且除了隐含的常数因子外，这个界是紧的.下界的证明利用了Gallai对完全图的彩虹三角形自由边着色的分类，Ramsey定理的一个新的加权扩展，以及边加权图中的一个差异不等式。上界的证明使用Erdans关于Ramsey数的下界，考虑没有大单色团的完全图的2-边着色的字典积。
2013-03-12 math.CO
Tight connectivity and shadow densities in generalized Erdős--Rogers problems
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
研究广义Erdős–Rogers问题，证明对于r≥3且满足条件的超图F和G，存在对数上界，改进了He和Nie的猜想，并恢复了Ramsey下界。
2026-08-31 math.CO
VC-dimension and Erdős-Pósa property
设$G=(V,E)$是一个图。$G$中的一个$k$ -邻域是一个顶点集，它由距离$G$的某个顶点最多$k$的所有顶点组成。顶点集$V$上的超图是$G$的邻域超图，其中边集由$G$的所有$k$ -邻域组成，且对所有$k$.我们在本文中的目标是研究一个图的复杂性方面的邻域。我们将图$G$的距离VC维数定义为$G'$的邻域超图的VC维数在$G$的所有导出子图$G'$上的最大值。对于一类图，有界距离VC-维数既推广了次闭类，也推广了有界宽度的图。我们的动机是一个结果Chepoi，Estellon和Vaxès断言，每一个平面图的直径$2\ell$可以覆盖有界数量的球半径$\ell$。事实上，他们获得了函数$f$的存在性，使得平面图中半径为$\ell$的每个球集$\cal F$都包含大小为$f(ν)$的击球集，其中$ν$是$\cal F$的成对不相交元素的最大数量。我们的目标是推广Chepoi，Estellon和Vaxès的证明，并给出邻域的有界距离VC-维数的唯一假设。换句话说，具有有界距离VC-维数的图中的固定半径的球的集合具有Erdens-Pósa性质。
2014-12-04 cs.DM math.CO
Tight Upper Bounds on the Crossing Number in a Minor-Closed Class
图的交叉数是指在平面上画出的图的最小交叉数。我们的主要结果是：每个不包含固定图作为子图的图$G$都有交叉数$O(Δn)$，其中$G$有$n$顶点和最大度$Δ$ .这种对$n$和$Δ$的依赖性是最可能的。这个结果回答了Wood和Telle [New York J. Mathematics，2007]的一个公开问题，他们证明了$O(Δ^2 n)$的最佳前界。研究了凸交叉数和直交叉数，证明了有界路宽图的凸交叉数的$O(Δn)$界和无$K_{3,3}$ -minor图的直交叉数的$\sum_v°(v)^2$界.
2018-07-31 cs.CG math.CO
Tight Ramsey bounds for multiple copies of a graph
图$G$的Ramsey数$r(G)$是最小整数$n$，使得$n$顶点上的团的边的任何$2$着色包含$G$的单色副本。确定$G$的Ramsey数是Ramsey理论的一个中心问题，有着悠久而辉煌的历史。尽管如此，有珍贵的几类图$G$的值$r(G)$是确切知道的。其中一类是由固定图$H$的大的顶点不交并组成的图，我们用$nH$表示这样的图，它由$H$的$n$拷贝组成。这个经典结果由Burr，Erdibs和Spencer在1975年证明，他们证明了对于某些$c=c(H)$，只要$n$足够大，就有$r(nH)=(2|H|-α(H))n+c$。由于这并不符合他们的论点，伯尔、埃尔德什和斯宾塞进一步要求确定我们需要复制的数量，以便看到这种长期行为和$c$的价值。多年以前，Burr给出了一种确定$30$的方法，该方法仅适用于当$n$的拷贝数在$|H|$中是三倍指数时。在本文中，我们给出了一个基本上紧回答这个非常古老的问题的伯尔，Erdwords和斯宾塞表明，长期的行为已经发生时，数量的副本是单指数。
2023-02-01 math.CO
Tight paths in convex geometric hypergraphs
本文证明了关于凸几何超图中紧路的一个定理，该定理在无穷多种情况下是渐近尖锐的。我们的几何定理是Hopf和Pannwitz [12]，Sutherland [19]，Kupitz和Perles [16]关于凸几何图的早期结果以及经典的Erdens-Gallai定理[6]关于图的一般推广。作为结果，我们获得了第一个实质性的改进的图兰问题的紧路径一致超图。
2020-03-26 math.CO
Tight minimum degree conditions for apex-outerplanar minors and subdivisions in graphs and digraphs
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University of Alaska Fairbanks（阿拉斯加大学费尔班克斯分校）
研究最小度至少为|V(H)|-1的图必包含H作为子式的图类，证明一大类顶点外平面图满足此性质，并推广到有向图的细分和蝴蝶子式。
2026-06-19 math.CO
Two remarks on the Burr-Erdos conjecture
图H的Ramsey数r（H）是使得完全图KN的N个顶点上的边的每一个二染色都包含H的单色副本的最小正整数N。一个图H是d-退化的，如果H的每个子图的最小度至多为d。1975年Burr和Erdens证明了对任意正整数d，存在一个常数c_d，使得对任意n阶d-退化图H，r（H）\leq c_dn.我们证明了对于这样的图r（H）\leq 2^{c_d \sqrt{\log n} }n，改进了Kostochka和Sudakov的一个较早的界.我们还研究了随机图的Ramsey数，证明了当d固定时，几乎必然随机图G（n，d/n）的Ramsey数在n中是线性的.对于随机二部图，我们的证明给出了几乎紧的界。
2008-03-12 math.CO
Equitable Colorings of $K\_4$-minor-free Graphs
证明了对任意正整数$Δ$，任意最大度$Δ$的无K4-minor图都允许k个颜色的均匀染色，其中k $\ge$（$Δ$ +3）/2.这个界是紧的，证实了张和胡的一个猜想。我们不使用放电的方法，而是利用分解树的K 4-minor-free图。
2017-03-07 math.CO
Erdős-Sós for digraphs
University of Illinois, Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）；University of California, San Diego（加州大学圣迭戈分校）
本文证明了弧数超过 (t-1)n 的欧拉有向图必含任意 t 边有向树，界紧，是 Erdős-Sós 猜想的有向类比，由 GPT-6 Astra 证明。
2026-09-11 math.CO
A Problem of Erdös Concerning Lattice Cubes
本文研究了格立方体的一个Erdös问题。给定一个$N \times N \times N$格子立方体，我们要找到可以选择的顶点的最大数量，使得矩形框的八个角不会同时被选择。Erdös解释说，它有一个尖锐上界，这是$O(N^{11/4})$，但没有例子，大已被发现。我们开始接近这个问题的小$N$使用的方法，我们发现，不一定有一个唯一的最大的顶点集（计数所有可能的对称性）。接下来，我们研究一个等效的二维版本的这个问题，寻找模式，可能是有用的推广到三维的情况下。由于一个$n \times n$网格也是一个$n \times n$矩阵，我们重新措辞和推广原来的问题：什么是最小数量的顶点$α(k,n)$可以放在一个$n \times n$矩阵的条目0和1，使每个$k \times k$子包含至少一个条目1，为$1 \leq k \leq n$？我们发现了一些有趣的公式和渐近模式，揭示了新的光的问题。
2020-11-30 math.CA math.CO
The $χ$-Ramsey problem for triangle-free graphs
1967年，Erdés提出了在所有无三角形的$n$ -顶点图中求最大色数$f(n)$的问题。Erdés和Hajnal的观察以及Shearer对非对角Ramsey数$R(3, t)$的经典上界表明，$f(n)$至多是$(2 \sqrt{2} + o(1)) \sqrt{n/\log n}$。我们通过一个因子$\sqrt{2}$改进了这个界，并得到了一个紧到常数因子的列表色数上的类似界。一个边界的数量方面的边缘，这是同样紧如下，这些结果证实了一个猜想的Cames范巴滕堡，德Joannis德Verneburg，康，和Pirot。
2022-01-28 math.CO
An Asymptotically Tight $t\log t$ Bound for $k$-Connected Subgraphs in Dense $K_t$-Minor-Free Graphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）；Fuzhou University（福州大学）
研究在稠密无 \(K_t\) 子图的图中 \(k\) - 连通子图的界，通过改进方法，将结构界从 \(O(t\log^3 t)\) 提升到 \(O(t\log^2 t)\)，优化了相关图的阶，从 \(O(t\log^4 t)\) 变为 \(O(t\log^3 t)\)。
2026-08-07 math.CO
Chromatic number, clique subdivisions, and the conjectures of Hajós and Erdős-Fajtlowicz
对于图$G$，用$χ(G)$表示它的色数，用$σ(G)$表示$G$中最大团剖分的阶.设H（n）是$χ(G)/σ(G)$在所有$n$ -顶点图$G$上的最大值. Hajós在1961年提出了一个著名的猜想：对每个图$G$，有$σ(G) \geq χ(G)$。也就是说，$H(n) \leq 1$适用于所有正整数$n$。这个猜想在1979年被卡特林推翻。Erdenses和Fajtlowicz进一步证明了通过考虑一个随机图，对于某个绝对常数$c>0$，$H(n) \geq cn^{1/2}/\log n$。在1981年，他们证明，这一界是紧到一个常数的因素，有一些绝对常数$C$，使$χ(G)/σ(G) \leq Cn^{1/2}/\log n$的所有$n$ -顶点图$G$。本文证明了Erdens-Fajtlowicz猜想。在我们的证明，这可能是独立的利益的主要成分，是一个估计的最大集团细分的顺序，人们可以找到在每个图的$n$顶点与独立数$α$。
2012-02-14 math.CO
Tight paths in convex geometric hypergraphs
本文证明凸几何超图中紧路径的渐近精确定理，推广了多个早期几何图结果及Erdős-Gallai定理，并首次大幅改进均匀超图紧路径的Turán问题。
2018-04-07 math.CO
Independent sets in hypergraphs with a forbidden link
本文给出了一个关于$N$个顶点的$3$ -一致超图的概率构造，其中任意四个顶点中至多有两条边，且独立数为$O(\log N / \log \log N)$。这个界是紧的，解决了Erdals和Hajnal在拉姆齐理论中的一个长期存在的公开问题。我们进一步推广这一结果，以证明各种其他超图Ramsey数的紧界。
2021-03-18 math.CO
Erdős-Ko-Rado properties of Steiner 2-designs
Hebei Normal University（河北师范大学）；Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）；Novosibirsk State University（新西伯利亚国立大学）；University of Zagreb Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）
本文证明德萨格极大弧导出的Steiner 2-设计满足Erdős-Ko-Rado性质，回答开放问题，并通过计算找到反例，推广了非典型最大相交族。
2026-09-23 math.CO
Two Erdős--Hajnal-type Theorems in Hypergraphs
Erdens-Hajnal定理断言，非泛图，即不包含某个固定图$H$的导出副本的图，具有大小明显大于人们通常期望在图中找到的齐次集。在$r$ -一致超图的背景下，我们得到了这类超图的两个结果. Rödl的一个定理断言，如果一个$n$ -顶点图是非泛图，那么它包含一个大小为$Ω(n)$的几乎齐次集（即边密度非常接近$0$或$1$的几乎齐次集）。证明了如果$3$ -一致超图是非泛超图，则它包含一个大小为$Ω(\log n)$的几乎齐次集。1986年Rödl的一个例子表明这个界是紧的。设$R_r(t)$表示最大非泛$r$ -图$G$的大小，使得$G$及其补图都不包含部分大小为$t$的完全$r$ -部子图.我们证明了Erdens-Hajnal型步进引理，展示了如何将$R_{r}(t)$的下界转换为$R_{r+1}(t)$的下界。作为这个引理的应用，我们改进了Conlon-Fox-Sudakov的一个界，证明了$R_3(t) \geq t^{Ω(t)}$ .
2018-05-20 math.CO
Growth rate functions of dense classes of representable matroids
对于包含所有简单$\GF(q)$-可表示拟阵的$\GF(q^2)$ -可表示拟阵的每个真小闭子类$\cM$，我们对所有大的$r$给出了$\cM$中秩$r$拟阵点数的一个紧上界，并构造了$\cM$中秩$r$拟阵使其等式成立.因此，我们给出了一个紧上界的点的数目在$\GF(q^2)$ -可表示的，秩- $r$拟阵没有$\PG(k,q^2)$ -小。
2011-05-20 math.CO
All known prime Erdős-Hajnal tournaments satisfy $ε(H) = Ω(\frac{1}{|H|^{5}\log(|H|)})$
我们证明了存在$C>0$使得对于著名的Erdess-Hajnal猜想已被证明的每个素竞赛图$H$，$ε(H) \geq \frac{C}{|H|^{5}\log(|H|)}$，其中$ε(H)$是竞赛图$H$的Erdess-Hajnal系数。这是第一个多项式界的EH系数获得所有已知的总理Erdens-Hajnal比赛，特别是无限多个总理比赛。作为我们分析的副产品，我们肯定地回答了这个问题，是否存在一个无限族的素数竞赛图$H$与$ε(H)$下界由$\frac{1}{\textit{poly}(|H|)}$，其中$\textit{poly}$是一个多项式函数。此外，我们给出了更严格的界限比那些已知的EH系数的比赛没有大的齐次集。这使我们能够显着减少之间的差距最知名的EH系数的比赛的下限和上限。作为推论，我们证明了每个已知的素数Erdens-Hajnal竞赛图$H$满足：$-5 + o(1) \leq \frac{\log(ε(H))}{\log(|H|)} \leq -1 + o(1)$ .以前，这个表达式没有下限。我们还展示了这些结果的应用比赛着色问题。特别地，我们证明了对于每个已知的素数Erdens-Hajnal竞赛图$H$，每个无$H$的竞赛图至多有\textit{chromatic number} $O(n^{1-\frac{C}{|H|^{5}\log(|H|)}}\log(n…
2014-10-26 math.CO
The Erdős-Hajnal conjecture for three colors and multiple forbidden patterns
Erdenses和Szekeres的Ramsey定理的定量版本断言，任何n个顶点的完全图，如果边着色为两种颜色，则至少有1/2log（n）个顶点存在单色团。著名的Erdens-Hajnal猜想断言，禁止固定的颜色模式可以确保更大的单色集团。具体地说，它要求对任何固定整数k和任何k个顶点上的团K用两种颜色边着色，存在正常数a使得在任何不包含K的副本的用两种颜色边着色的完全n-顶点图中，至少在n^a个顶点上存在单色团。我们考虑三种颜色的边着色。对于三角形族H，每个三角形都用来自{r，b，y}的颜色着色，Forb（n，H）表示完全n-顶点图的使用来自{r，b，y}的颜色且不包含来自H的颜色的边着色族。设h_2（n，H）是使得Forb（n，H）中的任意着色在至少q个顶点上有一个团且至多使用两种颜色的最大q。本文对所有至多由三个三角形组成的族H给出了h_2（n，H）的界.对于其中的大多数，我们的边界是渐近紧的。这推广了Fox，Grinshpun和Pach的一个结果，他们对由彩虹三角形组成的H确定了h_2（n，H），并证实了Erdens-Hajnal猜想。
2021-07-29 math.CO
The extremal function for structured sparse minors
令$c(H)$为最小值，对于该最小值，$e(G)/|G|\geq c(H)$暗示$H$是$G$的子式。我们展示了一个新的上界$c(H)$，这提高了以前的边界的图形与顶点分区，其中一些对的部分有更多的边缘比其他的-例如一个完全二部图与少量的边缘放置在一个类。我们还显示了几乎所有这样的图的紧匹配下界。我们应用这些结果来显示$c(K_{ft/\log t,t}) = (0.638\dotsc+o_{f}(1))t\sqrt{f}$，对于$f = o(\log t) = ω(1)$。
2021-10-15 math.CO
Extremal density for sparse minors and subdivisions
证明了有界度二部图在一个温和的可分性条件下，其极密度的渐近紧界。作为推论，我们回答了里德和伍德关于嵌入稀疏未成年人的几个问题。其中，$\bullet$ $(1+o(1))t^2$平均度足以迫使$t\times t$网格作为拓扑子图; $\bullet$ $(3/2+o(1))t$平均度迫使每个$t$ -顶点可平面图作为子图，并且常数$3/2$是最佳的，此外，令人惊讶的是，该值对于$t$ -可嵌入任何固定表面的顶点图是相同的; $\bullet$是$(2+o(1))t$在平均度上的一个泛界，它迫使任何非平凡的极小闭族中的每个$t$ -顶点图都是极小图，并且常数2是考虑给定树宽的图的最佳可能常数.
2020-12-03 math.CO
Andrásfai--Erdős--Sós theorem for the generalized triangle
该研究确定了广义三角形F₅的3-均匀超图Andrásfai--Erdős--Sós型定理的最优ε值，证明n≥5000时最小度大于4n²/45的无F₅3-图必为3部图，还得到可消3-图的对应最优结果，大幅强化了前人工作。
2024-10-31 math.CO
Tight cycles and regular slices in dense hypergraphs
我们研究的随机子复合物的分区返回（一个合适的形式）的强超图正则引理，我们称之为定期切片。我们认为，这些subcomplex捕获许多重要的结构特性的原始超图。因此，我们主张使用它们的极值超图理论，并解释他们如何可以导致相当大的简化，在现有的证明在这一领域。我们还使用它们来建立以下两个新结果。首先，我们证明了Erdens-Gallai定理的一个超图推广：对于每个$δ>0$，每个至少有$(α+δ)\binom{n}{k}$边的充分大的$k$ -一致超图包含一个长度为$αn$的紧圈，其中每个$α\in[0,1]$都有一个长度为$αn$的紧圈.其次，我们（渐近地）找到了一个$k$ -一致$k$ -部超图的最小余度要求，对于每个$0<α<1$，该超图的每一部分都有$n$顶点，且包含一个长度为$αkn$的紧圈.
2014-11-18 math.CO
A note on the tolerated Tverberg theorem
本文在分划的维数和大小固定的情况下，给出了容许Tverberg定理的一个渐近紧界。为了实现这一点，我们研究某些分区的顺序型齐次集，并使用推广的Erdens-Szekeres定理。
2016-06-08 math.CO
Tight bounds for divisible subdivisions
Alon和Krivelevich证明了对每个$n$ -顶点次立方图$H$和每个整数$q \ge 2$，存在一个（最小）整数$f=f(H,q)$，使得每个$K_f$ -子图包含$H$的一个细分，其中每个细分路的长度都能被$q$整除.改进了它们的超指数界，证明了$f(H,q) \le \frac{21}{2}qn+8n+14q$，它是最优的常数乘法因子。
2021-11-10 math.CO
