Saturated $k$-Plane Drawings with Few Edges
如果没有边交叉超过$k$次，则图的绘图是$k$平面。本文研究了饱和的$k$ -少边平面图。这是$k$ -平面图，在不违反$k$ -平面性的情况下，不能添加任何边。对于每一个顶点数$n>k+1$，我们提出了一个紧密的结构与$\frac{n-1}{k+1}$边缘的情况下，在边缘可以自相交。如果我们限制图纸是$\ell$ -简单的，我们表明，在饱和的$k$ -平面图纸的边缘数必须更高。我们提出了几个边的不同值的$k$和$\ell$的建设。最后，我们研究饱和直线$k$ -平面图。
2021-08-30 cs.CG cs.DM
Hypergraphs as Metro Maps: Drawing Paths with Few Bends in Trees, Cacti, and Plane 4-Graphs
本文研究了如何在树、草图和平面4-图中以最少弯数绘制路径，提出了一种优化方法以减少路径的弯数并提高绘制效率。
2025-11-27 cs.CG
Aligned plane drawings of the generalized Delaunay-graphs for pseudo-disks
我们研究一般Delaunay-图，它是德洛内三角剖分到任意族，特别是伪圆盘的自然推广。证明了对任意有限的伪圆盘族和点集，存在其Delaunay图的平面图，使得每条边位于包含其端点的伪圆盘内。
2020-08-24 cs.CG math.CO
Maximizing Ink in Partial Edge Drawings of k-plane Graphs
部分边绘制（英语：Partial edge drawing，PED）是一种非平面图形的绘制样式，其中边仅部分地绘制为相应端顶点上的相对存根对。在PED中，通过擦除边缘的中心部分，所有边缘交叉和由此产生的视觉混乱都隐藏在边缘的未绘制部分中。在对称部分边绘图（SPED）中，要求每条边的两个桩柱具有相同的长度。已知的是，当将具有交叉的直线图绘图转换成SPED时，最大化墨水（或总桩长度）对于2平面输入绘图是易处理的，但是对于不受限制的输入是NP难的。我们发现，即使对于3平面输入图纸，该问题仍然是NP-困难的，并建立了4平面图的PED的油墨最大化的NP-硬度。然而，对于k-平面输入图纸的边缘相交图形成一个树的集合，或更一般地说，其相交图有界树宽，我们提出了有效的算法计算最大墨水PED和SPEDs。我们实现了基于树宽的算法并给出了简短的实验评估。
2019-08-26 cs.CG cs.DS
Plane Spanning Trees in Edge-Colored Simple Drawings of $K_n$
Károlyi、Pach和Tóth证明了完全图的每一个2-边着色直线图都包含一棵单色平面生成树。如果此语句推广到其他类别的绘图，特别是完整图形的简单绘图，则它是开放的。这些图形中的边由约旦弧表示，其中任何两个最多相交一次。我们提出了两个部分结果对这样的推广。首先，我们表明，该声明适用于圆柱形简单绘图。(In在圆柱形绘图中，所有顶点都放置在两个同心圆上，并且没有边与任何一个圆相交。）其次，我们引入了一个放松的问题，其中图是$k$ -边着色的，目标结构必须是减色的，也就是说，避免（至少）一个颜色类。在此设置中，我们表明，每$\lceil (n+5)/6\rceil$边着色单调简单的$K_n$绘图包含一个全色平面生成树。(In在单调绘图中，每条边都表示为$x$ -单调曲线。）
2020-08-20 cs.CG cs.DM
Drawing Graphs on Few Lines and Few Planes
我们研究了在二维和三维中绘制图形的问题，使得它们的边（或仅它们的顶点）可以被少数线或平面覆盖。我们坚持直线边缘和交叉自由图纸。这个问题与其他具有挑战性的图形绘制问题有许多联系，例如小面积或小体积的绘图，分层或跟踪绘图，以及绘制具有低视觉复杂度的图形。虽然我们的问题的一些事实是隐含在以前的工作，这是第一次处理的问题，在其充分的一般性。我们的贡献如下。我们显示的下限和上限的线和平面的数量需要覆盖图在某些图形类。在某些情况下，我们的边界是渐近紧的;在某些情况下，我们能够确定精确的值。我们将我们的参数标准的组合特性的图形（如色数，树宽，最大程度，或荫度）和参数，已研究在图形绘制（如轨道数或出现在绘图中的段数）。我们特别注意平面图。例如，我们表明，有平面图，可以画在3-空间上的线比在平面上少得多。
2016-09-01 cs.CG math.CO
Computing Bend-Minimum Orthogonal Drawings of Plane Series-Parallel Graphs in Linear Time
平面4-图G的平面正交图（即，顶点度最多为4的平面图）是一种无交叉绘图，它将G的每个顶点映射到平面的不同点，并将$G$的每条边映射到其端点之间的一系列水平和垂直线段。一个长期存在的开放问题，在图绘制，可以追溯到30多年来，是是否存在一个线性时间算法来计算一个平面4-图的正交绘图与最小数量的弯曲。术语“平面”指示输入图与平面嵌入一起出现，该平面嵌入必须由绘图保留（即，绘图必须具有与输入图形相同的面集合）。在本文中，我们肯定地回答了广泛研究的系列平行图类的上述问题。我们的线性时间算法的基础上的一个特征的平面串并联图，承认一个正交的绘图没有弯曲。这个特征是根据图的每种类型的三连通分量可以采取的正交螺旋度给出的;分量的正交螺旋度度量该分量在图的正交图中被“卷起”的程度。
2022-05-16 cs.CG cs.DS
Quasi-upward Planar Drawings with Minimum Curve Complexity
本文研究了双峰平面有向图的最小曲线复杂度的拟上平面图的计算问题，图中，以使每个边缘的最大弯曲数最小化。我们证明了每一个双峰平面有向图都允许一个曲线复杂度为2的拟向上平面图，这是最坏情况最优的。我们还表明，在准向上的平面绘图曲线的复杂性最小化的问题可以建模为一个单位容量的平面流网络的最小成本流问题。这就产生了一个$\tilde{O}(m^\frac{4}{3})$ -时间算法，计算一个准向上的平面绘图与最小的曲线复杂性;此外，绘图具有最小数量的弯曲时，没有边可以弯曲两次以上。作为对比，我们显示双峰平面有向图的弯曲最小准向上平面图纸需要线性曲线的复杂性，即使在变量嵌入设置。
2021-09-11 cs.CG
Using SAT to study plane Hamiltonian substructures in simple drawings
本文开发SAT框架研究完全图简单画法，基于计算数据提出并证明平面哈密顿子图（含2n-3条边）猜想对凸画法成立，并引出新猜想。
2023-05-16 cs.CG cs.DM math.CO
Limitations on Realistic Hyperbolic Graph Drawing
我们表明，几种类型的图形绘制在双曲平面上需要的功能的绘图被分开彼此的子常数距离，距离如此之小，他们可以准确地近似欧氏距离。因此，对于这些类型的绘图，双曲几何并没有比欧几里德图形绘图更好的优势。
2021-08-17 cs.CG
Moving Vertices to Make Drawings Plane
平面图$G$的直线图$δ$不必是平面的，但可以通过移动一些顶点来使其成为平面。让shift $(G,δ)$表示将$δ$转换为$G$的平面图所需移动的最小顶点数。证明了移位$(G,δ)$的计算和逼近是NP-难的，并且当$G$是树或一般平面图时，给出了移位$(G,δ)$的显式界.我们的硬度结果扩展到1BendPointSetEmbeddability，一个著名的图形绘制问题。
2008-11-06 cs.CC cs.CG cs.DM
Crossing Number of 3-Plane Drawings
本文利用密度公式研究3-平面绘制的交叉数，证明每个3-平面绘制至多有5.5(n-2)个交叉点且界是紧的，从而将3-平面图的交叉数上界从6.6n改进为5.5n。
2025-03-11 cs.CG math.CO
A census of graph-drawing algorithms based on generalized transversal structures
提出两种基于grand-Schnyder woods的线性时间图绘制算法，统一了多种定义在不同平面图类上的已知图绘制算法。
2025-03-01 cs.CG math.CO
Hypercube drawings with no long plane paths
Department of Applied Mathematics, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（应用数学系，数学物理学院，查理大学）；Computer Science Institute, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（计算机科学研究所，数学物理学院，查理大学）
本文研究了超立方体图的平面子结构，证明了其绘制中不存在长平面路径，并给出了相关结果的简短证明。
2026-03-04 cs.CG math.CO
Trees with Convex Faces and Optimal Angles
我们考虑图纸的树木，其中所有的边缘事件的树叶可以扩展到无限射线没有交叉，分割成无限凸多边形的平面。在所有这样的图纸中，我们寻求一个最大化的角度分辨率的图纸。我们发现线性时间算法来解决这个问题，无论是平面树和树没有固定的嵌入。在任何这样的绘图中，可以独立于角度设置边长，而不交叉;我们描述了设置这些长度的多种策略。
2006-07-26 cs.CG
Dynamic Conflict-Free Colorings in the Plane
我们研究了平面上的动态无冲突着色，目标是在插入和删除的情况下保持无冲突着色（简称CF-着色）。- 首先考虑单位正方形集合$S$关于点的CF-染色。我们的方法保持了CF着色，使用$O(\log n)$颜色在任何时候，其中$n$是$S$中的当前正方形数量，在成本只有$O(\log n)$每插入或删除一个正方形包围。我们推广的方法，矩形的边长范围$[1,c]$，其中$c$是一个固定的常数。这里，使用的颜色数变为$O(\log^2 n)$。该方法还可以扩展到任意矩形，其坐标来自一个固定的宇宙的大小$N$，产生$O(\log^2 N \log^2 n)$颜色。这两种方法的验证数都保持在$O(\log n)$中。- 然后，我们提出了一个一般的框架，以保持CF-着色下插入的对象集，承认一个单峰着色与少量的颜色在静态的情况下。作为一个应用程序，我们展示了如何保持CF-着色与$O(\log^3 n)$颜色的磁盘（或其他对象的线性联盟复杂性）的点在成本的$O(\log n)$包围每插入。我们扩展的框架，全动态的情况下，静态的unimax染色允许弱删除。作为一个应用程序，我们展示了如何保持CF-着色与$O(\sqrt{n} \log^2 n)$颜色的点相对于矩形，在成本的$O(\log n)$每次插入和每次删除$O(1)$包围。这是在平面上全动态CF着色的第一个结果，也是在非全等对象上半动态CF着色的第…
2017-09-29 cs.CG
Plane Hamiltonian Cycles in Convex Drawings
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
本文证明了在凸绘图中，每个简单绘图的完全图K_n都存在平面哈密顿环，并展示了哈密顿连通性和泛环性等性质。
2026-03-15 cs.CG cs.DM math.CO
Minimum Height Drawings of Ordered Trees in Polynomial Time: Homotopy Height of Tree Duals
我们考虑图中的平面中的顶点被分配在平面中的不同点和边缘被绘制为简单的曲线连接的顶点，这样的边缘相交，只有在其共同的端点。有一种直观的图形绘制质量度量方法，可以测量图形$ϕ: G \rightarrow \mathbb{R}^2$的高度，如下所示。对于$\mathbb{R}^2$中的垂直线$\ell$，令$\ell$的高度为集合$\ell \cap ϕ(G)$的基数。$G$图形的高度是所有垂直线上的最大高度。在本文中，而不是抽象的图，我们固定的图纸，并考虑平面图。换句话说，我们正在寻找一个平面的同胚，使所得图形的高度最小化。这个问题等价于平面上的同伦高度问题和同伦Fréchet距离问题。这些问题最近被证明是NP问题，但自2009年提出以来，还没有发现多项式时间算法或NP难证明。我们提出了第一个多项式时间算法绘制树的最佳高度。这对应于同伦高度的多项式时间算法，其中三角剖分只有一个顶点（即，一组与单个顶点关联的循环），因此其对偶是树。
2022-03-16 cs.CG cs.DS
Simple Topological Drawings of $k$-Planar Graphs
每个有限图都有一个\emph{simple (topological) drawing}，即每对边至多相交于一点的图。然而，结合其他限制，简单的图纸并不普遍存在。例如，\emph{$k$-planar graphs}是可以被绘制成使得每条边最多具有$k$交叉（即，它们承认\emph{$k$-plane drawing}）。对于$k\le 3$，每个$k$ -平面图都有一个$k$-平面简单图.但对于$k\ge 4$，存在不允许$k$-平面简单图的$k$-平面图.对Schaefer提出的一个问题，我们证明了存在一个函数$f : \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$，使得对所有的$k\in\mathbb{N}$，每个$k$ -平面图都有一个$f(k)$ -平面简单图.注意，函数$f$仅依赖于$k$，并且与图的大小无关。此外，我们还提出了一个算法，证明了每个$4$ -平面图都有一个$8$ -平面简单图.
2020-08-25 cs.CG cs.DM math.CO
What induces plane structures in complete graph drawings?
FernUniversität in Hagen, Germany（哈根联邦大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics, Hungary（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
研究了完全图绘制中平面结构的形成条件，通过特定规则确保所有曲线相交，从而避免互不相交的曲线。
2026-03-05 cs.CG math.CO
Shooting Stars in Simple Drawings of $K_{m,n}$
简单绘图是两条边最多有一个公共点（公共端点或适当交叉）的图形绘图。完全二部图$K_{m,n}$的每一个简单图是否都包含一个平面生成树作为子图，这一直是一个悬而未决的问题。我们回答这个问题的积极表明，对于每一个简单的图纸$K_{m,n}$和每个顶点$v$在该图纸中，该图纸包含一个射击之星植根于$v$，也就是说，一个平面生成树包含所有的边缘事件到$v$。
2022-09-02 cs.CG math.CO
Straight-line Drawings of 1-Planar Graphs
一个图是1-平面的，如果它可以画在平面上，使每个边最多交叉一次。然而，有1-平面图不承认直线1-平面图。我们证明了每一个1-平面图都有一个直线图，它的边是双染色的，所以相同颜色的边不会相交。因此，1-平面图的几何厚度为2。此外，如果每条边被交叉两次以上，则每条边被具有公共顶点的边交叉。绘图使用高精度算法，数字为O（nlog n）位，可以在线性时间内从1-平面绘图计算
2021-09-03 cs.CG
Re-embedding a 1-Plane Graph into a Straight-line Drawing in Linear Time
图的1-平面嵌入是图的1-平面嵌入的一个重要特征，它是图的1-平面嵌入，当且仅当图的1-平面嵌入不包含图的1-平面嵌入[C.图的直线图，J.图论，10（3），335-341，1988]。本文将某些1-平面嵌入刻画为禁止配置，使得一个图的1-平面嵌入可以重嵌入到同一图的一个直线可画1-平面嵌入中当且仅当它不包含该配置. 1-平面嵌入的重新嵌入保留相同的交叉边对集合。我们给出了一个线性时间算法来寻找一个直线可画的1-平面重嵌入或禁用配置。
2016-09-02 cs.CG cs.DS
Drawing maps on oriented surfaces
本文提出 planar_draw 程序，可将定向曲面上的地图输出为可定制的 tikz 绘图，并支持高亏格基本多边形、不可收缩环及无预嵌入图。
2025-05-16 cs.CG
Empty Triangles in Generalized Twisted Drawings of $K_n$
简单绘图是在平面或球面上绘制图形，使得顶点是不同的点，边是连接其端点的约旦弧，并且边最多相交一次（在适当的交叉或共享端点中）。如果有一个点$O$，使得从$O$发出的每条射线最多穿过图形的每条边一次，并且有一条从$O$发出的射线恰好穿过每条边一次，则简单图形是广义扭曲的。我们证明了$K_n$的所有广义扭曲绘图都精确地包含$2n-4$空三角形，从而朝着证明以下猜想迈出了实质性的一步：对于$K_n$的每个简单绘图都是这种情况。
2022-08-11 cs.CG
A note on graph drawings with star-shaped boundaries in the plane
本文提出了一种直接的方法来生成平面图的直线嵌入，其中图的一个面固定在平面上作为星形多边形。它是基于最小化离散狄利克雷能量，以下的思想Tutte的嵌入定理。我们称之为星形多边形的测地线三角剖分。此外，我们还研究了所有直线嵌入空间的同伦性质。我们给出了一个简单的参数，以表明该空间是可收缩的，如果边界是一个非凸四边形。我们猜想，同样的陈述适用于一般的星形多边形。
2022-04-22 cs.CG math.GN
Updating the Number of Crossings in Rectilinear Drawings of the Complete Graph
设$S$是平面中一般位置上的一组$n$点。用直线段连接$S$中的每对点。令$\overline{cr}(S)$为在其内部相交的这些边的对数。假设这个数字是已知的。本文考虑了计算$\overline{cr}(S')$的问题，其中$S'$来自于从$S$中增加、删除或移动一个点。
2017-11-12 cs.CG
A pair of trees without a simultaneous geometric embedding in the plane
任何平面图在平面内都有一条不相交的直线。两个n-顶点图的同时几何嵌入是两个图在一个公共的n个点的集合上的直线绘制，使得每个单独的图内的边不交叉。我们考虑同时嵌入两个标记的树，与预先描述的顶点对应，并提出了这样一个对不能嵌入的实例。此外，我们提供了一个平面图的例子，不能嵌入在一起的路径时，顶点对应。
2005-11-01 cs.CG
Separable Drawings: Extendability and Crossing-Free Hamiltonian Cycles
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
引入可分离绘图概念，证明每个可分离绘图可扩展为完全图K_n的简单绘图，且K_n的可分离绘图包含无交叉哈密顿环并是平面哈密顿连通的。
2026-06-18 cs.CG cs.DM math.CO
Drawing HV-Restricted Planar Graphs
图$G=(V, E)$在$\mathbb{R}^2$中的严格正交绘图是$G$的绘图，使得每个顶点被映射到不同的点，并且每个边被映射到水平或垂直线段。如果图$G$的每条边都被指定了水平或垂直方向，则图$G$是$HV$受限的。如果一个$HV$ -限制图$G$是平面的并且尊重$G$的边方向，那么它的严格正交图是好的。在本文中，我们给出了一个多项式时间算法，以检查是否给定的$HV$ -限制平面图（即，具有固定组合嵌入的平面图）允许保持输入嵌入的良好正交绘图，这解决了由Matencies uch等人提出的开放问题（Graph Drawing 2010）。然后，我们检查$HV$ -限制平面图（即，当嵌入不固定时），并给出了$HV$ -限制双连通外平面图的一个完整的刻画.
2019-04-14 cs.CG
Invariants of graph drawings in the plane
我们提出了一个简化的阐述的一些经典和现代的结果图的图纸在平面上。这些结果的选择，使他们说明了一些壮观的最近高维结果的边界拓扑和组合。我们定义了一个模2值自相交不变量（即van Kampen数）及其推广。我们目前的基本配方和参数访问数学家不专门在任何讨论的领域。因此，大部分这一调查可以研究教科书之前，代数拓扑，作为一个介绍开始的想法，代数拓扑动机的算法，组合和几何问题。
2020-12-22 cs.CG math.AT math.CO
Angle Optimization of Graphs Embedded in the Plane
本文研究了利用边长约束和角度优化的平面作图问题。具体来说，我们考虑最大化最小角度的问题，MMA问题。我们使用弹簧嵌入方法解决MMA问题，其中两个力施加到图的顶点：优化边长的力和优化角度的力。我们解决了解析计算的最佳位移的一个图形顶点优化的角度之间的入射到它，如果顶点的程度是最多三个的问题。我们还采用数值方法计算施加到顶点的力的程度更高。我们实现了我们的算法在Java中，并提出了一些图形的图纸。
2013-05-21 cs.CG
On the Area Requirements of Planar Greedy Drawings of Triconnected Planar Graphs
本文研究了三连通平面图的平面贪婪图的面积要求。Cao，Strelzoff和Sun展示了三连通平面图的细分族$\cal H$，并声称在$\mathcal H$中的每一个平面图的贪婪绘制都需要指数面积。然而，我们发现，每一个$n$ -顶点图中的$\cal H$实际上有一个平面贪婪图纸尊重规定的平面嵌入在$O(n)\times O(n)$网格。这重新打开的问题是否三连通平面图承认平面贪婪图纸上的多项式大小的网格。此外，我们提供了一个肯定的答案，证明了每个$n$ -顶点Halin图承认一个平面的贪婪绘制上的$O(n)\times O(n)$网格上的上述问题的证据。这两个结果都是通过实际构造凸的和角单调的图来获得的。最后，我们考虑$α$ -施奈德图纸，这是角度单调，因此贪婪，如果$α\leq 30^\circ$，并表明存在平面三角形，每个$α$ -施奈德图纸与固定的$α<60^\circ$需要指数面积的任何决议规则。
2020-03-03 cs.CG cs.DM cs.DS
Convex Grid Drawings of Planar Graphs with Constant Edge-Vertex Resolution
我们继续研究了3连通平面图的凸直线网格图的面积要求，这在过去的几十年里已经得到了深入的研究。出于应用程序，如图形编辑器，我们还需要获得的图纸有界边顶点分辨率，也就是说，顶点和任何非入射边之间的最近距离是下界的常数，不依赖于图形的大小。本文提出了一个以n个顶点和f个内面的3连通平面图为输入，在大小为（n-2+a）x（n-2 +a）的整数网格上计算边顶点分辨率至少为1/2的凸直线图的作图算法，其中a=min{n-3，f}.我们的结果改进了Chrobak，Goodrich和Tamassia以前最著名的面积界（3 n-7）x（3 n-7）/2。
2022-05-09 cs.CG cs.DS
Crossing-Optimal Extension of Simple Drawings
在部分图绘图的扩展问题中，给出了输入图$G$的不完整绘图，并要求在保持某些属性的情况下完成绘图。出现这种问题的一个突出领域是交叉最小化。对于平面图和各种放宽这些，有一些易处理性以及下限的结果，探索交叉敏感的绘图扩展问题的计算复杂性。相比之下，相对较少的结果是已知的基本和广泛的一类简单的图纸，即图纸中的每对边缘相交在最多一个点的扩展问题。事实上，直到最近，它已被证明，简单的图纸延伸问题是NP-难的，即使任务是插入一个单一的边缘。在本文中，我们提出了简单的图纸交叉敏感的延伸问题的易处理的结果。特别是，我们表明，插入到一个简单的绘图的边缘的问题是固定参数的参数化时，易于处理的边缘插入和上界新创建的交叉点的数量。使用相同的证明技术，我们也能够回答这个问题的几个密切相关的变种，其中包括$k$ -平面图纸的扩展问题。此外，使用不同的方法，我们提供了一个单指数固定参数算法的情况下，我们只是试图插入一个单一的边缘到绘图。
2020-12-14 cs.CG cs.DS
Drawing Graphs with Circular Arcs and Right-Angle Crossings
在图形的RAC绘图中，顶点由平面中的点表示，相邻顶点由线段连接，并且交叉必须形成直角。允许这样绘图的图是RAC图。RAC图是一类超平面图，已经得到了广泛的研究。特别地，已知具有n个顶点的RAC图最多具有4 n- 10条边。我们引入了RAC图的一个超类，我们称之为arc-RAC图。一个图是arc-RAC，如果它允许一个图，其中边由圆弧表示，交叉形成直角。我们给出了一个Turán型结果，证明了n阶arc-RAC图最多有14 n- 12条边，并且存在n阶arc-RAC图有4. 5 n-o（n）条边.
2020-07-09 cs.CG
Unbent Collections of Orthogonal Drawings
Charles University（查理大学）；Università degli Studi di Perugia（佩鲁贾大学）；University of Warsaw（华沙大学）；Universität Passau（帕绍大学）；Czech Technical University in Prague（捷克理工大学）；Universität Würzburg（维尔茨堡大学）；Technische Universität München（慕尼黑工业大学）
本文研究了如何用无弯集合表示平面4图，证明了最小绘图数为3，并展示了最小总弯数的近似算法。
2025-07-01 cs.CG cs.DM cs.DS
Untangling planar graphs from a specified vertex position - Hard cases
给定一个平面图$G$，我们考虑$G$在平面中的绘图，其中边由直线段（可能相交）表示。这样的绘图通过将$G$的顶点集的$π$内射嵌入到平面中来指定。我们证明了一个轮图$W_n$承认一个绘图$π$，这样，如果一个人想消除边缘交叉移动顶点到新的位置在平面上，然后在最多$(2+o(1))\sqrt n$的所有$n$顶点可以保持固定。此外，即使假定顶点占据平面中任何指定的点集，这样的绘图$π$也存在。类似的问题进行了讨论，其他家庭的平面图。
2010-11-23 cs.CG cs.DM
Improved Bounds for Drawing Trees on Fixed Points with L-shaped Edges
令$T$是最大度为4的$n$ -节点树，并且令$P$是平面中没有两个点在同一水平线或垂直线上的$n$点的集合。$T$是否总是在$P$上有一个平面图，以便将每条边绘制为带有一个折弯的正交路径（“L形”边），这是一个悬而未决的问题。通过给出绘制树的新方法，我们改进了点集$P$的大小的界限，这样的绘图是可能的：$O(n^{1.55})$为最大程度4树; $O(n^{1.22})$为最大程度3（二进制）树;和$O(n^{1.142})$为完美的二进制树。绘制有序树的L形边缘是困难的-我们给出了一个例子，不能做的和一个约束的$O(n \log n)$点的L形图纸有序毛毛虫，这与已知的线性约束无序毛毛虫。
2017-09-05 cs.CG
Extending Nearly Complete 1-Planar Drawings in Polynomial Time
扩展部分几何图表示（如平面图）的问题近年来受到了相当大的关注。具体地，给定图$G$、$G$的连通子图$H$和$H$的绘图$\mathcal{H}$，扩展问题询问是否可以将$\mathcal{H}$扩展成$G$的绘图，同时保持绘图的某些期望属性（例如，平面性）。在他们的突破性结果中，Angelini等人[ACM TALG 2015]表明，当目标是保持平面性时，扩展问题是多项式时间可解的。最近，我们考虑了部分1-平面绘图[ICALP 2020]的这个问题，这是平面中的绘图，允许每条边最多有一个交叉。最重要的问题，确定和左开放的工作是，当$H$可以从$G$通过删除有限数量的顶点和边得到的问题是否可以在多项式时间内解决。在这项工作中，我们通过提供一个建设性的多项式时间决策算法来积极回答这个问题。
2020-07-08 cs.CC cs.CG
Algorithms and Bounds for Drawing Non-planar Graphs with Crossing-free Subgraphs
我们首先研究了如下问题：给定一个非平面图G和G的一个平面子图S，是否存在G在平面上的一个直线图Γ，使得G的任何边都不与S的边相交？对G的不同类型的连通生成子图S给出了肯定和否定的结果。此外，为了扩大的子集的情况下，承认一个解决方案，我们考虑的可能性弯曲的边缘G不在S中，在这种情况下，我们讨论不同的权衡弯曲的数量和所需的绘图面积。
2014-08-07 cs.CG
Disjoint Compatibility via Graph Classes
本文研究以平面完美匹配为顶点、以互不相交H-兼容性为连边条件的图，证明当H为平面生成树或毛毛虫树时该图分别具有常数和线性直径且连通，而当H为路径族时不连通。
2024-09-05 cs.CG
Planar L-Drawings of Bimodal Graphs
在有向图（有向图）的平面L-图中，每条边e被表示为一个由开始于e的尾部的垂直段和结束于e的头部的水平段组成的线段。不同的边可以重叠，但不能交叉。我们主要关注的是双峰图，即，允许平面嵌入的有向图，其中每个顶点周围的输入边和输出边是连续的。我们证明了每个不含2-圈的平面双峰图都有一个平面L-图。这包括向上平面图类。最后，外平面有向图允许平面L-绘图-尽管它们不总是具有双峰嵌入-但不一定具有外平面嵌入。
2020-08-18 cs.CG cs.DM cs.DS
Drawing Planar Graphs with a Prescribed Inner Face
给定平面图$G$（即，具有固定平面嵌入的平面图）和$G$中顶点映射为凸多边形的简单圈$C$，我们考虑这种图是否可以推广为$G$的平面直线图的问题.当这是可能的简单的必要条件，我们证明是足够的，我们的特点。这也导致了线性时间测试算法。如果存在图形扩展，则可以在同一运行时间内计算该扩展。
2013-08-15 cs.CG cs.DS
Extending Orthogonal Planar Graph Drawings is Fixed-Parameter Tractable
在文献中已经广泛研究了在坚持对表示的约束的同时找到对给定的图的部分绘图的扩展的任务，其中众所周知的结果为基本表示（例如平面和超平面拓扑绘图）提供了有效的算法。本文研究了平面连通图的弯曲最小正交图的扩张问题，这是最基本的几何图形表示之一。虽然已知该问题是\NP -难的，但考虑仅需绘制图的一小部分的情况是很自然的。在这里，我们建立了固定参数的问题时，参数化的缺失子图的大小的易处理性。我们的算法是基于多个新的成分internalized几何和组合参数。这些措施包括识别一个新的图形表示的弯曲等效区域的顶点放置在平面上，建立一个绑定的树宽度的这个辅助图，和一个全球点网格，使我们能够离散的可能放置的弯曲和顶点到本地有界的子网格为上述每个区域。
2023-02-20 cs.CG
$β$-Stars or On Extending a Drawing of a Connected Subgraph
本文考虑了将给定平面图的一个子图的画推广到用直线和直边画整个图的问题。我们定义了多边形的星复杂度的概念，并证明了导出连通子图$H$的绘图$Γ_H$可以扩展为每条边最多有$\min\{ h/2, β+ \log_2(h) + 1\}$弯曲，其中$β$是$Γ_H$的最大星复杂度，$h$是$H$的最大面的大小.对于$H$连接的情况，该结果显著改进了先前已知的$72|V(H)|$ [5]的上限。我们还表明，我们的界是最坏的情况下最优的一个小的附加常数。此外，我们提供了一个指示的复杂性的问题，测试是否星形的内面可以扩展到一个直线的图形绘制;这是相反的事实，同样的问题是可解决的线性时间的情况下，星形的外面[9]和凸的内面[13]。
2018-08-30 cs.CG
Simultaneous straight-line drawing of a planar graph and its rectangular dual
在平面上表示平面图及其对偶的一种自然方法是遵循对偶的定义，因此，将顶点放置在其对应的原始面内，并绘制对偶边，使它们仅与其对应的原始边相交。当原始图和对偶图都要求是直线时，构造这种图的问题有着悠久的传统。我们考虑同样的问题，平面图和它的矩形对偶。我们表明，矩形对偶可以调整大小，主机的平面直线绘制其原始。
2015-05-11 cs.CG cs.DS
On RAC Drawings of Graphs with Two Bends per Edge
该研究改进了每条边含两个弯折的RAC图的边数上界，从原有的74.2n降至20n-24（n≥3），是该领域12年多来的首次突破，核心证明基于一类首尾边段平行或正交的平面多重图的规模上界。
2024-05-08 cs.CG cs.DM
Snapping Graph Drawings to the Grid Optimally
在地理信息系统中以及在为具有有限计算资源的小型设备生成数字地图时，人们常常想要将坐标舍入为更粗糙的网格。这将删除不必要的细节，并减少空间消耗以及计算时间。这个过程被称为捕捉到网格，并已从计算几何的角度进行了彻底的研究。本文在平面图的组合嵌入必须保持和边画成直线的限制下，对给定的平面图的图，研究了同样的问题。我们表明，这个问题是NP-难的几个目标，并提供了一个整数线性规划制定。给定一个平面图G和一个正整数w，如果可能的话，我们的ILP也可以用来在宽度为w且高度最小的网格上画G的直线。
2016-08-31 cs.CG
Drawing Planar Graphs with Few Geometric Primitives
我们定义平面图形绘制的\emph{visual complexity}为表示其所有边所需的基本几何对象的数量。具体地，一个对象可以表示多个边缘（例如，只需要一个线段来绘制具有任意数量的边的路径）。设$n$表示图的顶点数。我们表明，树可以画$3n/4$直线段上的多项式网格，并与$n/2$直线段上的准多项式网格。此外，我们提出了一个算法绘制平面3-树与$(8n-17)/3$段上的$O(n)\times O(n^2)$网格。该算法稍加修改也可用于在$O(n)\times O(n^2)$网格上绘制具有$3n/2$边的最大外平面图。我们还研究了用圆弧绘制极大平面图的问题，并给出了一个只用$(5n - 11)/3$圆弧绘制极大平面图的算法。这是显着小于$2n$的下限为线段的非平凡的图形类。
2018-09-06 cs.CG
Edge-Minimum Saturated k-Planar Drawings
对于平面中无环（多）图的绘图类$\mathcal{D}$，当向$D$添加任何边导致$D' \notin \mathcal{D}$时，绘图$D \in \mathcal{D}$是\emph{saturated}-这类似于Turán（1941）和Erdés，Hajnal和Moon（1964）引入的图类中的饱和图。我们专注于$k$ -平面图，即，在平面中绘制的图形，其中每个边在最多的$k$时间交叉，以及所有$k$ -平面图的类$\mathcal{D}$，服从一些限制，如没有交叉的入射边，没有一对边交叉超过一次，或没有边交叉本身。虽然饱和的$k$ -平面图纸是几个以前的作品的重点，如何稀疏这些可以是不好理解的紧边界。我们建立了一个通用的框架，以确定所有的$n$ -顶点饱和$k$ -在许多自然类的平面图纸之间的最小数量的边缘。例如，当事件交叉、多交叉和自交叉都被允许时，稀疏$n$ -顶点饱和$k$ -平面绘图对于任何$k \geq 4$都具有$\frac{2}{k - (k \bmod 2)} (n-1)$边，而如果所有这些都被禁止，稀疏的这样的绘图对于任何$k \geq 6$都具有$\frac{2(k+1)}{k(k-1)}(n-1)$边。
2021-08-26 cs.CG cs.DM math.CO
Drawing the Horton Set in an Integer Grid of Minimum Size
在1978年Erd \H OS问，如果每一个足够大的一组点在一般位置在平面上包含顶点的凸$k$ -gon，与额外的财产，没有其他点的一套在于其内部。不久之后，Horton提供了一个构造--现在被称为Horton集--没有这样的$7$ -gon。本文证明了$n$点的Horton集可以用绝对值至多为$\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} \log (n/2)}$的整数坐标来实现。我们还表明，任何一组点的整数坐标组合等价（具有相同的顺序类型）的霍顿集，包含一个点的坐标的绝对值至少为$c \cdot n^{\frac{1}{24}\log (n/2)}$，其中$c$是一个积极的常数。
2015-06-17 cs.CG
Dynamic Euclidean Bottleneck Matching
计算几何中的一个基本问题是对于欧几里德空间中的一组输入点，其受到离散变化（在每个时间步插入/删除点），是否可能在次线性更新时间中保持近似瓶颈匹配。在这项工作中，我们肯定地回答这个问题的点在一条真正的线和点在平面上有界几何传播。对于一组$P$上的$n$点的线，我们表明，存在一个动态的算法，保持一个瓶颈匹配的$P$，并支持插入和删除在$O(\log n)$时间。此外，我们表明，该算法的修改版本保持了最小权重匹配与$O(\log n)$更新（插入和删除）时间。接下来，对于一组$P$的$n$点在平面上，我们表明，（$6\sqrt{2}$）因子近似的瓶颈匹配的$P_k$，在每个时间步长$k$，可以保持在$O(\logΔ)$摊销时间每次插入和$O(\logΔ + |P_k|)$摊销时间每次删除，其中$Δ$是几何扩散的$P$。
2023-02-21 cs.CG cs.DS
Empty triangles in good drawings of the complete graph
一个好的简单图是在球面上的图，或者等价地，在平面上的图，其中顶点被画成不同的点，边被画成连接它们的端点的乔丹弧，并且任何一对边最多相交一次。在任何一幅好的图中，三个两两相连的顶点的边构成一条约当曲线，我们称之为三角形。我们说一个三角形是空的，如果它诱导的两个连通分支之一不包含图的任何其余顶点。我们证明了具有$n$顶点的完全图$K_n$的任意好图中空三角形的个数至少为$n$。
2013-06-21 cs.CG cs.DM math.CO
