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关于类数为1的虚二次域定理的一个初等证明

An elementary proof of the theorem on the imaginary quadratic fields with class number 1

James E. Carter

备注：
22 pages
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AI总结：

本文通过将分裂素理想与二元二次型相关联，给出虚二次域类数为1定理的初等证明，并揭示了模4余1情形下的新必要条件。

摘要：

设 $D$ 是一个不为1的无平方因子整数。设 $K$ 为二次域 ${\mathbb Q}(\sqrt D)$。设 $δ\in \{1,2\}$，且当 $D\equiv 1 \pmod 4$ 时 $δ=2$。对 $K$ 中每个在 $K/\mathbb Q$ 中分裂的素理想 $\mathcal P$，我们关联一个二元二次型 $f_{\mathcal P}$，并证明：当 $K$ 为虚二次域时，$\mathcal P$ 为主理想当且仅当 $f_{\mathcal P}$ 表示 $δ^2$；当 $K$ 为实二次域时，$\mathcal P$ 为主理想当且仅当 $f_{\mathcal P}$ 表示 $\pm δ^2$。作为该结果的一个应用，我们得到了关于类数为1的虚二次域的著名定理的一个初等证明。该证明揭示了当 $D\equiv 1 \pmod 4$ 时虚二次域具有类数1的必要条件方面的一些新信息。

英文摘要：

Let $D$ be a square-free integer other than 1. Let $K$ be the quadratic field ${\mathbb Q}(\sqrt D)$. Let $δ\in \{1,2\}$ with $δ=2$ if $D\equiv 1 \pmod 4$. To each prime ideal $\mathcal P$ in $K$ that splits in $K/\mathbb Q$ we associate a binary quadratic form $f_{\mathcal P}$ and show that when $K$ is imaginary then $\mathcal P$ is principal if and only if $f_{\mathcal P}$ represents $δ^2$, and when $K$ is real then $\mathcal P$ is principal if and only if $f_{\mathcal P}$ represents $\pm δ^2$. As an application of this result we obtain an elementary proof of the well-known theorem on the imaginary quadratic fields with class number 1. The proof reveals some new information regarding necessary conditions for an imaginary quadratic field to have class number 1 when $D\equiv 1 \pmod 4$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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