Pointwise Bounds for Steklov Eigenfunctions
设$(Ω,g)$是一个具有实解析边界的紧致实解析黎曼流形$\partial Ω.$边界Dirchlet-to-Neumann本征函数的调和扩张称为Steklov本征函数。我们表明，Steklov本征函数的狄利克雷到诺依曼特征值的内部指数衰减，并给出一个尖锐的衰减率在边界处的一阶。证明使用Poisson表示的Steklov特征函数结合尖锐$h$ -微局部浓度估计的边界Dirichlet-诺依曼特征函数附近的cosphere束$S^*\partial Ω.$这些估计遵循从尖锐的估计浓度的FBI变换的解决方案解析伪微分方程$Pu=0$附近的特征集$\{σ(P)=0\}$。
2018-01-22 math.AP math.SP
Interior nodal sets of Steklov eigenfunctions on surfaces
本文研究了具有边界的连通紧致曲面上Steklov本征函数的内节点集$\mathcal{N}_λ$。Steklov本征函数的最佳消失阶为$Cλ$。奇异集$\mathcal{S}_λ$是节点集上的有限点。我们能够证明Hausdorff测度$H^0(\mathcal{S}_λ)\leq Cλ^2$ .此外，我们还得到了内节点集$H^1(\mathcal{N}_λ)\leq Cλ^{\frac{3}{2}}$的测度的一个上界。在这里，这些正常数$C$仅取决于表面。
2015-10-20 math.AP math.SP
A lower bound for the nodal sets of Steklov eigenfunctions
本文研究光滑黎曼流形上Steklov本征函数节点集的下界--Dirichlet-to-Neumann映射的本征函数.设$N_λ$为其节点集。假设零是斯捷克洛夫本征函数的正则值。我们证明了对于某个正的常数$C$，$$H^{n-1}(N_λ)\geq Cλ^{\frac{3-n}{2}}$$只依赖于流形。
2015-04-05 math.AP
Exponential localization of Steklov eigenfunctions on warped product manifolds: the flea on the elephant phenomenon
本文研究了一类翘曲积黎曼流形$(M,g)$上的Steklov特征值和Steklov特征函数的分析，该流形的边界$\partial M$由两个不同的连通分支$Γ_0$和$Γ_1$组成.首先，我们证明了Steklov特征值可以分为两个家庭$(λ_m^\pm)_{m \geq 0}$满足精确的渐近为$m \to \infty$。其次，我们考虑了相关的Steklov本征函数，这是边界Dirichlet到Neumann本征函数的调和扩展。在对称翘曲积的情形下，我们证明了Steklov特征函数是指数局部化在整个边界$\partial M$上的$m \to \infty$ .每当我们在对称扭曲的乘积上加上一个非对称扰动时，我们就会观察到大象上的跳蚤效应。粗略地说，我们证明了“一半”的Steklov本征函数是指数本地化的一个连接组件的边界，说$Γ_0$，和另一半上的其他连接组件$Γ_1$作为$m \to \infty$。
2021-03-25 math-ph math.AP math.MP
Hausdorff measure bounds for nodal sets of Steklov eigenfunctions
本文研究有界$\mathcal{C}^2$区域内Steklov特征函数的节点集，建立了与特征值无关的Hausdorff测度下界，并给出含$\lambda\log(\lambda+e)$因子的近乎精确上界。
2022-09-13 math.AP math.SP
Lower bounds for interior nodal sets of Steklov eigenfunctions
研究了$n$维相对紧流形$M$中Steklov本征函数的内节点集$Z_λ$，证明了它的$(n-1)$维Hausdorff测度的大小存在下界$|Z_λ|\ge cλ^{\frac{2-n}2}$.证明是基于董型恒等式和Steklov特征函数的梯度估计，类似于那些在\cite{SZ1}和\cite{SZ2}，分别。
2015-03-27 math.AP
Nodal sets of Steklov eigenfunctions near the boundary: Inner radius estimates
我们表明，Steklov本征函数在有界Lipschitz域有波长密集的节点集附近的边界，相反，可以发生什么内部的域。作为逆，在二维Lipschitz域$Ω$中，我们证明了Steklov本征函数的任何节点域都包含一个以$\partialΩ$为中心，半径为$c_Ω/λ$的半球.
2022-09-13 math.AP math.CA
Sharp $L^p$ estimates and size of nodal sets for generalized Steklov eigenfunctions
我们证明了紧流形上的Steklov本征函数在边界上的$L^2$范数的精确$L^p$估计.我们证明它建立$L^p$边界上的调和扩张算子以及频谱投影算子。此外，我们推导出下界的大小节点集的变化的Steklov谱问题。我们考虑一个广义的版本的Steklov问题，通过添加一个非光滑的潜在的边界上，但我们的一些结果是新的，即使没有潜在的。
2022-12-31 math-ph math.AP math.CA
Nodal Sets of Steklov Eigenfunctions
研究了$\mathbb{R}^n$中光滑有界区域边界上Steklov本征函数的节点集--Dirichlet-to-Neumann映射的本征函数.在定义域$Ω$为$C^2$的假设下，证明了特征函数$u$的一个加倍性质.当$λ$增长到无穷大时，我们用特征值$λ$来估计$u|_{\partial Ω}$节点集的Hausdorff $\mathcal H^{n-2}$ -测度.在定义域$Ω$是解析的情况下，证明了多项式有界O（$λ^6$）.我们的论点，其中大量使用Almgren的频率函数，是建立在以前的作品[Garofalo和Lin，CPAM 40（1987），no.3; Lin，CPAM 42（1989），no.6]。
2014-02-18 math.AP
Sloshing, Steklov and corners: Asymptotics of Steklov eigenvalues for curvilinear polygons
我们得到了曲线多边形的Steklov特征值和特征函数关于其边长和角的渐近公式。这些公式是相当精确的：当谱参数趋于无穷大时，误差趋于零。Steklov问题的平面域与角落是密切相关的经典晃动和倾斜的海滩问题的流体力学，因为我们表明，它也与量子图。有点令人惊讶的是，算术属性的角度曲线多边形有显着的影响边界行为的斯捷克洛夫特征函数。我们的证明是基于一个明确的建设准模。我们使用各种方法，包括光谱几何的想法，层势分析，和一些新的技术为我们的问题。
2022-06-20 math.AP math.SP
A Steklov-spectral approach for solutions of Dirichlet and Robin boundary value problems
在本文中，我们重新审视的方法开创了Auchmuty近似解的拉普拉斯-罗宾边值问题。我们证明了这种方法的有效性，在一个大类的非张量域，与其他光谱方法，这样的问题。我们建立了一个谱逼近定理，显示指数快速数值评估方面的Steklov特征函数的数量，光滑的域和光滑的边界数据。一个多项式的快速数值计算观察到的非光滑域或非光滑边界数据。我们还证明了一个新的结果的斯捷克洛夫特征函数的规律性，取决于域边界的规律性。我们描述了三种计算Steklov特征函数的数值方法。
2022-09-17 cs.NA math.AP math.NA
Steklov Approximations of Harmonic Boundary Value Problems on Planar Regions
基于调和函数在一阶调和Steklov本征函数所张成的子空间上的显式表示，得到了平面区域上调和函数在这些调和Steklov本征函数所张成的子空间上的逼近的误差估计.当该区域是一个矩形的纵横比h，一些计算结果与已知的显式解决方案的问题，这些近似描述。
2016-09-23 math.AP
A few sharp estimates of harmonic functions with applications to Steklov eigenfunctions
本文结合微局部分析与频率函数技术，建立了光滑紧流形上调和函数限制的精确下界，并通过构造参数化分析其内部行为，最终应用于 Steklov 特征函数的估计与调和函数的数值逼近。
2024-12-18 cs.NA math.AP math.CA
Exponential Decays of Steklov Eigenfunctions for the Magnetic Laplacian
Institute for Theoretical Sciences, Westlake University（西湖大学理论科学研究所）
针对有界Lipschitz区域上带有限型磁场的磁薛定谔算子对应的Dirichlet-to-Neumann映射，证明场强足够大时其基态在磁场最大阶消失边界子集邻域外呈指数衰减。
2026-11-09 math.AP
Domains without dense Steklov nodal sets
本文研究二维区域上Steklov特征值问题$$ -Δϕ_{σ_j}=0,\quad\text{ on }Ω,\qquad\qquad \partial_νϕ_{σ_j}=σ_j ϕ_{σ_j}\quad \text{ on }\partialΩ$$的特征函数节点集的渐近几何性质。特别地，本文给出了具有解析边界的二维单连通域的稠密族$\mathcal{A}$，使得对于每个$Ω\in \mathcal{A}$，特征函数$ϕ_{σ_j}$“的节点集在尺度$σ_j^{-1}$上是$not$稠密的.这个结果解决了Girouard和Polterovich，J. Spectr. Theory，321-359（2017）.事实上，本文的结果表明，对于域$Ω\in \mathcal{A}$，与本征值$σ_j$相关的本征函数$ϕ_{σ_j}$的节点集具有与预期完全不同的性质：它们在任何收缩尺度上都不稠密。更精确地，对于每个$Ω\in \mathcal{A}$，存在值$r_1>0$，使得对于每个$j$，存在$x_j\in Ω$，使得$ϕ_{σ_j}$在围绕$x_j$的半径为$r_1$的球上不消失。
2019-08-09 math.AP math.SP
The Steklov problem for exterior domains: asymptotic behavior and applications
本文研究紧集外部修正Helmholtz方程的Steklov问题谱性质，获得了特征值和特征函数的小$p$渐近行为，并应用于随机过程理论揭示首达时间概率密度的长时间渐近行为，理论结果由有限元方法验证。
2025-03-23 math-ph math.AP math.MP
On bifurcation from infinity: a compactification approach
针对带渐近次线性非线性边界条件的标量抛物型偏微分方程，提出紧化方法研究无穷远分岔的无界平衡解曲线、稳定性与异宿轨道，构造无穷远诱导半流并证明无穷时刻爆破解的存在性。
2025-01-17 math.AP math.DS
A Critical Domain For the First Normalized Nontrivial Steklov Eigenvalue Among Planar Annular Domains
我们描述了一个形状导数的方法，提供了一个候选人的最佳域之间的非单连通平面域的两个边界组件。这种方法是一个适应的极值本征值问题的Wentzell-Laplace运营商开发的Dambrine，Kateb和Lamboley的工作。
2022-10-06 math.AP math.OC
Critical set of eigenfunctions of the Laplacian
给出了紧致解析黎曼流形上拉普拉斯算子的特征函数的临界集的$(n-1)$维Hausdorff测度的一个上界.这是H的类似物。Donnely和C.关于本征函数节集的February man结果。
2011-05-26 math.AP math.DG
Eigenfunctions with infinitely many isolated critical points
我们在$ 2 $维环面上构造了一个黎曼度量，使得对于Laplace-Beltrami算子的无穷多个本征值，相应的本征函数有无穷多个孤立的临界点.对我们的构造进行微小修改意味着这些本征函数中的每一个都具有具有无穷多个连通分量的水平集（即，两个本征函数的线性组合可以具有无穷多个节点域）。
2019-06-28 math.AP math.SP
Some remarks on critical sets of Laplace eigenfunctions
我们研究了一组临界点的解决方案，$Δu = λ\cdot u$，特别是组件的临界集，有余维1。例如，我们表明，如果第二个Neumann特征函数的单连通多边形$P$有无穷多个临界点，那么$P$是一个矩形。
2022-04-25 math.AP math.DG
Zonal states and improved $L^\infty$ bounds for eigenfunctions of magnetic Laplacians on hyperbolic surfaces
Ecole Normale Supérieure（巴黎高等师范学院）；Université Paris-Saclay, CNRS, Laboratoire de mathématiques d’Orsay（巴黎萨克雷大学，法国国家科学研究中心，奥赛数学实验室）
本文研究了双曲面上磁拉普拉斯算子特征函数的改进 $L^\infty$ 绝对值界，并提出了磁区域态的概念，这些态在临界能量下饱和霍尔曼德界。
2026-10-20 math.AP math.DG math.SP
Critical points of Laplace eigenfunctions on polygons
研究了多边形区域上Laplace特征函数的临界点，重点研究了第二类Neumann特征函数。证明了如果每个凸四边形都不存在具有内部临界点的第二Neumann特征函数，则存在具有不稳定临界点的凸四边形。我们还证明了在没有正交边的Lip-1多边形上第二Neumann特征函数的每个临界点都是一个锐角顶点。
2021-08-23 math.AP
Improved critical eigenfunction restriction estimates on Riemannian manifolds with constant negative curvature
我们证明了具有常负曲率的三维紧致黎曼流形上本征函数的$L^2$测地约束估计可以得到对数改进。我们获得了$L^2$限制界限的$(\logλ)^{-\frac12}$增益，这改进了Burq、Gérard和Tzvetkov、Hu、Chen和Sogge的相应界限。我们通过采用Chen和Sogge，Blair和Sogge，Xi和作者开发的方法来实现这一点。本文给出了三维双曲空间上波核的一个显式公式，改进了Chen和Sogge的Hadamard参数核估计.我们证明了详细的振荡积分估计折叠奇异的Phong和Stein，并使用庞加莱半空间模型建立各种衍生物的距离函数限制在测线段上的通用覆盖$\mathbb{H}^3$的界限。
2017-04-22 math.AP math.CA math.DG
The principal eigenfunction of the Dirichlet Laplacian with prescribed numbers of critical points on the upper half of a topological torus
本文考虑拓扑环面上半部分上Laplace-Beltrami算子在Dirichlet边界条件下的主本征值问题。我们提出了一种结构的上半部分的拓扑环面，承认的主要特征函数具有确切的临界点的数量。此外，我们设法明确地确定所有的临界点的主要特征函数的位置。
2021-09-07 math.AP
Logarithmic improvements in $L^{p}$ bounds for eigenfunctions at the critical exponent in the presence of nonpositive curvature
我们考虑的问题证明$L^p$界的拉普拉斯算子的本征函数在高频极限的存在下，非正曲率，更一般地说，流形没有共轭点。特别是，我们证明了在“临界指数”的估计$p_c = \frac{2(d+1)}{d-1}$，其中频谱的情况下，相空间浓度必须排除。我们的工作建立了一个增益的对数的频率在相对于经典的$L^p$的第二作者的界限的范围内的逆幂。
2018-07-11 math.AP math.CA math.SP
Localized $L^p$-estimates for eigenfunctions: II
如果$(M,g)$是一个紧凑的黎曼流形的尺寸$n\ge 2$，我们给出了充要条件，改进的$L^p(M)$ -范数的特征函数的所有$2<p\ne p_c=\tfrac{2(n+1)}{n-1}$，临界指数。由于改进的$L^{p_c}(M)$边界意味着改进所有其他指数，这些条件是必要的临界空间的改进边界。我们还表明，改进的$L^{p_c}(M)$界限是有效的，如果这些条件得到满足，如果半波运营商，$U(t)$，没有焦散时，$t\ne 0$。寻找$L^{p_c}(M)$改进的充分必要条件的问题仍然是一个有趣的开放问题。
2016-10-21 math.AP math.CA math.DG
On the number of critical points of the second eigenfunction of the Laplacian in convex planar domains
本文研究了凸区域中具有Dirichlet边界条件的Laplacian算子的第二特征函数。如果区域有\emph{large eccentricity}，那么特征函数有\emph{exactly}两个非退化的临界点（当然它们是一个最大值和一个最小值）。证明使用Jerison（[Jer 95 a]）和Grieser-Jerison（[GJ 96]）证明的一些估计，并结合拓扑度参数。文[GJ 09]在类矩形区域中证明了高阶本征函数的类似结果。
2021-07-05 math.AP
Neumann domains of planar analytic eigenfunctions
Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）；Institute of Mathematics, Ufa Federal Research Centre, RAS（俄罗斯科学院乌法联邦研究中心数学研究所）；Tata Institute of Fundamental Research, Centre for Applicable Mathematics（塔塔基础研究所应用数学中心）
本文研究平面有界域中特征函数的Neumann域，通过分析特征函数的梯度流线，提出了一种描述任意特征函数Neumann域的方法，结合解析性理论和数值证据，探讨了退化临界点的可能类型。
2024-10-10 math.AP math.DS math.SP
Graph structure of the nodal set and bounds on the number of critical points of eigenfunctions on Riemannian manifolds
本文将紧致二维Riemannian流形上Laplacian特征函数的零点集识别为嵌入度量图，并利用初等图论工具，依据特征值指标$k$与曲面Euler-Poincaré示性数估计了特征函数零点集的临界点数量及消失阶之和。
2025-05-05 math.AP
Doubling inequalities and critical sets of Dirichlet eigenfunctions
研究了紧致黎曼流形边界上和内部的梯度的锐倍不等式和Dirichlet特征函数临界集的上界.大多数的努力致力于获得梯度的锐倍不等式。针对光滑流形中二重不等式的不可用性问题，提出了一种新的方法。解析黎曼流形中临界集的锐上界是加倍不等式的结果。
2020-10-09 math.AP
The critical case for the concentration of eigenfunctions on singular Riemannian manifolds
本文研究带边界的奇异黎曼流形上Laplace-Beltrami算子特征函数的集中现象，在临界情形下证明其平均密度分布于所有长度尺度，并给出精确描述。
2025-10-27 math-ph math.AP math.MP
Improved critical eigenfunction estimates on manifolds of nonpositive curvature
我们证明了新的改进端点，$L^{p_c}$，$p_c=\tfrac{2(n+1)}{n-1}$，估计（“扭结点”）的特征函数的非正曲率流形。我们利用波动方程的能量和色散估计以及新的改进的$L^p$，$2<p< p_c$，Blair和作者的\cite{BSTop}，\cite{BSK15}的界和Bérard~ \cite{Berard}的经典改进的超范数估计来实现这一点.我们的证明使用Bourgain的\cite{BKak}证明的弱型估计斯坦托马斯傅立叶限制定理\cite{Tomas} - \cite{Tomas2}作为模板，能够获得改进的弱型$L^{p_c}$估计在这个几何假设。然后我们可以使用这些估计和Bak和Seeger~ \cite{BakSeeg}的（局部）改进的Lorentz空间估计（对所有流形都有效）在非正截面曲率的假设下得到我们对临界空间的改进估计。
2015-12-11 math.AP math.CA math.DG
Local $L^p$ norms of Schr{ö}dinger eigenfunctions on $\mathbb{S}^2$
在规范的$2$ -球和薛定谔特征函数，我们得到一个简单的几何准则的潜力下，我们可以改善，在一个给定的点附近，并为每个$p\neq 6$，Sogge的估计的权力的特征值。这个判据可以用势的Radon变换的临界点来表示，它与本征函数的选择无关。
2021-05-31 math.AP math.SP
Equilibrium and eigenfunctions estimates in the semi-classical regime
我们建立本征函数估计，在半经典制度，与一个孤立奇点的临界能级。对于薛定谔算子，本征向量的渐近再分配与常规情况相同，除了在1维中出现临界点的集中。这一原则延伸到伪微分算子和极限措施是刘维尔措施，只要奇异性保持可积。
2006-05-24 math-ph math.AP math.MP
Improved critical eigenfunction restriction estimates on Riemannian surfaces with nonpositive curvature
证明了在非正曲率的紧致黎曼曲面上，可以得到特征函数的改进的$L^4$测地约束估计。我们实现这一点，通过调整Sogge的战略，证明改进的关键$L^p$估计。首先将Blair和Sogge的改进的$L^2$约束估计与Bérard的经典改进的$L^\infty$估计相结合，得到了一个改进的弱型$L^4$约束估计.然后，我们升级到一个强的弱估计，通过使用改进的Lorentz空间的Bak和Seeger估计。该估计将Burq、Gérard、Tzvetkov和Hu的$L^4$约束估计提高了$(\log\logλ)^{-1}$的幂。此外，在紧双曲曲面的情况下，我们得到了进一步的改进，$(\logλ)^{-1}$应用的想法，从最近的工作陈，Sogge和布莱尔，Sogge。我们能够计算各种常数，出现在工作中的陈和Sogge明确，证明详细的振荡积分估计和提升计算的通用覆盖$\mathbb H^2$。
2016-03-09 math.AP
Uniqueness of critical points of the second Neumann eigenfunctions on triangles
Xi'an Jiaotong University（西安交通大学）；University of Macau（澳门大学）；Zhuhai UM Science and Technology Research Institute（珠海澳大科技创新研究院）；South China University of Technology（华南理工大学）
本文研究了二维三角形上第二Neumann特征函数的临界点唯一性，证明其至多有一个非顶点临界点，并解决了多个相关猜想。
2025-12-08 math.AP
Symmetry and critical points of second Neumann eigenfunctions on isosceles trapezoids and kites
University of Macau（澳门大学）
本文研究了四边形上第二Neumann特征函数的对称性，针对等腰梯形、平行四边形和风筝形等域，通过对称分解、特征值比较和连续方法证明了Hot Spots猜想的某些肯定答案。
2026-10-14 math.AP
A note on hot-spots free subregions of convex domains
Stockholms universitet（斯德哥尔摩大学）
本文研究了凸域中Neumann拉普拉斯算子第二个特征函数的临界点分布，证明了热点不可能出现在域中心附近，并明确描述了排除区域。
2026-01-23 math-ph math.AP math.MP
Sharp bilinear eigenfunction estimate, $L^\infty_{x_2}L^p_{t,x_1}$-type Strichartz estimate, and energy-critical NLS
Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；University of Cincinnati（辛辛那提大学）
本文通过利用球面的表示论，建立了三维球面上的精确双线性特征函数估计，并改进了各向异性Strichartz估计，从而获得了能量临界NLS在能量空间中的小数据全局适定性。
2025-12-31 math.AP
Localized $L^p$-estimates of eigenfunctions: A note on an article of Hezari and Rivière
我们使用一个简单的变化，最近的参数的Risari和Rivière~\cite{HR}获得本地化的$L^p$-估计的所有指数大于或等于临界指数$p_c=\tfrac{2(n+1)}{n-1}$。我们能够直接通过使用我们早期工作\cite{Seig}中谱投影算子的$L^{p}$-界来实现这一点。我们在这里得到的局部边界意味着，例如，对于密度为1的序列的特征值的流形上的测地线流是遍历的，所有的$L^p$，$2<p\le \infty$，相应的特征函数的界限是相对较小的相比，一般的\cite{Seig}，这是饱和的圆形球体。与量子遍历性的连接建立了指数$2<p<p_c$在最近的结果作者PDMATHAMT和布莱尔和作者\cite{BS2};然而，文章的davari和里维埃~PDMATHAMM是第一个作出这种连接（在负弯曲流形的情况下）的临界指数，PDMATHAMV。众所周知，我们在这里指出，临界指数$p_c$的界限意味着所有其他指数$2<p\le \infty$的界限。局部估计涉及$L^2$-范数的小测地球$B_r$半径$r$，我们将去这些在某些模型的情况下发生的球和流形上的非正曲率。我们还将说明一个问题，当一个可以改善这些$L^2(B_r)$边界的平凡的$O(r^{\frac12})$估计。如果$r=λ^{-1}$，如果仅使用Hölder不等式改进了$L^{p_c}(M)$界，则可以改进平…
2015-03-27 math.AP math.CA math.DG
Towards the optimality of the ball for the Rayleigh Conjecture concerning the clamped plate
本文研究了维度 $d>3$ 时夹紧平板双调和算子第一特征值的 Rayleigh 猜想，通过改进 Talenti 比较原理并分析特征函数节点域几何性质，证明了在最优特征函数除极值外无其他临界值的假设下该猜想成立。
2023-06-27 math.AP math.OC
