arXiv 2403.005192024-03-01math.CO

关于 PG(n,q) 中 Cameron–Liebler k-集的两个不存在性结果

On two non-existence results for Cameron-Liebler $k$-sets in $\mathrm{PG}(n,q)$

Jan De Beule, Jonathan Mannaert, Leo Storme

AI总结：

本文研究 Cameron–Liebler k-集的不存在性，改进参数下界并在射影与仿射情形下推广参数模等式。

摘要：

本文聚焦于 Cameron–Liebler k-集的不存在性结果。Cameron–Liebler k-集是 PG(n,q) 或 AG(n,q) 中 k-空间的集合，具有某个依赖于该集合大小的参数 x。核心研究问题之一仍是参数为 x 的 Cameron–Liebler k-集是否存在。本文改进了两个不存在性结果。首先，我们证明 PG(n,q) 中非平凡 Cameron–Liebler k-集的参数应大于 q^{n-5k/2-1}，这改进了此前已知的下界。其次，在 x<(q^{n-k}-1)/(q^{k+1}-1)、n≥2k+1、n-k+1≥7 且 n-k 为偶数的条件下，我们证明了 PG(n,q) 中 Cameron–Liebler k-集参数 x 的一个模等式。在仿射情形中，我们在 n-k+1≥3 且 n-k 为偶数时证明了类似结果。这推广了此前射影和仿射情形中已知的模等式。

英文摘要：

This paper focuses on non-existence results for Cameron-Liebler $k$-sets. A Cameron-Liebler $k$-set is a collection of $k$-spaces in $\mathrm{PG}(n,q)$ or $\mathrm{AG}(n,q)$ admitting a certain parameter $x$, which is dependent on the size of this collection. One of the main research questions remains the (non-)existence of Cameron-Liebler $k$-sets with parameter $x$. This paper improves two non-existence results. First we show that the parameter of a non-trivial Cameron-Liebler $k$-set in $\mathrm{PG}(n,q)$ should be larger than $q^{n-\frac{5k}{2}-1}$, which is an improvement of an earlier known lower bound. Secondly, we prove a modular equality on the parameter $x$ of Cameron-Liebler $k$-sets in $\mathrm{PG}(n,q)$ with $x<\frac{q^{n-k}-1}{q^{k+1}-1}$, $n\geq 2k+1$, $n-k+1\geq 7$ and $n-k$ even. In the affine case we show a similar result for $n-k+1\geq 3$ and $n-k$ even. This is a generalization of earlier known modular equalities in the projective and affine case.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

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