Sharp and improved regularity for a class of doubly degenerate parabolic Pdes
本文建立了一类双退化发展偏微分方程有界解的局部Hölder正则性估计。利用内标度技术和几何切向方法，我们得到了这类模型的尖锐的正则性估计，它只依赖于问题的泛参数和相容参数。在这样的情况下，我们的结果是自然的改进，通过一个统一的方法，在非线性演化的背景下退化结构的偏微分方程。作为我们的研究结果和方法的结果，我们解决了一个刘维型的结果与冻结系数和渐近估计在一定的近似制度，这可能有自己的数学兴趣的相关齐次问题的整体解决方案。我们还提供了明确的退化偏微分方程的例子，我们的结果发生。
2021-03-16 math.AP
A probabilistic approach to vanishing viscosity for PDEs on the Wasserstein space
在这项工作中，我们证明了一个类似的，偏微分方程的空间上的概率测度，经典的消失粘性结果已知的方程在欧几里得空间。我们的结果特别允许表明，在经典力学和游戏的各种问题中产生的值函数可以作为二阶偏微分方程的极限情况。证明的方法建立在随机分析参数，并允许例如证明一个Freindlin-Wentzell大偏差定理的McKean-Vlasov方程。
2022-06-03 math.AP math.PR
Hölder regularity for a class of doubly non linear PDEs
本文证明了一类双重非线性抛物方程的非负局部弱解具有局部Hölder连续性，方法结合正性扩张、DeGiorgi型引理和指数平移以处理内在几何。
2025-10-23 math.AP
Well-posedness for a class of doubly nonlinear stochastic PDEs of divergence type
证明了形式为$dX_t-\text{div}\,γ(\nabla X_t)\,dt+β(X_t)\,dt\ni B(t,X_t)\,dW_t$的双非线性抛物型随机偏微分方程的适定性，其中$γ$和$β$是两个非线性项，分别定义在$\mathbb{R}^d$和$\mathbb{R}$上的多值极大单调算子，$W$是圆柱Wiener过程.利用变分技术，适当的一致估计（包括路径和期望）和一些紧性结果，适定性证明在经典的Leray-Lions条件下的$γ$和没有限制性的光滑性或增长的假设$β$。算子$B$被假定为Hilbert-Schmidt算子，并且在第二个变量上满足经典的Lipschitz条件.
2016-11-21 math.AP math.PR
Sticky-reflecting diffusion as a Wasserstein gradient flow
本文证明（反射）粘性布朗运动的Fokker-Planck方程是Wasserstein梯度流，其驱动泛函为相对熵，并通过JKO格式的极限建立了满足能量耗散不等式的弱解存在性。
2025-01-24 math.AP math.OC
A comparison principle for Wasserstein PDEs with state- and law-dependent common noise
University of Michigan（密歇根大学）；University of Southern California（南加州大学）；New York University（纽约大学）
针对Wasserstein空间上带有一般共同噪声Hessian的二阶Hamilton-Jacobi-Bellman方程，通过引入非线性测度流并建立空间、测度导数和负Sobolev估计，证明了半连续粘性次解和超解的比较原理，首次为滤波驱动方程提供了此类粘性比较框架，并应用于受控随机滤波问题的值函数唯一性。
2026-06-03 math.AP math.OC math.PR
{ Euclidean, Metric, and Wasserstein } Gradient Flows: an overview
这是一个暂时的文件理论的梯度流，特别是那些偏微分方程可以解释为梯度流的Wasserstein度量空间的概率测度（一个距离引起的最优输运）。出发点是欧几里德理论，然后将其推广到度量空间，根据工作的安布罗西奥，吉利和萨瓦尔{é}。然后是对瓦瑟斯坦理论的独立阐述，简要介绍了所需的最优输运工具和测地凸性的概念，然后是对乔丹-金德勒赫-奥托方案的精确描述，并证明了在最简单的情况下的收敛性：线性福克-普朗克方程。本文还讨论了其它梯度流偏微分方程和基于这些思想的数值方法。本文最后介绍了Ambrosio，Gigli，Savar{é}，Kuwada和Ohta的一个新的理论发展：度量测度空间中热流的研究。
2016-09-13 math.AP math.DS
Higher order regularity of nonlinear Fokker-Planck PDEs with respect to the measure component
本文利用Fokker-Planck偏微分方程的解建立了1-Wasserstein空间上任意光滑泛函的复合高阶线性泛函导数的一般公式.这个公式与混沌传播理论和平均场博弈有着重要的联系。
2021-04-08 math.AP math.PR
Wasserstein medians: robustness, PDE characterization and numerics
本文提出Wasserstein中位数作为Wasserstein重心的稳健替代方案，证明其崩溃点约为1/2，通过PDE特征与最小流问题建立联系，并基于Douglas-Rachford格式提出新的数值计算方法。
2025-02-03 math.AP math.OC stat.AP
Statistical Error Bounds for Generative Solvers of Chaotic PDEs: Wasserstein Stability, Generalization, and Turbulence
Department of Mathematics, ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院数学系）
本文研究了混沌偏微分方程生成求解器的统计误差界，通过Wasserstein稳定性、泛化性和湍流分析，提出了一种兼容相关度量框架的分析方法，并展示了如何将常见诊断方法纳入统计解框架。
2026-02-21 math.AP
Gradient flows of time-dependent functionals in metric spaces and applications for PDEs
我们发展了定义在抽象度量空间中的不定常泛函的梯度流理论。整体适定性和渐近行为的解决方案。泛函和度量空间上的条件允许考虑Wasserstein空间$\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}^{d})$，并将结果应用于一类具有不定常系数的偏微分方程，如约束势、相互作用势和扩散。我们的结果可以看作是Ambrosio-Gigli-Savaré（2005）[2]中的结果在不定常泛函情形下的推广.为此，我们需要考虑一些剩余项，时间版本的概念，如$λ$ -凸性，时间可微的最小Moreau-Yosida近似，和先验估计与显式时间依赖的De Giorgi插值。在这里，泛函可以从下面无界，并满足一种随时间变化的$λ$ -凸性。
2015-09-14 math.AP
Structured Continuity Equations in Fibred Wasserstein Spaces
Laboratoire des Signaux et Systèmes, Université Paris-Saclay, CNRS, CentraleSupélec（巴黎萨克雷大学、法国国家科学研究中心、中央理工-苏佩莱克）；Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, INRIA, Laboratoire Jacques-Louis Lions, LJLL（索邦大学、巴黎西岱大学、法国国家科学研究中心、法国国家信息与自动化研究所、雅克-路易·利翁斯实验室）
本文提出了一种在纤维瓦尔德空间中处理结构连续性方程的理论框架，并推导了均场近似结果。
2026-10-27 math.AP math.PR
A variational approach to symmetry, monotonicity, and comparison for doubly-nonlinear equations
我们提出了一种变分方法来证明一大类双非线性演化问题（包括梯度流、一些非局部问题和非线性抛物型方程组）的对称性、单调性、上下下界、符号性质和比较原理等定性性质。我们的方法是基于所谓的加权能量耗散（WED）变分方法。这包括在整个轨迹上定义一个全局参数依赖泛函，并证明其极小收敛到目标问题的解，因为参数趋于零。定性性质和比较原则可以很容易地证明为极小的WED功能，并通过到极限，为限制问题。几个应用的抽象结果系统的非线性偏微分方程和分数/非局部问题。最后，我们提出了这种方法的一些扩展，以处理率无关系统和双曲问题。
2016-11-07 math.AP
Continuum of coupled Wasserstein gradient flows
本文研究无限多个不可压缩相在联合体积约束下的漂移-扩散方程组，将其刻画为纤维化 Wasserstein 距离下的梯度流，证明了弱解存在性、长时间渐近与稳定性，并将模型解释为无条件收敛的熵正则化 AHT 松弛格式。
2024-11-21 math.AP
Feedback Control and Local Convexification of Wasserstein Gradient Flows
研究自由能形式下的Wasserstein梯度流，通过反馈控制设计有限秩反馈律，使闭环Hessian谱高于任意阈值，从而局部指数收敛到稳态。
2026-09-10 math.AP math.DS math.FA
Elliptic-regularization of nonpotential perturbations of doubly-nonlinear gradient flows of nonconvex energies: A variational approach
本文提出了一种求解具有非凸能量和非位势扰动的双非线性（梯度）流（P）的变分方法（即，没有任何潜在结构的扰动项）。首先对原方程${\rm (P)}_\varepsilon$进行时间椭圆正则化，然后利用变分方法和不动点定理证明了正则化方程的强解的存在性.更确切地说，我们引入了一个功能（定义为每个完整的轨迹，包括一个小的近似参数$\varepsilon$），其欧拉-拉格朗日方程对应的椭圆时间正则化的未扰动（即无非潜在的扰动）双非线性流。其次，由于非位势扰动的存在，利用不动点论证构造了时间椭圆正则化方程${\rm (P)}_\varepsilon$的强解$u_\varepsilon$。这里，上述最小化问题定义了算子$S$，其不动点对应于${\rm (P)}_\varepsilon$的解$u_\varepsilon$。最后，通过将$u_\varepsilon$的极限传递为$\varepsilon \to 0$，获得原始方程（P）的强解。本文中开发的抽象理论的应用，具体的偏微分方程也展出。
2017-02-23 math.AP
Diffusive transport on the real line: semi-contractive gradient flows and their discretization
本文提出实直线上的扩散输运距离，推广鞅最优输运，证明多孔介质方程等半压缩梯度流在离散化下具有一致凸性模，区别于Wasserstein结构。
2025-01-24 cs.NA math.AP math.NA
Sharp regularity estimates for a singular inhomogeneous (m, p)-Laplacian equation
本文针对一类双重非线性发展偏微分方程，结合几何切向方法与内蕴尺度技术建立解在Hölder空间的精确正则性，统一处理三类扩散情形推广经典结果，并给出相关非线性模型的应用。
2023-05-04 math.AP
Entropic regularisation of non-gradient systems
概率测度空间中的Wasserstein梯度流理论在过去的20年里取得了巨大的进展。它构成了一个统一的和强大的框架，在耗散偏微分方程（PDE）的研究提供了手段，以证明适定性，正则性，稳定性和定量收敛到平衡。最近发展的熵正则化技术为求解这些梯度流的快速有效的数值方法铺平了道路。然而，许多感兴趣的偏微分方程不具有梯度流结构，并且先验地，该理论不适用。在本文中，我们开发了一个时间离散熵正则变分方案的一般类这样的非梯度偏微分方程。我们证明了该方案的收敛性，并说明了所提出的框架的广度与具体的例子，包括非线性动力学福克-普朗克（Kramers）方程和非线性退化扩散的Kolmogorov型。还提供了数值模拟。
2022-01-14 math.AP math.PR
Well-Posedness for Some Non-Linear Diffusion Processes and Related PDE on the Wasserstein Space
本文研究了一类定义在$[0,T] \times \mathbb{R}^d \times \mathcal{P}\_2(\mathbb{R}^d)$上的非线性线性偏微分方程微分方程在McKean-Vlasov意义下的鞅问题的适定性，对于任意$T>0$，$\mathcal{P}\_2(\mathbb{R}^d)$是Wasserstein空间（即具有有限二阶矩的$\mathbb{R}^d$上的概率测度空间）。在这种情况下，沿着概率测度的映射的导数在狮子的意义上被理解。在适当的完全度量空间上，在覆盖了一大类相互作用的系数上的一些温和的正则性假设下，通过不动点论证来解决鞅问题。此外，在强意义下的新的适定性结果得到了从以前的分析。在附加的假设下，我们证明了相关密度的存在性，并研究了其光滑性。特别地，我们建立了它的导数的高斯型界。最后讨论了带非正则终端条件和源项的线性Cauchy问题解的存在唯一性。
2021-04-22 math.AP math.CA math.FA
Cross-Diffusion Theory for Overcrowding Dispersal in Interacting Species System
本文提出一类新的交叉扩散系统，基于近端最小化能量建立适定PDE框架，用于研究两物种过度拥挤扩散，并发展新的$H^{-1}$理论，提升对空间模式与共存的理解。
2024-05-24 math.AP math.OC
Structural stability of flows via evolutionary Gamma-convergence of weak-type
本文将巴拿赫空间中与多值算子相关的初值问题转化为极小化原理，推广了Brezis-Ekeland，Nayroles和Fitzpatrick的结果.重点是这些问题的稳定性。扰动不仅是数据的扰动，也是算子的扰动;这是通过De Giorgi的$Γ$ -收敛w.r.t.\弱型非线性拓扑。本文还引入了演化$Γ$ -弱收敛的概念。这些结果适用于拟线性偏微分方程，包括双非线性流。
2015-09-13 math.AP
Data driven gradient flows
我们提出了一个框架，使变分资料同化梯度流一般度量空间，最小化运动（或约旦Kinderlehrer奥托）近似方案的基础上。在讨论了最一般情况下的稳定性性质之后，我们专门讨论了具有Wasserstein距离的概率测度空间。这种设置涵盖了许多非线性偏微分方程（PDE），如多孔介质方程或一般的漂移-扩散-聚集方程，这可以通过我们的方法处理独立于其各自的属性（如有限的传播速度或爆破）。然后，我们专注于我们的方法使用的原始对偶法的数值实现。我们的方法的优势在于，通过简单地改变驱动功能，广泛的偏微分方程可以处理，而不需要采用数值方案。最后，我们提出了详细的数值例子。
2022-05-24 cs.NA math.AP math.DS
A Probabilistic approach to classical solutions of the master equation for large population equilibria
研究了一类定义在$\mathbb{R}^d \times \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d),$上的非线性偏微分方程，其中$\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$是$\mathbb{R}^d$上具有有限二阶矩的概率测度的Wasserstein空间.我们证明了这样的方程在足够小的时间间隔内存在一个经典解。在附加的约束条件下，我们证明了他们的解决方案可以扩展到任意大的区间。这些非线性偏微分方程是在大种群随机控制理论的最新发展中出现的。更确切地说，它们是所谓的主方程，对应于具有平均场相互作用的大量受控参与者的渐近平衡，并受到最小化约束。本文中的结果就是利用这种联系推出的。特别地，我们研究了McKean-Vlasov型向前-向后随机系统产生的流关于初始条件的可微性。作为副产品，我们证明了由向前向后系统产生的解耦场是相应主方程的经典解。最后，我们给出了几个应用平均场游戏和McKean-Vlasov扩散过程的控制。
2015-04-21 math.AP math.OC math.PR
Global attractors for gradient flows in metric spaces
本文发展了度量空间中梯度流方程的长时间分析。特别地，我们考虑两个概念的解决方案的度量梯度流，即能量和广义解。虽然前一个概念与最大斜率曲线的概念相吻合，但我们引入后者以包括通过最小化运动方法构建的时间增量近似的限制。对于这两个概念的解决方案，我们证明了整体吸引子的存在性。由于我们考虑的演化问题可能缺乏唯一性，我们依赖于由J.M.球广义解和能量解的概念是非常灵活的，可以用来处理各种背景下的梯度流，从巴拿赫空间到概率测度的Wasserstein空间。我们应用这些抽象结果证明了自反巴拿赫空间中抽象双非线性发展方程和Wasserstein空间中一类发展方程的能量解以及由中曲率驱动的相变发展方程的广义解的整体吸引子的存在性.
2009-11-09 math.AP
Segregation and Gap Formation in Cross-Diffusion Models
在本文中，我们分析了一类非线性交叉扩散系统的两个物种与当地的排斥相互作用，表现出正式的梯度流结构相对于Wasserstein度量。我们表明，系统的人口压力是由总人口的函数是关键的交叉扩散扰动。证明了这种临界性，增加一个额外的交叉扩散项，打破了系统中的人口压力的对称性，导致完全不同的行为，即隔离或混合，这取决于扰动的符号。我们显示这些结果在相关的自由能泛函的最小化的水平。我们还分析了这些结果与这些泛函的偏微分方程的梯度流系统的某些影响，我们提出了一个数值探索这些现象的时间演化。
2019-06-09 math.AP
Minimum Flow Steepest Descent Approach for Nonlinear PDE
本文提出最小流最陡下降算法，通过最小化内部能量并施加最小流约束，推广$H^{-1}$理论至非线性扩散，可处理多孔介质流、Stefan问题及非线性算子，优于JKO方案。
2024-02-03 math.AP math.OC
Solutions to fourth order degenerate parabolic equations obtained via weighted energy dissipation
该研究将加权能量耗散（WED）变分方法用于构造Cahn-Hilliard型四阶退化抛物型方程的解，突破了WED仅适用于Wasserstein型二阶偏微分方程的局限，在时间维度实现椭圆正则化并获良好近似性质。
2026-09-07 math.AP math.MG
Sparse identification of nonlocal interaction kernels in nonlinear gradient flow equations via partial inversion
本文研究从含噪轨迹数据中识别非线性聚集-扩散方程的非局部相互作用势，提出通过最小化二次误差泛函并辅以稀疏正则化构建变分问题，采用部分反演算法求解，并给出PDE稳定性估计与误差分析，一维与二维示例验证了方法的有效性。
2025-01-30 math.AP
Heterogeneous gradient flows in the topology of fibered optimal transport
本文在纤维丛概率测度空间引入惩罚跨纤维传输成本的最优传输拓扑，证明其构成具有弱黎曼结构的波兰空间，发展相关梯度流理论，并应用于演化PDE及Cucker-Smale模型的长时行为与平均场极限推导。
2024-01-11 math.AP
