New results on the degree/diameter problem of mixed Abelian Cayley graphs
混合图可以被看作是既有弧又有边的有向图（或者说是对角图，即两条相反的弧）。在本文中，我们考虑的情况下，这类图是阿贝尔群的凯莱图。这些群可以通过将$\mathbb{Z}$中的同余概念推广到$\mathbb{Z}^n$来构造。在这里，我们使用这种方法来提出一些家庭的混合图，其中，对于每一个固定值的程度，有一个渐进的大量的顶点的直径增加。在某些情况下，所获得的结果被证明是最佳的。
2020-05-19 math.CO
The Diameters of Network-flow Polytopes satisfy the Hirsch Conjecture
本文用网络单纯形法解决了多面体组合学中的一个问题。我们证明了Hirsch猜想对所有网络流多面体的图的直径成立，特别是对具有$n$节点和$m$弧的网络，网络流多面体的直径永远不超过$m+n-1$ .证明这一点的一个关键步骤是证明经典运输多面体的相同结果。
2016-09-21 math.CO
Generating the symmetric group by three prefix reversals
Indiana University（印第安纳大学）；Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics（克拉索夫斯基数学与力学研究所）；Ural Mathematical Center（乌拉尔数学中心）；Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）；Novosibirsk State University（新西伯利亚国立大学）；Three Gorges Mathematical Research Center, China Three Gorges University（三峡大学三峡数学研究中心）
本文研究了通过三个前缀翻转生成对称群的问题，确定了部分生成集并探讨了立方煎饼图的直径和圈长。
2026-09-23 math.CO math.GR
Some relations on prefix reversal generators of the symmetric and hyperoctahedral group
煎饼问题涉及仅使用前缀反转（抹刀翻转）对排列（一堆不同直径的煎饼）进行排序。虽然问题描述掩盖了简单性，但对$n$煎饼进行排序所需的最大翻转次数的精确公式一直难以捉摸。本文将饼形问题作为对称群和超八面体群上的一个字问题，给出了一种不同的处理方法。煎饼翻转被认为是生成元，我们研究了它们所满足的关系。我们完整地描述了任意两个生成元乘积的阶，并给出了任意三个生成元乘积的阶的部分结果。超八面体群的饼图的连接也被绘制。
2018-06-07 cs.DM math.CO
On bipartite mixed graphs
混合图可以被看作是既有弧又有边的有向图（或者说是对角图，即两条相反的弧）。在本文中，我们考虑的情况下，这样的图是二部的。作为主要结果，我们表明，在这种情况下，摩尔样界的情况下，直径$k=3$，和二部混合图的直径$k\ge 4$不存在。
2016-11-05 math.CO
Complexity of (arc)-connectivity problems involving arc-reversals or deorientations
根据Robbins定理，图$G$具有强连通定向当且仅当$G$是2-边连通的，并且在线性时间内很容易找到$G$的割边或$G$的强定向. Durand de Gevigny的一个结果表明，对于每个$k\geq 3$，判定给定图$G$是否具有$k$ -强定向是NP-困难的. Rumassen表明，可以在多项式时间内检查给定的图是否具有2-强方向。这意味着对于给定的有向图$D$，我们可以在多项式时间内确定我们是否可以重定向（=反转）$D=(V,A)$的一些弧以获得2-强有向图$D'=(V,A')$。这自然会导致这样一个问题：在生成的图是2-强图之前，确定要反转的最小弧数。在本文中，我们证明了找到这个数是NP-困难的。如果一个2-连通图$G$没有2-强定向，我们可以问我们可以定向它的多少条边，使得得到的混合图仍然是2-强的。类似地，我们可以询问2-边连通图$G$我们可以定向它的多少条边，使得所得混合图保持2-弧强。我们证明了当图满足适当的连通性条件时，这两个问题都等价于求出一个2-边连通图为了得到一个4-边连通图而必须加倍的最小边数.利用这一点，我们证明了这三个问题都是NP困难的。最后，我们考虑了有向图$D$的弧$uv$的去定向操作，即用相同顶点之间的无向边替换它。就连通性属性而言，这相当于将相反的弧$vu$添加到$D$。证明了对每一个$\ell\geq 3$，为得到$\ell$ -强有向图…
2023-03-06 math.CO
On mixed radial Moore graphs of diameter 3
径向Moore图和径向有向图是一类与Moore图相关的极图，其中某些顶点的保距离生成树是保持的。这导致根据它们与摩尔图或有向图的接近程度对它们进行分类。在本文中，我们处理混合径向摩尔图，混合设置允许边和弧作为不同的元素。详尽的计算机搜索显示了一组特定参数的最高排名图。此外，我们研究的问题，他们的存在性，通过提供两个无限的家庭的程度和直径不同的值$3$。其中一个家庭被证明是最佳的。
2023-02-16 math.CO
Unitary graphs
酉图是弧传递图，其顶点是厄米酉的标志，其边由基础有限域的某些元素定义。他们在最近的一类弧传递图的分类中发挥了重要作用，这些图允许自同构群在顶点上直接起作用。本文证明了所有酉图都是直径为2围长为3的连通图。在此基础上，对任意素数幂$q > 2$，得到了度为$Δ= q(q^2-1)$，直径为2的弧传递图的最大顶点数的阶$O(Δ^{5/3})$的下界.
2015-03-24 math.CO
Inapproximability of Diameter in super-linear time: Beyond the 5/3 ratio
我们表明，假设强指数时间假设，对于每一个$\varepsilon > 0$，近似有向直径的$m$弧图内的比率$7/4 - \varepsilon$需要$m^{4/3 - o(1)}$时间。我们的构造使用非负边权重，但甚至适用于稀疏有向图，即，其中顶点数$n$和弧数$m$满足$m = n \log^{O(1)} n$。这是有条件地排除直径的近线性时间$5/3$近似的第一个结果。
2021-02-08 cs.CC cs.DS math.CO
Flip Graphs
翻转图是组合对象上的图，其中相邻关系反映了底层对象的局部变化。在这篇论文中，我们引入了Yoke图，这是一个翻转图族，它推广了以前研究过的关于有色无三角形三角剖分、弧置换和几何毛虫的翻转图族。我们的主要结果是任意Yoke图的直径的计算和这一族图的自同构群的充分表征。我们还证明了Yoke图是$\tilde{C}_m$型仿射外尔群的Schreier图。我们采取的方法在计算的直径是不同的，用于彩色三角形的自由三角剖分和弧排列。我们表明，用于弧置换图的方法不延伸到轭图。我们证明的核心在于将直径评估转化为偏心问题的想法。自同构群的刻画是上述三类特殊的Yoke图族的一个新结果。
2020-12-16 math.CO
Counting the minimum number of arcs in an oriented graph having weak diameter 2
本研究针对弱直径为2的n顶点有向图最小弧数f_2(n)的求解难题，通过关联绝对有向团证明其严格递增，改进了已知上界并猜想其为紧界，同时优化了有向消色数的相关界。
2024-03-07 cs.DM math.CO
Triangle-free projective-planar graphs with diameter two: domination and characterization
1975年，Plesník将所有无三角形的可平面图刻画为具有直径$2$。本文刻画了所有直径为$2$的无三角形的射影-可平面图，并讨论了它的一些应用。特别是，主要结果适用于计算类似的团数的图，即着色混合图，具有不同类型的弧和边。
2022-12-08 cs.DM math.CO
A Lower Bound for the Diameter of Cayley Graph of the Symmetric Group $S_n$ Generated by $(12), (12 \dots n), (1n \dots 2)$
本文研究了对称群$S_n$中元素$s(1n \dots 2)^{i}$分解复杂度的下界，并由此得出由生成元$(12)$、$(12 \dots n)$和$(1n \dots 2)$生成的Cayley图直径的下界为$n(n-1)/2$。
2026-06-04 math.CO math.GR
The competition numbers of Hamming graphs with diameter at most three
有向图D的竞争图是具有与D相同的顶点集且在x和y之间有一条边的图当且仅当D中存在顶点v使得（x，v）和（y，v）是D的弧。对任意图G，G加上足够多的孤立点是某个无圈有向图的竞争图。图G的竞争数k（G）定义为此类孤立点的最小数目。一般来说，图G的竞争数k（G）是很难计算的，它一直是竞争图研究中的重要问题之一。本文计算了直径不超过3的Hamming图的竞争数。
2010-11-11 math.CO
Affine primitive symmetric graphs of diameter two
设$n$是正整数，$q$是素数幂，$V$是$\mathbb{F}_q$上的维数为$n$的向量空间.令$G := V \rtimes G_0$，其中$G_0$是${\rm GL}(V)$的不可约子群，其通过关于在非零向量集合上是不传递的包含而极大。我们感兴趣的类的所有直径2图$Γ$，承认这样一个组$G$作为弧传递，顶点准本原子群的自同构。特别是，我们认为这些图的$G_0$是一个子群的${\rm ΓL}(n,q)$或${\rm ΓSp}(n,q)$，是最大的Aschbacher类$\mathcal{C}_i$之一，其中$i \in \{2,4,5,6,7,8\}$。我们能够确定由$G_0 \leq {\rm ΓL}(n,q)$和$i \in \{2,4,8\}$以及由$G_0 \leq {\rm ΓSp}(n,q)$和$i \in \{2,8\}$产生的所有图$Γ$。对于其余的类，我们给出了必要的条件，以$Γ$有直径2，并在一些特殊的子情况下，确定所有$G$对称直径2图。
2016-01-28 math.CO
An improved Moore bound for mixed graphs
混合图$G$可以包含（无向）边和弧（有向边）。本文给出了直径至少为3的混合图的最大顶点数的改进的Moore-like界。此外，给出了直径为3的所有最优$(1,1)$ -正则混合图的完全计数，从而证明了所提出的界一般不能被改进.
2018-04-25 math.CO
On Cyclic Kautz Digraphs
图论中的一个突出问题是寻找在直径、度和顶点数上有限制的极图或有向图。本文得到了一类新的具有最小直径的有向图，即给定顶点数和出度，不存在直径更小的有向图。这个新的图族被称为修改的循环有向图$MCK(d,\ell)$，它是从Kautz有向图$K(d,\ell)$导出的。在给定顶点数和出度的情况下，找到具有最小直径的非正则有向图并不常见。Kautz有向图$K(d,\ell)$是所有有向图中直径最小的顶点数和度。我们定义循环考茨有向图$CK(d,\ell)$，其顶点由长度为$\ell$的所有可能序列$a_1\ldots a_\ell$标记，使得每个字符$a_i$从包含$d+1$不同符号的字母表中选择，其中序列中的连续字符是不同的（如在考茨有向图中），并且现在还需要$a_1\neq a_\ell$。循环Kautz有向图$CK(d,\ell)$在顶点$a_1 a_2\ldots a_\ell$和$a_2 \ldots a_\ell a_{\ell+1}$之间具有弧，其中$a_1\neq a_\ell$和$a_2\neq a_{\ell+1}$。与Kautz有向图$K(d,\ell)$不同，$CK(d,\ell)$的顶点的任何标签可以循环移位以再次形成$CK(d,\ell)$的顶点的标签。我们给出了$CK(d,\ell)$的主要参数：顶点数、弧数和直径。此外，我们构造了修正的循环Kautz有向图…
2015-12-18 math.CO
Inversion Diameter of Planar Graphs
Tsinghua University（清华大学）；Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学）
该研究针对平面图，证明了其逆直径的严格上界，将一般平面图的逆直径上界从12优化至8，还给出了围长至少为4、5、6的平面图对应的更紧上界7、5、4。
2026-08-20 math.CO
Sequence mixed graphs
一个混合图可以看作是一种包含一些边（两个相对的弧）的有向图。本文引入了序列混合图的概念，它是序列图和迭代线图的推广。这些结构在构造稠密图或有向图的问题中被证明是有用的，这与度/直径问题有关。因此，我们的广义方法产生的图，也有良好的比阶/直径。此外，我们提出了一个一般的方法来获得一个序列混合有向图，通过确定某些迭代线有向图的顶点。在此基础上，给出了序列混合图与距离有关的参数（主要是直径和平均距离）的一些结果。
2016-10-11 math.CO
Quotient-complete arc-transitive latin square graphs from groups
我们考虑给定有限群$H$的Cayley表的拉丁方图$Γ= \rm{LSG}(H)$.我们刻画了所有对$(Γ,G)$，其中$G$是$H$的Cayley表的自同构子群，使得$G$对$Γ$弧传递，并且$Γ$的所有非平凡$G$ -正规商图是完备的.证明了$H$必是初等阿贝尔的，并确定了完全正规代数的个数$k$.这就产生了直径为2的弧传递图的新的无限族，它们具有$k = 1$或$k = 2$ .
2017-09-18 math.CO
The Maximum Degree-and-Diameter-Bounded Subgraph in the Mesh
在\cite{maxddbs}中，作为度-直径问题的推广，引入了在最大度$Δ$和直径$D$的约束下寻找给定无向主图的最大连通子图的问题.特别感兴趣的情况是，当主机图是一个常见的并行架构。在这里，我们讨论的情况下，主机图是一个$k$维网格。本文给出了任意维$k$中最大子图的阶的一般界，并对$k=3, Δ= 4$和$k=2, Δ= 3$的特殊情况给出了更清晰的下界的构造.
2012-03-19 cs.DM math.CO
Pebbling on Directed Graphs with Fixed Diameter
卵石是一种在图上玩的游戏。单个玩家被给予图和卵石的配置，并且可以通过从一个顶点移除2个卵石并将一个卵石放置在相邻顶点以最终使一个卵石到达预定顶点来进行卵石移动。卵石数量$π(G)$是卵石的最小数量，无论其确切配置如何，玩家都可以使用卵石移动使卵石到达任何预定的顶点。先前的工作已经将$π(G)$与$G$的直径相关联。Clarke、Hochberg和Hurlbert证明了$n$顶点上直径为2的每个连通无向图都有$π(G) = n$，除非它属于一个特殊的图族，由那些可以以特定方式构造的图组成;在这种情况下，$π(G) = n +1$。通过推广Chan和Godbole的一个结果，Postle证明了对于直径为$d$的图，$π(G) \le n 2^{\lceil \frac{d}{2} \rceil} (1+o_n(1))$ .在这篇文章中，我们继续这项研究有关卵石和直径的重点是有向图。这导致了一些令人惊讶的结果。首先，我们证明了在有向有向图$G$中（在这个意义上，如果$i \to j$，那么我们就不能有$j \to i$），如果$G$的直径为2，则确实是$π(G) = n$或$n + 1$，如果$π(G) = n+1$，则有向图具有非常特殊的结构。在直径为2的一般有向图的情况下（即，如果$i \to j$，我们可能有也可能没有弧$j \to i$），我们证明了$π(G)$可以和$\frac…
2018-09-07 math.CO
On the diameter of Engel graphs
本文研究有限群 Engel 有向图在强连通情形下的直径，并给出一个不依赖具体群的绝对上界。
2023-11-08 math.CO math.GR
Degenerate crossing number and signed reversal distance
本文研究了退化交叉数与非定向亏格的关系，证明了在特定嵌入方案中两者相等，并推翻了Mohar的更强猜想。
2025-12-09 cs.CG math.CO
Inversion diameter and 2-edge-colored homomorphisms
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（IRIF实验室）；Sorbonne Université（索邦大学）；LIP6（LIP6实验室）；Centre d’Analyse et de Mathématique Sociales（社会分析与数学中心）；EHESS（高等社会科学研究院）；LISN（LISN实验室）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；Univ Lyon（里昂大学）；UCBL（里昂第一大学）；INSA Lyon（里昂国立应用科学学院）；LIRIS（LIRIS实验室）；University of Warsaw（华沙大学）
研究了反向直径的上界，改进了循环色数的依赖关系，并解决了平面图和无三角形图的反向直径问题。
2026-02-27 cs.DM math.CO
A distributed prime sieving algorithm based on Scheduling by Multiple Edge Reversal
本文提出了一种新的分布式方法，用于生成给定整数区间内的所有素数。从埃拉托色尼（Eratosthenes）阐述了第一个素筛（2000多年前），到当前一代的并行计算机（可以达到更大的区间范围或在更短的时间内获得以前的结果），素数生成仍然代表着一个有吸引力的研究领域，并在密码学中发挥着核心作用。基于\emph{wheel sieve}和SMER（\emph{Scheduling by Multiple Edge Reversal}）多重图动力学，提出了一个全分布式的寻找区间$[2\ldots, n]$中所有素数的算法。给定一个任意拓扑的多重图$\mathcal{M}$，它有$N$节点，一个SMER驱动的系统由$\mathcal{M}$的任意两个节点之间的有向边（弧）的数目和$\mathcal{M}$中所有“弧反转”的全局周期长度定义。新的素数生成方法继承了SMER的分布式和并行性质，并且最多需要$n + \lfloor \sqrt{n}\rfloor$时间步长。消息复杂度最多达到$nΔ_N + \lfloor \sqrt{n}\rfloor Δ_N$，其中$1\le Δ_N\le N - 1$是$\mathcal{M}$的最大多阶，并且每个进程所需的最大存储空间量是$\mathcal{O}(n)$位。
2013-12-16 cs.DC cs.DM cs.DS
Hamiltonians of Bipartite Walks
在本文中，我们介绍了一个离散的量子行走模型称为二分行走。二部行走包括许多已知的离散量子行走模型，如弧反转行走，顶点面行走。对于量子行走的转移阵，有一个与之相联系的哈密顿量，我们将研究二分行走的哈密顿量。设$S$是反对称矩阵。我们主要对形式为$iS$的哈密顿量感兴趣。我们证明了当且仅当二部图的邻接矩阵是可逆的时，Hamilton算子可以写成$iS$.我们证明了弧反转行走和顶点面行走是二部行走的特殊情况。通过哈密尔顿算子，二部游动现象导致连续游动现象。我们详细展示了如何使用二分行走的路径，以构建通用的完美状态转移连续行走。
2022-07-04 math.CO quant-ph
Diameter of the inversion graph
本文研究标号图反演图的直径，揭示其与星色数、无环色数和有向色数的有界性等价，并给出多类图的上界及 NP 难性。
2024-05-08 cs.DM math.CO
Symmetry properties of subdivision graphs
图$Σ$的细分图$S(Σ)$是由$Σ$通过在$\Si$的每条边的中间"添加一个顶点"而得到的。研究了$§(Σ)$的各种对称性。证明了对连通图$Σ$，$S(Σ)$是局部$s$-弧传递的当且仅当$Σ$是$\lceil\frac{s+1}{2}\rceil$-弧传递的. $S(Σ)$的直径是$2d+δ$，其中$Σ$具有直径$d$和$0\leqslant δ\leqslant 2$，并且$§(Σ)$的局部$s$-距离传递性被定义用于$1\leqslant s\leqslant 2d+δ$。在$s\leqslant 2d-1$的一般情况下，我们证明了$S(Σ)$是局部$s$-距离传递的当且仅当$Σ$是$\lceil\frac{s+1}{2}\rceil$-弧传递的。对于其余的值的$s$，即$2d\leqslant s\leqslant 2d+δ$，我们分类的图$Σ$的$S(Σ)$是局部$s$-距离传递的情况下，$s\leqslant 5$和$s\geqslant 15+δ$。$\max\{2d, 6\}\leqslant s\leqslant \min\{2d+δ, 14+δ\}$病例仍处于开放状态。
2011-01-18 math.CO math.GR
