Pair correlation and twin primes revisited
Brian Conrey, Jonathan P. Keating
我们使用在我们的论文中发展的关于矩和除数相关性的方法来推导两个齐塔人对两个齐塔人的几何比公式。
We use the methods developed in our papers on moments and divisor correlations to derive heuristically the conjectural ratios formula for two zetas over two zetas.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Constellations of primes generated by twin primes
我们研究一组特殊的孪生素数生成的素数星座。
Exceptional Prime Number Twins, Triplets and Multiplets
孪生素数的分类意味着特殊的孪生素数。当应用于三元组时，它会产生特殊的素数三元组。这些推广产生特殊的素数多重。
An infinite set of generators of primes based on the Rowland idea and conjectures concerning twin primes
使用罗兰的想法，我们发现两个无穷集的素数生成元。我们还提出了一些关于孪生素数的问题。
On the Twin Prime Conjecture
我们讨论了孪生素数猜想的弱形式的各种最新进展。
Twin prime polynomials in function field
解决了等差数列中孪生素数分布猜想的函数域模拟问题。
Twin Primes and the Zeros of the Riemann Zeta Function
利用黎曼ζ函数的逆函数，对孪生素数计数函数的Legendre型关系进行了修正.它的分析揭示了黎曼ζ函数在临界带的零点分布及其与素数和孪生素数问题的联系。
Twin Primes Via Exceptional Characters
我们给出了一个帐户的参数，导致从假设的存在例外字符的渐近性在相关范围内的计数函数的孪生素数。
A new explicit formula in the additive theory of primes with applications I. The explicit formula for the Goldbach and Generalized Twin Prime Problems
证明了Goldbach和广义孪生素数问题中主弧贡献的一个新的显式公式，其中主弧的水平可以选择得很高。这在上述问题的近似中有许多应用。
Three theorems on twin primes
对于我们在[4]中讨论过的序列A166944，我们证明了它与孪生素数的关系的三个陈述。我们还给出了孪生素数无穷大的一个充分条件，并提出了几个新的构造方法，其中我们提出了一个非常简单的构造任意给定整数$m\geq4$上孪生素数对$(p,\enskip p+2)$的算法，使得$p+2\geq m.$
Chen's double sieve, Goldbach's conjecture and the twin prime problem
本文对陈双筛作了更全面的处理，并改进了哥德巴赫猜想和孪生素数问题中的有关常数。
Characterization of the Distribution of Twin Primes
我们采用经验的方法来刻画孪生素数在素数集合中的分布，而不是在所有自然数的集合中。孪生素数在任何有限序列中的出现就像是固定概率的随机事件。随着素数序列的增长，概率随着到该点的素数计数的倒数而减小。这种减少的方式与Hardy-Littlewood猜想、素数定理和孪生素数猜想是一致的。此外，我们的概率模型是简单参数化的。我们讨论了一个简单的测试，它表明的一致性模型外推的范围内，它被构造。
Regularities of Twin, Triplet and Multiplet Prime Numbers
孪生素数的分类建立，然后适用于三胞胎，推广到所有更高的多重。梅森和费马双胞胎和三胞胎在这个框架内处理。正则素数多重数与二次和三次素数生成多项式有关。
An Equivalent form of Twin Prime Conjecture connected with a sequence of arithmetic progressions
本文提出了一种与算术进展序列对称性质相关的 twin素数猜想等价形式。
There Are Infinitely Many Prime Twins
本文发现了一个严重的错误，即引理8不正确。
Generalized Twin Prime Formulas
基于Golomb的算术公式，构造了两类孪生素数的狄利克雷级数，并将其与临界带上的黎曼ζ函数的根联系起来.
Implications of a New Characterisation of the Distribution of Twin Primes
我们提出了一个孪生素数分布的经验模型，并产生了两个不同的结果。首先，我们可以对素数中孪生子序列中空位的出现进行定量概率预测。第二个是“跳高运动员”，即，具有最大似然（就素数而言）的分离总是期望为零。
Twin primes and the $3$-sphere
本文通过研究素数模下 $3$-球面的点群及其与已知群、Chebyshev 多项式的联系，构造了一个收敛性等价于孪生素数对有限性的无穷级数，从而将证明孪生素数猜想转化为证明该级数发散。
A Positive Lower Bound for the Sum of Log-Reciprocal Twin Prime Products via Weighted Sieve
本文通过改进加权筛法，证明了孪生素数乘积对数倒数之和的正下界，从而推导出孪生素数对的无限性。
Primitive root bias for twin primes
数值证据表明，只有约$2\%$对$p,p+2$孪生素数，$p+2$有更多的原根比$p$。如果发生这种情况，我们就说$p$是例外的（只有两个例外对与$5 \leq p \leq 10{,}000$）。在Bateman-Horn猜想的假设下，证明了孪生素数对的至少$0.47\%$是例外的，至少$65.13\%$不是例外的.我们还推测了特殊孪生素数比例的精确公式。
A Pseduo-Twin Primes Theorem
塞尔伯格确定了“奇偶性”障碍，即筛子本身无法区分具有偶数或奇数因子的整数。我们在这里给一个简短的和自包含的示范宇称破缺使用双线性型，仿照孪生素数猜想。
Twins almost prime under a Elliott-Halberstam's conjecture
我们改进了Bayereri的渐近筛局部化的变量。作为结果，我们证明，根据艾略特-Halberten-motherwise猜想，存在一个无限的孪生几乎素数。这些是素数$p$，使得对于所有的$\varepsilon>0$，$p-2$要么是素数，要么可以写为$p_1 p_2$，其中$p_1$和$p_2$是素数和$p_1<X^{\varepsilon}$，我们给出了显式渐近。
Cubic twin prime polynomials are counted by a modular form
我们提出了几何躺在后面计数孪生素数多项式在$\mathbb{F}_q[T]$一般。我们计算上同调和明确计数点的扭曲Lefschetz迹公式适用于这些参数化品种的三次孪生素多项式。椭圆曲线$X^3 = Y(Y-1)$出现在几何中，因此计数三次孪生素数多项式涉及相关的模形式。在理论上，这种方法可以扩展到更高次的孪生素数，但计算变得更加困难。我们在度$3$中得到的公式与Hardy-Littlewood启发式平均相容，与$q \equiv 2 \pmod 3$的预测一致，但对$q \equiv 1 \pmod 3$显示出异常。
Are there arbitrarily long arithmetic progressions in the sequence of twin primes? II
我们表明，如果除了素数的一些其他序列（包括刘维尔函数和素数）有一个共同的分布水平超过0.7231，然后为任何正偶数$h$有任意长的等差数列的素数$p$，使$p+h$也是素数的进展的每个元素。在$h=2$的情况下，这意味着，在关于素数和其他序列在等差数列中的规则分布的一些似是而非的未经证明的假设下，我们在孪生素数序列中真的有任意长的等差数列。
Chen's double sieve, Goldbach's conjecture and the twin prime problem, 2
对于每一个偶数N，用D_{1,2}（N）表示N作为一个素数和一个至多有两个素数因子的整数之和的表示数。本文给出了D_{1,2}（N）的一个新的下界.
Sieves for Twin Primes in Class I
筛被构造用于第一类孪生素数，其形式为2 m +/-D，D>=3奇数。它们的特征在于它们的双D-I秩m。他们没有平价问题。使用奇素数p>=5来识别和计数非秩数。Twin-D-I秩和非秩构成正整数的集合。非秩的正则性允许获得双D-I秩的数量。它涉及相当多的取消，使渐近形式的主要条款崩溃的预期形式，但其系数取决于D。
A probabilistic approach to the twin prime and cousin prime conjectures
本文从概率角度探讨孪生素数与表兄弟素数对是否无限多的问题，通过划分连续素数平方区间并结合Merten第三定理与二项分布性质证明包含概率趋于1，进而提出更严格的新猜想并证明二者具有相同的渐近分布。
Vinogradov's three primes theorem with almost twin primes
本文证明了关于Vinogradov的三素数定理的两个结果，其中素数可称为几乎孪生素数。首先，对于任何$m$，每个足够大的奇数$N$可以被写为三个素数$p_1, p_2$和$p_3$的和，使得对于每个$i \in \{1,2,3\}$，对于某些$H = H(m)$，间隔$[p_i, p_i + H]$至少包含$m$素数。第二，每个足够大的整数$N \equiv 3 \pmod{6}$可以写成三个素数$p_1, p_2$和$p_3$的和，使得对于每个$i \in \{1,2,3\}$，$p_i + 2$最多有两个素因子。
Arithmetic closed forms count the Mersenne primes, the Fermat primes and the twin-prime pairs
本文提出通过算术闭式生成和计数梅森素数、费马素数、孪生素数对及索菲·热尔曼素数的方法，结合威尔逊定理和特定测试技术。
An intermediate conjecture between Goldbach and Dubner: every even number is the sum of a prime and a twin prime
该研究提出介于哥德巴赫与杜布纳猜想间的中间猜想，用罗曼诺夫方法结合塞尔伯格筛法给出条件性结果，验证了10^14以内偶数均满足该猜想。
An approximation to the twin prime conjecture and the parity phenomenon
1966年陈景润证明了对于无穷多个素数$p$，$p+2$至多有两个素因子。然而，由于奇偶性问题，我们不知道$p+2$是否有奇数（或偶数）个素数因子无限频繁。本文证明了$p+d$对至少一个d= 2，4，.有奇数个素因子. 16.
Some Remarks on the Distribution of twin Primes
本文介绍了连续双胞胎之间的间隙的计算机数据，最高可达$2^{44}\approx 1.76\times 10^{13}$。P.F.Kelly和T.Pilling \cite{Kelly1}、\cite{Kelly2}最近的论文中所载的描述计算机结果的启发式公式的简单推导，并与“实验”值作了比较。
A Generalized Elliott-Halberstam Conjecture Implying the Twin Prime Hypothesis
本研究提出关乎算术级数素数对分布的移位卷积广义Elliott-Halberstam猜想（GEH-2），给出von Mangoldt函数相关性的分布水平，证明其蕴含孪生素数猜想并讨论相关数论意义。
A Sieve for Twin Primes
我们提出了一个算法类似于产生孪生素数列表的埃拉托塞尼筛。接下来，我们计算由两个不同启发式参数的构造产生的孪生素数的数量。第一种方法基本上与哈代和赖特的方法相同。第二种方法是新颖的。它的结果是相同的渐近公式，但它使用了一个比他们更简单的校正因子。虽然我们没有理论来证明我们估计的准确性，但我们在没有校正因子和有校正因子的情况下计算它们，结果表明它们接近实际计数，直到8009。
The twin prime conjecture
这是对素数之间有界差异理论的最新发展的阐述。读者应该是解析数论的初学者。本文本是一个大大改进和增强的版本，我已经准备了我的谈话，我在日本数学学会年会上发表于2014年3月15日。
Average twin prime conjecture for elliptic curves
设E是Q上的椭圆曲线。1988年，Koblitz证明了一个精确的渐近定理，使得有限域F_p上E的点群的阶为素数。这是一个类似的哈代和利特尔伍德孪生素数猜想的情况下，椭圆曲线。Koblitz的猜想仍然是广泛开放的。本文证明了Koblitz猜想在双参数椭圆曲线族上平均成立。证明中的一个关键要素是一个Barban-Davenport-Halberten风格的短平均分布结果，其中平均值是对孪生素数及其差异的平均值。
Are there arbitrarily long arithmetic progressions in the sequence of twin primes?
本文的主要结果是：设素数分布的水平$θ$大于1/2，则存在正的$d\leq C(θ)$，使得存在任意长的等差数列，且$p'=p+d$是数列中每个元素的下一个素数.如果是$θ>0.971$，则上述适用于某些$d\leq 16$。
Infinitely many twin prime polynomials of odd degree
本文在有限域框架下，构造了一类新的无穷多奇数次孪生素数多项式组，并探讨其与Wieferich素数存在性及Bell数算术性质的关联，拓展了有限域上孪生素数问题的构造性研究。
Ramanujan Primes: Bounds, Runs, Twins, and Gaps
$n$ th Ramanujan素数是最小的正整数$R_n$，使得如果$x \ge R_n$，则区间$(x/2,x]$至少包含$n$素数。通过证明$R_n/p_{3n}$的最大值是$R_5/p_{15} = 41/47$，我们改进了Laishram的定理，即$R_n < p_{3n}$.本文对$n\le9$给出了Ramanujan素数在所有素数$p<10^n$中最长游程的统计量。我们证明，如果一个上孪生素数是拉马努金，那么也是较低的;一个表给出了一些孪生素数低于$10^n$的三种类型。最后，我们将Ramanujan素数的运行与素数间隙联系起来。在此过程中，我们陈述了几个假设和未决问题。附录解释了Noe计算$R_1,R_2,...,R_n$的快速算法。
On Selberg's approximation to the twin prime problem
在他的经典近似孪生素数问题，塞尔伯格证明，对于$x$足够大，有一个$n \in (x,2x)$，使$2^{Ω(n)}+2^{Ω(n+2)} \leq λ$与$λ=14$，其中$Ω(n)$是数量的素因子$n$计数的多重性。这使他能够证明，对于无穷多个$n$，$n(n+2)$至多有$5$素因子，其中一个至多有$2$，另一个至多有$3$素因子。通过采用Selberg的方法并使用Selberg建议的改进，我们将$λ$的该值改进为约$λ=12.59$。
Primitive root bias for twin primes II: Schinzel-type theorems for totient quotients and the sum-of-divisors function
加西亚、卡霍罗和卢卡证明了贝特曼-霍恩猜想对于大多数孪生素数对$p,p+2$都意味着$ϕ(p-1) \geq ϕ(p+1)$，而反向不等式对于一小部分孪生素数也成立。也就是说，$p$往往比$p+2$有更多的原根。本文证明了Dickson猜想（比Bateman-Horn猜想弱得多）蕴含着当$p,p+2$在孪生素数上的值域为正实数时，同元$\frac{ϕ(p+1)}{ϕ(p-1)}$是稠密的.我们还建立了几个Schinzel型定理，其中一些是无条件的，关于$\frac{ϕ(p+1)}{ϕ(p)}$和$\frac{σ(p+1)}{σ(p)}$的行为，其中$σ$表示因子和函数。
Discrete Reanalysis of a New Model of the Distribution of Twin Primes
最近，我们介绍了一个新的双素数分布特征，由三个基本要素。这些是：孪生子最自然地被看作是素数本身的子序列，序列中特定素数是孪生子的第一个元素的可能性类似于固定概率随机事件，并且这种概率以简单的方式随着$π_{1}$而变化，$π_{1}$是直到这个数字的素数计数。我们最初的研究使用了两个未经证实的假设：用连续的概率密度来模拟这个基本上离散系统是一致的，并且在连续分析中可以始终忽略素数分离的上限截止。该模型的成功为这些假设提供了后验依据。在这里，我们使用离散的形式主义进行分析-不通过积分-并明确包括自洽定义的截止。此外，我们重新制定了模型，以尽量减少所需的输入数据。
Symmetric primes revisited
一对奇素数被称为对称的，如果每个素数模它们的差全等于1。1996年弗莱彻、林格伦和第三作者的一个定理提供了一个上界，它给出了属于对称对的素数的个数。在本文中，该定理被改进到可能是最好的可能结果。我们还建立了存在无穷多个对称素数对。事实上，我们证明，对于每一个整数m至少2有一个字符串的m个连续的素数，其中任何两个形成一个对称对。
The Exceptional Set in Goldbach's Problem with Almost Twin Primes
我们考虑二元哥德巴赫问题中两个几乎孪生素数之和的例外集。我们的主要结果是一个省电界的特殊集的问题表示$m=p_1+p_2$，其中$p_1+2$有至多$2$素因子和$p_2+2$有至多$3$素除子。有三个主要成分的证明：一个新的转移原则，如方法筛，结合水平的分布估计Bjueri-Friedlander-Iwaniec和梅纳德的想法Drappeau产生节能，并概括的圆方法参数蒙哥马利和沃恩，采用筛的重量。
On quantitative analogues of the Goldbach and twin prime conjectures over F_q[t]
本文研究了将F_q [t]中一个n次首一多项式分解为F_q [t]中两个一元不可约多项式之和的方法。我们的主要结果是一个渐近公式的数量表示的情况下，当q是大的相比，n。在其有效性范围内，这个公式与理性背景下的启发式论证所建议的一致。我们也提出了类似的结果对一个类似的孪生素数猜想。
Twin Primes and a Primality Test by Indivisibility
在威尔逊定理中，一个数的素性取决于一个同余。我们提出了一个类似的测试，其中数m的素性取决于4（m-5）的不可分性！由m.这个定理的一个含义是两个数是孪生素数的充要条件，这个结果让人想起克莱门特定理，但涉及不可分割性。MSC：11 A41和11 A51。
A Friendly Intro to Sieves with a Look Towards Recent Progress on the Twin Primes Conjecture
这是我在2013年10月9日给布朗研究生研讨会的一次演讲的延伸和背景，名为“一个友好的介绍筛子，展望孪生素数猜想的最新进展。“在演讲中，我提到了几个筛子，有些细节很多，有些细节很少。我还讨论了几个结果，并建立在许多来源。我将在这里提供缺失的细节和/或来源以供额外阅读。
Artin Twin Primes
如果$g$ mod $p$生成群$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$，则我们说素数$p$是$g$的$\textit{Artin prime}$。对于适当选择的整数$d$和$g$，我们提出了素数$p \leq x$的渐近数$π_{d,g}(x)$的一个猜想，使得$p$和$p+d$都是$g$的Artin素数.特别是，我们确定了一类对$(d,g)$，其中$π_{d,g}(x) =0$。我们的结果表明，在普通素数对中，Artin素数对的分布在很大程度上受Poisson二项分布的支配。
Distribution law for twin primes amongst naturals
对描述孪生素数在自然数集合中分布的函数$π_2(x)$提出了一个假设。函数$π_2(x)$通过评估和经验$π_2^{\ast}(x)$到达，这是高度准确的测试。还讨论了其他几个问题。
Siegel zeros, twin primes, Goldbach's conjecture, and primes in short intervals
我们研究的分布素数下不太可能的假设，西格尔零存在。特别是，我们证明了\[ \sum_{n \leq X} Λ(n) Λ(\pm n+h) \]的渐近公式，它保持一致的$h = O(X)$。这样一个渐近公式以前只对固定的$h$得到过，在这种情况下，我们的结果定量地改进了Heath-Brown（1983）和Tao and Teräväinen（2021）的结果。由于我们的主要定理也适用于大的$h$，我们可以得出新的结果之间的联系西格尔零和哥德巴赫猜想和西格尔零和素数之间的几乎所有非常短的时间间隔。
A transference principle for systems of linear equations, and applications to almost twin primes
转移原则的绿色和陶使各种作者转移塞梅雷迪定理长期等差数列在密集集的各种稀疏集的整数，主要是稀疏集的素数。在本文中，我们提供了一个转移原则，适用于一般的仿射线性配置的有限复杂性。我们说明了广泛的适用性，我们的迁移原则的情况下，几乎孪生素数，我们的意思是陈素数或“有界间隙素数”，以及与情况下的素数的形式$x^2+y^2+1$。因此，我们表明，在这些素数的集合中，有限复杂性的线性方程系统的解的存在性是由自然局部条件决定的。这些应用程序依赖于最近的工作的最后两个作者的Bennieri-Vinogradov型估计的nilsequences。
Analog of the Skewes number for twin primes
本文报道了孪生素数$π_2(x)$与Hardy-Littlewood猜想$c_2\Li_2(x)$之差的符号变化的计算机研究结果。结果是，$π_2(x) - c_2\Li_2(x)$在$x$的出乎意料的低值处改变符号，并且对于$x<2^{42}$，存在超过90000次该差异的符号改变。证明了对于$x\in (1, T)$，$π_2(x) - c_2\Li_2(x)$的符号变化数由$\sqrt T/\log(T)$给出。
Some history about Twin Prime Conjecture
这篇文章是从一些书籍和论文中收集的信息，在大多数情况下保留了关于孪生素数猜想的原始句子。
On the Chowla and twin primes conjectures over $\mathbb F_q[T]$
利用几何方法，改进了Burgess界的函数域形式，证明了当限制到某些特殊子空间时，$\mathbb F_q[T]$上的默比乌斯函数可以被Dirichlet特征标所模拟.结合这些，我们得到了一个水平的分布接近$1$的默比乌斯函数的等差数列，并解决乔拉的$k$点相关猜想与大的均匀性的变化。利用Fouvry-Michel关于涉及默比乌斯函数的指数和的一个结果的函数域变体，得到了不可约多项式在$1/2$之外的一个分布水平，并以定量的形式建立了孪生素数猜想.所有这些结果对满足一个简单条件的有限域都成立。
Elliptic curves of twin-primes over Gauss field and Diophantine Equations
设$p, q$与$q-p=2$是孪生素数.考虑椭圆曲线E=E_σ：y^2 = x（x+σp）（x+σq）.（σ= \pm 1）。当σ=+1或$-1时，E=E_σ也记为E_+或E_-.这里确定了高斯域K=Q（\sqrt-1）（和有理域Q）上椭圆曲线E的Mordell-Weil群和秩，并给出了有关的丢番图方程和联立Pellian方程解的结果.上一篇文章[1]研究了Q上椭圆曲线E的算术结构，确定了Selmer群，得到了关于Mordell-Weil群、秩、Shafarevich-Tate群和扭子群的结果.
Statistical Bias in the Distribution of Prime Pairs and Isolated Primes
计算机实验表明，孪生素数倾向于集中在6的非平方倍数上，而不是集中在6的平方倍数上，相比之下，6的非平方倍数与6的平方倍数之比等于$π^2/3-1$，即约2.290。对于被孪生素数包围的6的倍数，该比率为2.427，这是相对于期望值测量的约$6.0\%$的相对差。对于孤立素数，也存在与该比率的期望值ca $1.9\%$的偏差。这表明素数的素数分布偏向于非平方数，这是一种以前很可能未知的现象。对于双胞胎，这导致非无平方数获得双胞胎总数的$1.2\%$。在孤立素数的情况下，非无平方数的这种多余数等于此类素数总数的$0.4\%$。上述数字是针对第一个$10^{10}$素数的，偏差显示出增长的趋势，至少对于孤立的素数来说是这样。
Prime isogenous discriminant ideal twins
本文研究了素数等价判别理想双生的分类，证明在数域中，当p∈{2,3,5,7,13}时，存在有限个这样的双生。
A Sieve for Cousin Primes
构造了一个距离为4的孪生素数的筛子，它们的形式为3（2 m +1）+/-2，其特征在于它们的孪生-4秩为2 m +1。它没有平价问题。非秩被标识为所有其他奇数，并使用奇素数p>=5计数。双4秩和非秩构成奇数的集合。非等级的规则允许收集关于它们的信息以获得双4等级的数量的Legendre类型的总和。由于其中有相当多的消去项，其主项的渐近律具有其系数的期望形式和大小。
A modification of the linear sieve, and the count of twin primes
本文提出一种满足强分解性质的线性筛法修改，将素数分布水平提升至 $x^{10/17}$，超越以往工作，并据此获得孪生素数计数新上界，实现自1986年以来最大改进。
Average twin prime conjecture for elliptic curves in arithmetic progressions
该研究将Koblitz关于椭圆曲线约化素数阶的平均孪生素数猜想推广到算术级数中的素数，得到了一致成立的渐近公式，且平均常数与理论预测一致。
Stewart's Theorem revisited: suppressing the norm $\pm 1$ hypothesis
设$γ$是次数为$2$的代数数，而不是单位单位根。本文证明了存在一个满足$ν_\mathfrak{p}(γ^n-1)\ge 1$的$\mathbb{Q}(γ)$的素理想$\mathfrak{p}$，使得$\mathfrak{p}$的有理素$p$比$n$增长快.
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