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几乎孪生素数之间的小间隙

Small gaps between almost-twin primes

Bin Chen

备注：
21 pages. Revised version, accepted for publication in Forum Mathematicum
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AI总结：

本文利用 Maynard-Tao 筛法、Baker-Irving 素数指示函数下界及 Tao 的估计方法，改进了几乎孪生素数间隙的上界与素因子数限制。

摘要：

设 $m \in \mathbb{N}$ 较大。我们证明存在无穷多个素数 $q_{1}< \cdot\cdot\cdot < q_{m+1}$ 满足 \\[ q_{m+1}-q_{1}=O(e^{7.63m}) \\] 且对每个 $1 \leq j \leq m+1$，$q_{j}+2$ 至多有 \\[ \frac{7.36m}{\log 2} + \frac{4\log m}{\log 2} + 21 \\] 个素因子。这改进了 Li 和 Pan 的先前结果，将 $m^{4}e^{8m}$ 替换为 $e^{7.63m}$，并将 $\frac{16m}{\log 2} + \frac{5\log m}{\log 2} + 37$ 替换为 $\frac{7.36m}{\log 2} + \frac{4\log m}{\log 2} + 21$。主要输入是 Maynard-Tao 筛法、由 Baker 和 Irving 构造的素数指示函数的下界函数（对此，到光滑模的算术级数中更强的等分布定理是适用的），以及 Tao 先前用于估计 $\sum_{x \leq n < 2x} \mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n)\mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n+12)ω_{n}$ 的方法，其中 $\mathbf{1}_{\mathbb{P}}$ 代表素数的特征函数，$ω_{n}$ 是多维筛法权重。

英文摘要：

Let $m \in \mathbb{N}$ be large. We show that there exist infinitely many primes $q_{1}< \cdot\cdot\cdot < q_{m+1}$ such that \[ q_{m+1}-q_{1}=O(e^{7.63m}) \] and $q_{j}+2$ has at most \[ \frac{7.36m}{\log 2} + \frac{4\log m}{\log 2} + 21 \] prime factors for each $1 \leq j \leq m+1$. This improves the previous result of Li and Pan, replacing $m^{4}e^{8m}$ by $e^{7.63m}$ and $\frac{16m}{\log 2} + \frac{5\log m}{\log 2} + 37$ by $\frac{7.36m}{\log 2} + \frac{4\log m}{\log 2} + 21$. The main inputs are the Maynard-Tao sieve, a minorant for the indicator function of the primes constructed by Baker and Irving, for which a stronger equidistribution theorem in arithmetic progressions to smooth moduli is applicable, and Tao's approach previously used to estimate $\sum_{x \leq n < 2x} \mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n)\mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n+12)ω_{n}$, where $\mathbf{1}_{\mathbb{P}}$ stands for the characteristic function of the primes and $ω_{n}$ are multidimensional sieve weights.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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