Graphs whose Kronecker covers are bipartite Kneser graphs
Takahiro Matsushita
证明了存在$k$单图，其Kronecker覆盖同构于二分Kneser图$H(n,k)$，并且其色数与$χ(K(n,k)) = n - 2k + 2$一致.我们还确定了这些图的自同构群。
We show that there are $k$ simple graphs whose Kronecker covers are isomorphic to the bipartite Kneser graph $H(n,k)$, and that their chromatic numbers coincide with $χ(K(n,k)) = n - 2k + 2$. We also determine the automorphism groups of these graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Bipartite Kneser graphs are Hamiltonian
对于整数$k\geq 1$和$n\geq 2k+1$，Kneser图$K(n,k)$具有$[n]:=\{1,2,\ldots,n\}$的所有$k$ -元素子集作为顶点，以及不相交的任何两个顶点（=集合）之间的边。二分Kneser图$H(n,k)$的顶点是$[n]$的所有$k$ -元素子集和$(n-k)$ -元素子集，以及任意两个顶点之间的边，其中一个顶点是另一个顶点的子集。除Petersen图$K(5,2)$外，所有Kneser图和二部Kneser图都有Hamilton圈。本文的主要贡献是对二部Kneser图$H(n,k)$证明了这个猜想。我们还建立了当$n=2k+o(k)$时，Kneser图$K(n,k)$中几乎所有顶点都访问的圈的存在性，推广和改进了以前关于这个问题的结果。
The Genus of Bipartite Kneser Graphs
本文确定了二分Kneser图$H(h,2)$在特定素数条件下的可定向亏格，并通过构造顶点传递的四边形剖分，验证了Pisanski猜想的一个无限族。
Certain Homological Invariants of Bipartite Kneser Graphs
本文给出了计算二部Kneser图的边理想的线性串中的贝蒂数的一个组合公式。我们推导了这些图的边理想的幂的正则性的上下界上界，并证明了在某些情况下可以达到下界。利用组合数据，得到了这类图的边理想的投射维数的界。
Colorful hypergraphs in Kneser hypergraphs
利用Ky Fan的一个定理的$Z_q$ -推广，我们将Simonyi和Tardos的一个定理推广到Kneser超图，该定理保证了Kneser图的任意真染色中存在多色完全二部图.它允许导出一个下界的局部色数的Kneser超图（使用一个自然的定义，什么可以是一个超图的局部色数）。
Mutual-visibility problems in Kneser and Johnson graphs
本文研究连通图中的互见性问题，确定了Kneser图、二部Kneser图和Johnson图的全互见数，并将其与横切临界均匀超图规模及超图Turán数建立联系，同时给出了这些图类互见数的精确值或估计。
Treewidth of generalized Hamming graph, bipartite Kneser graph and generalized Petersen graph
本文研究广义Hamming图、二分Kneser图和广义Petersen图的树宽，给出广义Hamming图精确路径宽及渐近树宽，并据此确定二分Kneser图在充分大参数下的树宽及广义Petersen图的树宽界。
A note on vertex Turán problems in the Kneser cube
本文研究 Kneser 立方体中生成无固定图 G 子图的最大顶点数，证明了其二部图与非二部图情况下的渐近值，并探讨了误差阶及与禁止子偏序集问题的联系。
Neighborhood complexes and Kronecker double coverings
邻域复形$N(G)$是一个赋给图$G$的单纯复形，它的连通性给出了图$G$的色数的下界.证明了如果图的Kronecker双覆盖同构，则它们的邻域复形同构。作为应用，对于大于2的整数$m$和$n$，我们构造连通图$G$和$H$，使得$N(G) \cong N(H)$但$χ(G) = m$和$χ(H) = n$。我们还构造了一个图$KG_{n,k}'$，使得$KG_{n,k}'$与Kneser图$KG_{n,k}$不同构，但它们的Kronecker双覆盖同构.
Colorful subgraphs in Kneser-like graphs
将Ky Fan定理与Greene和Matousek的思想相结合，我们证明了Dol'nikov定理的一个推广.利用Bacon和Tucker的Borsuk-Ulam定理的另一个变体，我们还证明了在t-着色t-色Kneser图和它们的几个相关图中存在所有可能的完全多色t-顶点完全二部图.特别地，这意味着G. Spencer和F. E.苏
Invariants of Bipartite Kneser B type-\MakeLowercase{k} graphs
本文定义二部 Kneser B 型-k 图 $H_B(n,k)$，并基于带符号有序正实数集合上的包含邻接关系，计算该图的多种不变量。
Connectivity of Kronecker products by K2
令$κ(G)$为$G$的连通性。图$G_1$和$G_2$的克罗内克积$G_1\times G_2$具有点集$V(G_1\times G_2)=V(G_1)\times V(G_2)$和边集$E(G_1\times G_2)=\{(u_1,v_1)(u_2,v_2):u_1u_2\in E(G_1),v_1v_2\in E(G_2)\}$。本文证明了$κ(G\times K_2)=\textup{min}\{2κ(G), \textup{min}\{|X|+2|Y|\}\}$，其中第二极小值取在所有不相交集$X,Y\subseteq V(G)$上，满足（1）$G-(X\cup Y)$有二分分支$C$，（2）对于每个$x\in X$，$G[V(C)\cup \{x\}]$也是二分的.
On the chromatic number of almost s-stable Kneser graphs
在2011年，Meunier证明了对于具有$ k\geq 2$，$r\geq 2$和$n\geq \max (\{r,s\})k$的正整数$n,k,r,s$，$s$ -稳定的$r$ -均匀Kneser超图的色数等于$\left\lceil \frac{n-\max (\{r,s\})(k-1)}{r-1}\right\rceil $。它是Ziegler（2002）和Alon，Drewnowski and Schluczak（2009）提出的猜想的加强版本。Meunier（2011）也引入了几乎$s$ -稳定的$r$ -一致Kneser超图的色数问题.对于Meunier猜想的$r=2$情形，Jonsson（2012）提供了一个纯粹的组合证明，以证实$s\geq 4$和$n$足够大的猜想，Chen（2015）甚至证明了$s$和任何$n$。$ s=3$的情况是完全开放的，即使是通常的几乎$s$ -稳定的Kneser图的色数.本文用不同的方法得到了几乎$s$ -稳定的$r$ -一致Kneser超图的色数的一个拓扑下界。对于$r=2$情形，我们得到几乎$s$ -稳定Kneser图的色数对所有的$s\geq 2$都等于$n-s(k-1)$.设置$t=n-s(k-1)$。证明了几乎$s$稳定Kneser图的任意真染色必含有完全多色完全二部子图$K_{\left\lceil \frac{t}{2}…
Kneser ranks of random graphs and minimum difference representations
每个图$G=(V,E)$是秩为$k$的某个Kneser图的导出子图，即，存在对顶点$v\in V$的（不同的）$k$ -集合$v \mapsto A_v$的分配，使得当且仅当$uv\in E$时$A_u$和$A_v$不相交。最小的这样的$k$被称为$G$的Kneser秩，并且由$f_{\rm Kneser}(G)$表示。作为Frieze和Reed关于随机图的团覆盖数的结果的应用，我们证明了对于常数$0< p< 1$，存在常数$c_i=c_i(p)>0$，$i=1,2$，使得具有高概率\[ c_1 n/(\log n)< f_{\rm Kneser}(G) < c_2 n/(\log n). \]我们将其应用于Boros，Gurvich和Meshulam定义的其他图形表示。图$G$的{ \em $k$ -min-difference representation}是集合$A_i$到每个顶点$i\in V(G)$的分配，使得\[ ij\in E(G) \,\, \Leftrightarrow \, \, \min \{|A_i\setminus A_j|,|A_j\setminus A_i| \}\geq k. \]最小的$k$使得存在$G$的$k$ -min-difference representation由$f_{\min}(G)$表示。Balogh和Prince在2009年证明…
Bipartite $q$-Kneser graphs and two-generated irreducible linear groups
本文将二部 $q$-Kneser 图中闭 $3$-弧比例与线性群中生成不可约子群的元素对比例联系起来，给出精确公式及紧界，用于典型群识别算法的复杂度分析。
Characterization of generalized Petersen graphs that are Kronecker covers
广义Petersen图族$G(n, k)$是由Coxeter等人[4]提出并由Mark Watkins（1969）命名的一类三次图，它是由一个正多边形的顶点连接到一个星形多边形的相应顶点而形成的。简单无向图$G$的Kronecker覆盖$\mathrm{KC}(G)$是$G$的一种特殊的二部覆盖图，同构于$G$与$K_2$的直积（张量积）.我们刻画了广义Petersen图的所有Kronecker覆盖成员，并描述了它们各自的子图的结构。我们观察到，一些这样的替代品再次广义彼得森图，并描述所有这样的对。
Secure Frameproof Code Through Biclique Cover
对于长度为$v$的二进制码$Γ$，如果对于所有$i=1,...,v$，我们有$w_i\in \{w_i^1, ..., w_i^r\}$，则$v$字$w$由码字$\{w^1,...,w^r\} \subseteq Γ$的集合产生。如果$|Γ|=t$和对于任何$v$-由大小至多为$r$的两个集合$C_1$和$C_2$产生的字，则这些集合的交集非空，则我们将代码称为$r$-大小为$t$的安全防帧。一个图$G$的$d$ -biclique cover（英语：$d$ -biclique cover）是$G$的$v$ -完全二部子图的集合，使得$G$的每条边至少属于这些完全二部子图中的$d$。本文证明了对于$t\geq 2r$，存在大小为$t$，长度为$v$的$r$ -安全防帧码当且仅当Kneser图${\rm KG}(t,r)$存在大小为$v$的1-biclique覆盖，该图的顶点都是$t$ -元集的$r$ -子集，且两个$r$ -子集相邻且它们的交集为空.然后我们研究了Kneser图的$d$ -biclique覆盖的最小尺寸与无覆盖族之间的关系，其中$(r,w; d)$无覆盖族是有限集的子集族，使得该族的任何$r$成员的交集至少包含不属于任何其他$w$成员的并集的$d$元素.同时，我们给出了Kneser图的1-偶团覆盖数的一个上界。
Quantum mechanics of bipartite ribbon graphs: Integrality, Lattices and Kronecker coefficients
本文在固定边数二部带状图张成的代数 Hilbert 空间上构造可解量子系统，以对称群特征标和 Kronecker 系数刻画谱与简并，并给出 Kronecker 系数的组合格维数解释。
Recursive Relationships in the Classes of Odd Graphs and Middle Levels Graphs
奇图类$O_n$和中间水平图类$B_n$分别构成Kneser图和二部Kneser图的一个参数子类。特别是这两个类都是顶点传递的，同时拒绝关于它们的哈密顿性的确定性结论，因此受到关于Lovász猜想的审查。在本文中，我们将建立中间层图总是可以嵌入到奇数图和更高度数的中间层图中，此外，这种嵌入允许我们在两个类中定义一个递归关系，该关系可用于将$O_{n-1}$（分别为$B_{n-1}$）中的路径提升到$O_n$（分别为$B_n$）中的路径。这种嵌入也引起了一类双正则图的自然形成，这些双正则图给出了奇图、中间水平图和Catalan数之间的联系。
The spectral excess theorem for distance-regular graphs having distance-$d$ graph with fewer distinct eigenvalues
设$Γ$是一个距离正则图，其直径为$d$，Kneser图$K=Γ_d$是$Γ$的距离- $d$图.当$K$的不同特征值比$Γ$少时，我们说$Γ$是部分对映的。特别是，这是对映距离正则图（$K$只有两个不同的特征值）和所谓的半对映距离正则图（$K$只有一个负特征值）的情况。我们给出了部分对映距离正则图（在具有$d$不同特征值的正则图中）的谱和距离每个顶点最大距离$d$处的平均顶点数的一个刻画.这可以看作是所谓谱过剩定理的一般形式，它允许我们刻画那些半对映、对映、二部或Kneser图是强正则的距离正则图。
Hamiltonicity of regular sublinear expanders
本文证明了满足特定条件的正则子线性扩张图具有哈密尔顿性，同时展示了其在Cayley图和Kneser图中的应用。
Graph Homomorphisms via Vector Colorings
本文利用半定规划研究了同态$G\to H$的存在性。具体地说，我们使用的向量色数的图，定义为最小的实数$t \ge 2$，存在的单位向量$i\mapsto p_i$分配到它的顶点，使$\langle p_i, p_j\rangle\le -1/(t-1),$时，$i\sim j$。我们的方法允许在不使用Erdens-Ko-Rado定理的情况下重新证明，对于$n>2r$，Kneser图$K_{n:r}$和$q$-Kneser图$qK_{n:r}$是核，并且对于$n/r = n'/r'$，存在同态$K_{n:r}\to K_{n':r'}$当且仅当$n$整除$n'$。在新的应用方面，我们证明了$n$ -立方体$H_{n,k}$的距离$k$ -图的偶权分量是核，并且非二部泰勒图是核。此外，我们给出了当$n/k = n'/k'$时，同态$H_{n,k}\to H_{n',k'}$存在的一个充分必要条件。最后，我们证明了如果一个2-行走正则图（非二部且不完全多部）有唯一的最优向量染色，则它是一个核。基于这个充分条件，我们对Ted Spence的强正则图列表进行了计算研究，发现至少84%是核。
Mirror bipartite graphs
直观地说，一个二部图是镜像的，如果它可以在笛卡尔平面上以这样的方式绘制，即一个稳定集的顶点是x=0中的点，另一个稳定集的顶点是x=1中的点，边是连接邻顶点的直线段，并且所得到的配置关于线x=1/2对称。镜像二部图的概念在研究某些类型的图的乘积时自然出现，例如Kronecker乘积。基于这一事实，我们从镜像二部图的度序列和度集的角度研究了镜像二部图。刻画了镜像二部图的度序列。我们还证明了从一个给定的正整数集合P，我们可以构造一个阶为2 max P的二部图，它是镜像的.此外，很少知道的度序列的图与回路连接，当连接的回路的数量是有限的。本文证明了镜像二部图是研究这类图的度序列的一个有力工具，当图的每个顶点所连接的圈数至多为$1$时，镜像二部图是研究这类图的度序列的一个有力工具.
Chromatic number, Clique number, and Lovász's bound: In a comparison
在证明Kneser猜想的过程中，László Lovász给出了色数的一个新下界。他表明，如果邻域复杂$\mathcal{N}(G)$的一个图$G$是拓扑$k$连接，那么它的色数至少是$k+3$。然后，他完成了他的证明表明，这一界是紧的Kneser图。然而，有一些图，这个界限是没有用的，甚至比较明显的界限;团数。例如，如果一个图不包含完全二部图$\mathcal{K}_{l, m}$，那么它的Lovász界至多是$l+m-1$。但是，它可以有任意大的色数。在本文中，我们提出了新的图，表明色数，团数和Lovász界之间的差距可以是任意大的。更精确地说，对于给定的正整数$l, m$和$2\leq p\leq q$，我们构造了一个包含$\mathcal{K}_{l,m}$的副本的连通图，其色数、团数和Lovász界分别为$q$、$p$和$3$。
Classification and Construction of Planar, 3-Connected Kronecker Products
该研究完成了平面3-连通Kronecker积图的完整分类，证明其均为$H\wedge K_2$形式，给出构造性证明与平面图$H$的精细刻画，并补充了相关积图的3-多面体性讨论。
Matrices and $α$-Stable Bipartite Graphs
一个n > 0阶的（0，1）-方阵X称为完全不可分解的，如果不存在整数k且0 < k < n，使得X有一个k × n-k零子阵。图G的一个独立集是两两不相邻顶点的子集。G的稳定数记为$α(G)$，是G中最大独立集的基数.一个图称为$α$ -稳定的，如果它的稳定数在删除和添加任何边时保持相同。我们证明了一个连通二部图恰好有两个划分其顶点集的最大稳定集当且仅当它的约简邻接矩阵是完全不可分解的。我们还描述了一个分解结构的$α$ -稳定的二部图在其减少邻接矩阵。在这些发现的基础上，我们得到了Brualdi，Marcus和Minc，Dulmage和Mendelsohn关于矩阵结构的一些著名定理的新证明，以及这些陈述的一些推广。给出了关于$α$ -稳定二部图及其约简邻接矩阵的一些新结果。本文还讨论了两种矩阵积（即布尔积和克罗内克积）及其相应的图运算。作为结果，我们得到一个加强的Lewin定理声称的产品是两个完全不可分解的矩阵是一个完全不可分解的矩阵。
Kronecker Products, Polarity Quotients and Large Graph Constructions
本文建立带极性二部图克罗内克积与极性商的结构兼容性，应用该理论以广义多边形为因子构造出三类大图，其中直径3的低度数图大小超现有同类图。
Local chromatic number, Ky Fan's theorem, and circular colorings
图的局部色数是由Erdos等人在1986年提出的。它介于色数和分数色数之间。这激发了对这些量相距甚远的图的局部色数的研究。这些图包括Kneser图，它们的顶点色临界子图，Schrijver（或稳定Kneser）图; Mycielski图及其推广;和Borsuk图。我们给出了这些图的局部色数或多或少的紧界。我们使用一个旧的拓扑结果的Ky范推广Borsuk-Ulam定理。它暗示了在许多图的每一个真染色中，存在t点上的平衡完全二部图的多色副本，这些图的色数t由拓扑变元确定。(This特别是Ky Fan的Kneser图。这就得到了这些图的局部色数的一个下界t/2+1。我们证明了在许多情况下这必然是紧的或几乎紧的。作为上面的另一个结果，我们证明了这里考虑的图有相等的循环和普通的色数，如果后者是偶数。这部分地证明了Johnson，Holroyd和Stahl的一个猜想，并且F. Meunier.我们还证明了奇色Schrijver图的行为是不同的，它们的圆色数可以任意接近另一个极端。
On graphs isomorphic with their conduction graph
本文定义传导图以研究分子图的弹道传导行为，证明传导同构图为 ipso 全绝缘体，给出构造、奇阶例子、不存在 3-正则图及小阶普查，并刻画零度为一时的连通性。
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