Radical entanglement for elliptic curves
令$G$是数域$K$上的交换连通代数群，令$A$是秩为$r>0$的$G(K)$的无挠生成子群，对于$n>1$，令$K(n^{-1}A)$是$K$在代数闭包$\overline K$内的最小扩张，在该代数闭包$\overline K$上定义了所有点$P\in G(\overline K)$，使得$nP\in A$。我们用$s$表示唯一的非负整数，使得对于所有$n\geq 1$，$G(\overline K)[n]\cong (\mathbb Z/n\mathbb Z)^s$。我们证明了，在一定的条件下，$n^{rs}$和度$[K(n^{-1}A):K(G[n])]$之间的比率是有界的$n>1$独立的一个常数，只依赖于$\ell$ -进伽罗瓦表示与$G$和$A$作为一个子群的$G(K)$模扭转的一些算术性质。特别地，我们将文[13]中关于椭圆曲线的主要定理推广到任意秩的情形。
2023-01-08 math.AG math.NT
The growth of the rank of Abelian varieties upon extensions
我们研究的增长的秩的椭圆曲线，更一般地说，阿贝尔簇的号码字段的扩展。首先，我们证明了，如果$L/K$是数域的有限Galois扩张，使得$\Gal(L/K)$不具有指数为2的子群，并且$A/K$是阿贝尔簇，则$\rk A(L)-\rk A(K)$永远不可能是1。当$\Gal(L/K)$为奇数阶、交替、$\SL_2(\F_p)$或$\PSL_2(\F_p)$时，我们得到了更精确的结果。这意味着当$E/K$是其模$p$伽罗瓦表示是满射的椭圆曲线时，对$\rk E(K(E[p]))-\rk E(K(ζ_p))$的限制。在某些非伽罗瓦扩展的秩的增长得到类似的结果。其次，我们证明了，对于每个$n\ge2$存在一个椭圆曲线$E$在数域$K$，使$\Q\otimes_\Q\Res_{K/\Q} E$包含一个数域的程度$2^n$。我们问是否每一个椭圆曲线$E/K$有无限的秩在$K\Q(2)$，其中$\Q(2)$是$\Q$的所有二次扩张的合成。我们表明，如果答案是肯定的，那么对于任何$n\ge2$，存在一个椭圆曲线$E/K$承认无限多个二次扭曲的秩是一个正倍数的$2^n$。
2012-10-22 math.NT
Growth of torsion groups of elliptic curves upon base change
研究数域上椭圆曲线的挠率如何随基的变化而增长，特别证明了挠率增长的各种必要条件。对于数域$F$，我们证明了对于一个数域$F$的大集合，如果其在$F$上的正规闭包的Galois群具有某些性质，则对于定义在$F$上的所有椭圆曲线$E$，$E(L)_{tors}=E(F)_{tors}$成立.我们的方法在研究可能的扭转群$E(K)_{tors}$中特别有用，其中$K$是一个数域，$E$是定义在$\mathbb Q$上的椭圆曲线的基变化。假设$E$是椭圆曲线在$\mathbb Q$上的基变化，用于抽象的其余部分。我们证明了$E(K)_{tors}=E(\mathbb Q)_{tors}$的所有椭圆曲线$E$定义在$\mathbb Q$和所有数域$K$度$d$，其中$d$是不能整除的一个总理$\leq 7$。利用这一事实，我们确定了素数度$p\geq 7$的数域$K$上所有可能的扭群$E(K)_{tors}$。我们确定所有可能的程度$[\mathbb Q(P):\mathbb Q]$，其中$P$是一个点的素数阶$p$的所有$p$，使$p\not\equiv 8 \pmod 9$或$\left( \frac{-D}{p}\right)=1$的任何$D\in \{1,2,7,11,19,43,67,163\}$ ;这是真实的一组密度$\frac{1535}{1536}$的所有素数，特别是所有$p…
2019-02-01 math.NT
Growth of torsion groups of elliptic curves upon base change from number fields
本文在GRH下证明了不含虚二次域希尔伯特类域的数域上，当扩张次数与特定常数互素时椭圆曲线挠率子群保持不变，推广了已有结论，并探讨了CM情形下的反例。
2024-07-28 math.NT
CM elliptic curves and vertically entangled 2-adic groups
考虑由Weierstrass方程$y^2 = x^3 - 11x - 14$给出的椭圆曲线$E$，其在$\mathbb{Z}[i]$内具有导体$2$阶的复乘。最近在Daniels和Lozano-Robledo的论文中观察到，对于每个$n \geq 2$，$\mathbb{Q}(μ_{2^{n+1}}) \subseteq \mathbb{Q}(E[2^n])$。在这篇文章中，我们证明了这个（先验的令人惊讶的）"垂直纠缠之塔“实际上更多的是一个功能而不是一个错误：它适用于任何椭圆曲线$E$在$\mathbb{Q}$与复乘的任何顺序，甚至判别。
2023-01-03 math.NT
Elliptic curves with 2-torsion contained in the 3-torsion field
有一条定义在Q上的6阶模曲线X '（6），它的Q-有理点对应于Q上椭圆曲线E的j-不变量，其中Q（E[2]）是Q（E[3]）的一个子域。本文通过给出X '（6）的一个显式模型，刻画了具有这一性质的椭圆曲线的j-不变量。我们的动机是双重的：一方面，X '（6）属于参数化非Serre曲线的模曲线列表（并且不是众所周知的），另一方面，X'（6）（Q）给出了具有非阿贝尔“纠缠场”的椭圆曲线的无限族例子，这与系统地研究Q上的椭圆曲线的各种纠缠常数的校正因子有关。
2014-06-05 math.NT
Rank growth of elliptic curves over S3 extensions with fixed quadratic resolvents
本文研究椭圆曲线在具有固定二次预解域的S3三次扩张下获得秩增长的概率，通过确定辅助阿贝尔簇的Selmer秩分布，证明秩增长至多为1的概率至少为31.95%。
2025-02-08 math.NT
Coincidences of division fields
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且令$ρ_E\colon {\rm Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to {\rm GL}(2,\widehat{ \mathbb{Z} })$是与伽罗瓦在$E(\overline{\mathbb{Q}})$的扭点上的自然作用相关联的椭圆表示。根据Serre定理，$ρ_{E}$的象是开的，但由于分光场之间存在一定的二次纠缠，在${\rm GL}(2,\widehat{\mathbb{Z}})$中，象的指数总是至少为$2$.在本文中，我们研究了其他类型的阿贝尔纠缠。更具体地说，我们分类的椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，并素数$p$和$q$，使$\mathbb{Q}(E[p])\cap \mathbb{Q}(ζ_{q^k})$是非平凡的，并确定的重合度。因此，我们对所有椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$和整数$m,n$进行分类，使得第$m$次和第$n$次除法字段重合，即，当$\mathbb{Q}(E[n])=\mathbb{Q}(E[m])$时，当除法字段是阿贝尔时。
2021-06-23 math.NT
Cyclic reduction densities for elliptic curves
对于在数域$K$上定义的椭圆曲线$E$，$E$具有循环约简的$K$的素数集合的启发式密度由包含-排除和$δ_{E/K}$给出，该包含-排除和涉及$K$上的$E$的$m$ -除法域$K_m$的度。在GRH的假设下，可以证明该密度是正确的。对于没有复数乘法（CM）的$E$，我们证明了$δ_{E/K}$是反映$E$的除域的有限纠缠的显式非负有理数与一个普遍的无限Artin型乘积的乘积.对于$E$承认CM在$K$的二次秩序${\mathcal{O}}$，我们表明，$δ_{E/K}$承认一个类似的“因式分解”，其中的Artin型产品也依赖于${\mathcal{O}}$。对于$E$允许CM在$\bar K$上按顺序${\mathcal{O}}\not\subset K$，这发生在$K={\bf Q}$上，$K$上的分割场的纠缠是非有限的。在这种情况下，我们将$δ_{E/K}$写为来自$K$的素数的两个贡献之和，这些素数在${\mathcal{O}}$中是分裂的和惰性的。分裂贡献可以用前面的方法处理，惰性贡献的性质不同。我们确定了密度消失的方式，并提供了不同类型密度的数值示例。
2022-10-24 math.NT
Ranks of elliptic curves over function fields
我们提出的实验证据来支持广泛持有的信念，一半的所有椭圆曲线有无穷多个有理点。用于收集这一证据的方法是一个完善的算法，由于作者是基于刚性和结晶上同调。
2007-11-29 math.AG math.NT
A bound for the conductor of an open subgroup of GL2 associated to an elliptic curve
给定一条定义在数域$K$上的没有复乘的椭圆曲线$E$，考虑通过让伽罗瓦作用于$E$的挠率而定义的伽罗瓦表示的图像。塞尔的开像定理意味着存在一个正整数$m$，它的伽罗瓦像完全由它的约简模$m$决定。在本文中，我们证明了一个最小的$m$的标准不变量与$E$。边界是尖锐的，并改进了以前的结果。
2020-05-03 math.NT
Rank Jumps and Growth of Shafarevich--Tate Groups for Elliptic Curves in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-Extensions
该研究利用岩泽理论探究素数阶循环扩张中椭圆曲线的秩跳跃，以及$p$-主素Selmer群和Shafarevich–Tate群的增长，改进了相关已有结果。
2023-04-20 math.NT
On a probabilistic local-global principle for torsion on elliptic curves
设$m$是正整数，$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，且对素数$p$的密度集$1$，满足$m\mid#E(\mathbb{F}_p)$.在Katz和Harron-Snowden工作的基础上，我们研究了$m$整除$E(\mathbb{Q})$的挠子群阶的概率：我们发现对于所有$m \in \{ 1, 2, \dots, 10, 12, 16\}$它都是非零的，并且当$m \in \{ 1,2,3,4,5,7 \}$ .作为补充，我们给出了当参数化模曲线由亏格为零的无挠群的商产生时，具有额外层结构的椭圆曲线的渐近计数。
2021-07-17 math.NT
On the construction of irreducible polynomials over finite fields via prime degree endomorphisms of elliptic curves
本文利用正常椭圆曲线的奇素数阶自同态所诱导的变换的反复应用，给出了有限域上不可约多项式的迭代构造.
2017-06-03 math.DS math.NT
Torsion growth over cubic fields of rational elliptic curves with complex multiplication
本文是对椭圆曲线在基变换下的挠增长性分类的一个贡献。本文讨论有理数域上椭圆曲线的复乘情形。对于这种特殊的情况下，我们给出了一个描述的可能扭转增长的立方领域和一个完全明确的描述这种增长的一些不变量附加到一个给定的椭圆曲线。
2019-09-02 math.AG math.NT
On Types of Elliptic Pseudoprimes
本文推广椭圆伪素数概念，定义Euler椭圆Carmichael数与强椭圆Carmichael数，研究其与异常素数乘积及Type I椭圆Korselt数的关系，并证明相关密度猜想。
2021-02-09 math.GR math.NT
Mathieu Moonshine in the elliptic genus of K3
最近证明了K3的椭圆亏格可以用Mathieu群M24表示的维数来表示。这个想法的一些进一步的证据随后被发现，通过研究从椭圆亏格中获得的缠绕亏格，在用它们的特征标替换马蒂厄群表示的维数后。在本文中，我们发现明确的公式，所有（剩余）twining一般由受过教育的猜测其一般模块化的性质。这使我们能够识别M24-表示的维度方面的所有展开系数的分解。对于前500个系数，我们验证了这些表示出现的多重性确实都是非负整数。这是支持这个猜想的非常令人信服的证据。
2011-06-08 hep-th math.NT
On the decisional Diffie-Hellman problem for class group actions on oriented elliptic curves
我们展示了如何Weil配对可以用来评估分配字符的虚二次阶$\mathcal{O}$在一个未知的理想类$[\mathfrak{a}] \in \mathrm{Cl}(\mathcal{O})$连接两个给定的$\mathcal{O}$ -面向椭圆曲线$(E, ι)$和$(E', ι') = [\mathfrak{a}](E, ι)$。当专门用于有限域上的正常椭圆曲线时，我们的方法在概念上更简单，而且通常比Castryck，Sotáková和Vercauteren最近的方法更快，他们依赖于Tate配对。我们的工作的主要含义是，它打破了决策Diffie-Hellman问题，几乎所有的定向椭圆曲线，是由一个偶数阶类组。它也可以用来更好地处理Wesolowski最近从定向椭圆曲线的向量化问题到自同态环问题的简化中的最坏情况，从而产生一种总是在次指数时间内工作的方法。
2022-10-03 cs.CR math.NT
A construction of single-valued elliptic polylogarithms
Institute for Theoretical Physics, ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院理论物理研究所）
本文提出了一种在一次 punctured 椭圆曲线上构造单值椭圆多项式对数的一般方法，扩展了 Brown 对 genus-zero 单值多项式对数的构造，通过椭圆关联子和两个字母表的表示来表达 Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard 方程解的平凡单值条件，并通过椭圆 Bloch-Wigner 双对数等例子展示了该构造。
2026-05-18 hep-th math-ph math.AG
