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关于带标号二部图的数量

On The Number Of Labeled Bipartite Graphs

Abdullah Atmaca, A. Yavuz Oruc

备注：
18 pages, 6 figures
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AI总结：

本文将无标号二部图数量的双边不等式与精确公式结果推广到多种带标号二部图族，扩展了已有计数结论。

摘要：

设 $I$ 和 $O$ 表示两个顶点集，其中 $I\cap O =\emptyset$，$|I| = n$，$|O| = r$，并设 $B_u(n,r)$ 表示边连接 $I$ 与 $O$ 中顶点的无标号图集合。最近，文献\cite{atmacaoruc2018} 建立了如下双边不等式，\begin{equation} \label{mainResult} \displaystyle \frac{\binom{r+2^{n}-1}{r}}{n!}\\, \le\\, |B_u(n,r)|\\, \le\\, 2\frac{\binom{r+2^{n}-1}{r}}{n!},\\, n < r.\nonumber \end{equation} 并且文献~\cite{atmaca2017size} 给出了 $|B_u(2,r)|$ 和 $|B_u(3,r)|$ 的精确公式。本文将上述结果推广到各类带标号二部图族。

英文摘要：

Let $I$ and $O$ denote two sets of vertices, where $I\cap O =\emptyset$, $|I| = n$, $|O| = r$, and $B_u(n,r)$ denote the set of unlabeled graphs whose edges connect vertices in $I$ and $O$. Recently, it was established in\cite{atmacaoruc2018} that the following two-sided equality holds, \begin{equation} \label{mainResult} \displaystyle \frac{\binom{r+2^{n}-1}{r}}{n!}\, \le\, |B_u(n,r)|\, \le\, 2\frac{\binom{r+2^{n}-1}{r}}{n!},\, n < r.\nonumber \end{equation} and exact formulas were provided in~\cite{atmaca2017size} for $|B_u(2,r)|$ and $|B_u(3,r)|.$ In this paper, these results are extended to various families of labeled bipartite graphs.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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