arXiv 2402.173222024-02cs.CGcs.DS

用几何对象包围点

Enclosing Points with Geometric Objects

Timothy M. Chan, Qizheng He, Jie Xue

备注：: In SoCG'24

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AI总结：

研究用给定几何对象的最小子集包围平面点集的问题，提出基于稀疏化/最小割与 LP 舍入的两类多项式时间近似框架，并给出单位圆盘、单位正方形、线段和圆盘的近似比。

摘要：

设 $X$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的一个点集，$\mathcal{O}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的一组几何对象，其中 $|X| + |\mathcal{O}| = n$。我们研究计算一个最小子集 $\mathcal{O}^* \subseteq \mathcal{O}$、使其包围 $X$ 中所有点的问题。这里，点 $x \in X$ 被 $\mathcal{O}^*$ 包围，是指它位于 $\mathbb{R}^2 \backslash (\bigcup_{O \in \mathcal{O}^*} O)$ 的一个有界连通分量中。我们提出两个算法框架，用于为该问题设计多项式时间近似算法。第一个框架基于稀疏化和最小割，可为单位圆盘、单位正方形等得到 $O(1)$-近似算法。第二个框架基于 LP 舍入，可为线段得到 $O(α(n)\log n)$-近似算法，其中 $α(n)$ 是逆 Ackermann 函数，并可为圆盘得到 $O(\log n)$-近似算法。

英文摘要：

Let $X$ be a set of points in $\mathbb{R}^2$ and $\mathcal{O}$ be a set of geometric objects in $\mathbb{R}^2$, where $|X| + |\mathcal{O}| = n$. We study the problem of computing a minimum subset $\mathcal{O}^* \subseteq \mathcal{O}$ that encloses all points in $X$. Here a point $x \in X$ is enclosed by $\mathcal{O}^*$ if it lies in a bounded connected component of $\mathbb{R}^2 \backslash (\bigcup_{O \in \mathcal{O}^*} O)$. We propose two algorithmic frameworks to design polynomial-time approximation algorithms for the problem. The first framework is based on sparsification and min-cut, which results in $O(1)$-approximation algorithms for unit disks, unit squares, etc. The second framework is based on LP rounding, which results in an $O(α(n)\log n)$-approximation algorithm for segments, where $α(n)$ is the inverse Ackermann function, and an $O(\log n)$-approximation algorithm for disks.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

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