On minimizers in the liquid drop model
Otis Chodosh, Ian Ruohoniemi
本文证明了在伽莫夫液滴模型中，体积不超过1的圆球是唯一的极小化子。
我们证明了体积小于等于1的圆球在伽莫夫液滴模型中具有唯一的极小化性质。
We prove that round balls of volume $\leq 1$ uniquely minimize in Gamow's liquid drop model.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Periodic energy minimizers for a one-dimensional liquid drop model
在中性情形下，我们重新证明了Ren和Wei关于一维液滴模型极小元周期性的一个结果。我们的证明适用于一般边界条件，也适用于非中性情况。
On minimizers of an anisotropic liquid drop model
我们考虑一个变种的伽莫夫的液滴模型与各向异性的表面能。在适当的规则性和椭圆率假设的表面张力，武尔夫形状是极小在这个问题中，当且仅当表面能是各向同性的。我们表明，对于光滑的各向异性，在小的非局域性制度，极小收敛到武尔夫形状$C^1$规范和量化的收敛速率。我们还获得了一个定量的扩展的能量周围的能量产生的几何稳定性结果的武尔夫形状的任何极小。对于某些晶体表面张力，我们可以确定整体极小值，并获得其精确的能量展开的非局域性参数。
A compactness lemma and its application to the existence of minimizers for the liquid drop model
古老的伽莫夫核能液滴模型作为变分法中的一个有趣问题重新焕发了生命：找到一个具有给定体积A的集合$Ω\subset \mathbb R^3$，使其表面积和库仑自能之和最小。一个球最小化前者，最大化后者，但猜想是，一个球总是一个最小化者-当有一个最小化者。即使是存在的极小这个有趣的几何问题还没有被证明一般。我们证明了能量除以$A$（每个粒子的结合能）的绝对极小值（在所有$A$上）的存在性。我们的工作的第二个结果是一个通用的方法来显示存在的最佳集的几何最小化问题，我们称之为“方法的失踪质量”。第三点是将拉回紧性引理从$W^{1,p}$推广到$BV$。
Anisotropic liquid drop models
我们介绍和研究某些变种伽莫夫的液滴模型，其中各向异性的表面能取代周长。在建立了极小解的存在性和不存在性结果后，分析了极小解的形状。在适当的规则性和椭圆率假设的表面张力，武尔夫形状是极小在这个问题中，当且仅当表面能是各向同性的。与此形成鲜明对比的是，武尔夫形状是某些晶体表面张力的独特最小化器。我们还介绍和研究了几个相关的各向异性排斥液滴模型，其中Wulff形状是小质量区的最小值。
Droplet breakup in the liquid drop model with background potential
我们考虑一个变种的伽莫夫的液滴模型，一般排斥里斯核和一个长期的吸引力的重量$Z$的背景潜力。背景势的加入作为液滴模型的正则化，因为它恢复了任意质量的极小值的存在。我们考虑小$Z$的制度和特点的极小结构的限制$Z\to 0$通过一个尖锐的渐近展开的能量。在研究这个极限的过程中，我们用“广义极小元”来刻画伽莫夫模型的所有极小化序列。
Existence and nonexistence in the liquid drop model
我们重新考虑了具有一般里斯位势的液滴模型。我们的新结果是存在的极小值的限制的最佳范围的参数。我们还证明了极小元的条件唯一性和重核的不存在性结果。
Existence of minimizers for a generalized liquid drop model with fractional perimeter
本文考虑了由分数周长和一般里斯位势组成的泛函的极小化问题，该泛函是Gamow液滴模型的推广。我们首先证明了存在极小值的任何体积，如果内核的里斯位势潜在的衰减速度比分数周长。其次，证明了当里斯位势的核在无穷远处为零时，任意体积的广义极小解的存在性。最后，我们研究了极小值的渐近行为时，体积趋于无穷大，我们证明了一个序列的极小收敛到欧几里德球的翻译，如果内核的里斯位势潜力衰减足够快。
Symmetry of uniaxial global Landau-de Gennes minimizers in the theory of nematic liquid crystals
我们研究单轴能量最小化的Landau-de Gennes理论内的三维球形液滴受垂面边界条件的液晶。我们工作在低温制度，并表明，单轴能量最小化必须有充分研究的径向刺猬解决方案在低温极限的结构。这一结果的直接后果是，朗道-德热纳能量最小化不能是纯粹的单轴足够低的温度。
Partial regularity for minimizers of singular energy functionals, with application to liquid crystal models
我们研究了变分法中某些奇异泛函极小化的部分正则性，其动机是球和马宗达最近对朗道-德热内能量泛函的修改。
Regularity of Minimizers for a General Class of Constrained Energies in Two-Dimensional Domains with Applications to Liquid Crystals
我们调查极小定义在一个有界域$Ω$在$\mathbb{R}^2$奇异约束能量泛函，包括球和Majumdar的修改的Landau-de Gennes Q-张量模型的液晶。我们证明了有限能量极小的正则性，并证明了它们在$Ω$的紧子域上的值域不与约束集的边界相交。
Regularity and the Behavior of Eigenvalues for Minimizers of a Constrained $Q$-tensor Energy for Liquid Crystals
我们调查极小定义在$\mathbb{R}^2$的Maier-Saupe Q-张量能量用于表征液晶配置的有界域。能量密度是奇异的，正如鲍尔和穆贾姆达尔对金斯堡-朗道Q-张量模型的修改一样，这样可以限制竞争态在物理上现实的范围内具有本征值。我们证明了极小化是正规的，在几个模型问题中，我们能够使用这种规律性来证明极小化具有严格的物理范围内的特征值。
On equilibrium shapes of charged flat drops
二维带电的、理想导电的液滴的平衡形状由几何变分问题控制，该问题涉及到模拟线张力的周长项和模拟库仑排斥的电容项。这里我们给出了这个变分问题的完全显式解。也就是说，我们表明，在固定的总电荷一个特定半径的球是唯一的全球最小的所有充分正规集在平面上。对于集的面积也是固定的，我们表明，球是唯一的极小，如果电荷是小于或等于一个临界电荷，而较大的电荷极小不存在。类似的结果适用于电位而不是电荷固定的液滴。
Large mass rigidity for a liquid drop model in 2D with kernels of finite moments
受Gamow液滴模型的启发，我们考虑了一个等周问题，其中标准周长$P(E)$被$P(E)-γP_\varepsilon(E)$代替，$0<γ<1$和$P_\varepsilon$是一个非局部能量，使得作为$\varepsilon$的$P_\varepsilon(E)\to P(E)$消失.我们证明了单位面积极小元是足够小的$\varepsilon>0$的圆盘。更确切地说，我们首先表明，在$2$维，极小必须凸，只要$\varepsilon$是足够小的。反过来，这意味着极小化有近似圆形的边界，也就是说，它们的边界是圆的一个小的Lipschitz扰动。然后，使用Fuglede型参数，我们证明了（在任意维$n\geq 2$）的单位球在$\mathbb{R}^n$是唯一的单位体积极小问题的中心近球集。因此，直到平移，单位圆盘是唯一的极小元。这个等周问题等价于伽莫夫引入的原子核液滴模型的推广，其中非局部排斥势由径向的、充分可积的核给出。在该公式中，我们的主要结果表明，如果内核的第一时刻小于一个明确的阈值，存在一个临界质量$m_0$，使任何$m>m_0$，磁盘是唯一的最小化区域$m$的翻译。这与通常的Riesz核的情况形成鲜明对比，其中该问题不允许临界质量以上的极小化。
The Liquid Drop Model with a Yukawa Potential: Existence of Minimizers and Sharp Stability of the Ball
该研究探讨带有汤川势的液滴模型，证明了不同参数下极小化子的存在性、球的唯一性及稳定性阈值，克服了汤川核非齐次性的技术难题。
Symmetry breaking in the liquid drop model with screened interactions
本文研究屏蔽Riesz型相互作用的液滴模型，证明截断库仑和汤川势下存在非球形连通极小元，并首次在三维径向核类中发现非径向极小元，实现对称性破缺。
Landau-De Gennes theory of nematic liquid crystals: the Oseen-Frank limit and beyond
我们研究了三维区域中单轴边界条件下连续Landau-De Gennes能量泛函的全局极小。我们分析了物理相关的小弹性常数的限制，并表明，全球极小收敛强烈，在$W^{1,2}$，一个全球极小的Oseen-Frank理论预测的单轴液晶恒定序参数。此外，收敛是均匀的内部的域，远离奇点的限制Oseen-Frank全球极小。我们得到了Landau-De Gennes全局极小值的特征值的收敛速率和特征向量的正则性的结果。我们还研究了双轴性和单轴性之间的相互作用，Landau-De Gennes的整体能量极小，并获得各种相关的数量，如双轴性参数和大小的可容许强双轴区域的估计。
Uniaxiality in the Landau-de Gennes theory of nematic liquid crystals
我们研究单轴能量最小的Landau-de Gennes理论的液晶，受Dirichlet边界条件。这种极小化的拓扑缺陷对应于相应的平衡场的零点。我们分别考虑二维和三维区域，研究了超导体的Landau-de Gennes理论和Ginzburg-Landau理论之间的对应关系。我们得到的缺陷集的位置和维数，缺陷集附近的极小配置文件的结果和研究的定性性质的单轴能量极小远离缺陷集，在物理相关的情况下，消失的弹性常数。在三维的情况下，我们建立了$C^{1,α}$ -收敛的单轴极小到一个极限调和映射，远离缺陷集，一些$0<α<1$。双轴极小的一些推广也进行了讨论。本工作的动机是研究液晶系统中的缺陷及其应用。
A variational model of charged drops in dielectrically matched binary fluids: the effect of charge discreteness
本文通过引入基本电荷离散性修正经典 Rayleigh 带电液滴模型的不适定性，证明广义极小化子的存在性，并给出显著低于 Rayleigh 模型的电荷数量阈值及两电荷宏观大液滴的显式解。
No compromise in the liquid drop model
本研究刻画Gamow液滴问题的极小化子，明确其相关性质。
Energy minimizers in a periodic phase transition model of light-matter interaction in nematic liquid crystals
本文研究向列液晶光–物质相互作用的一维非自治周期相变模型，分析双周期强迫下全局极小扭结的阈值、零点数及结构，并验证其与原 Oseen-Frank 模型定性一致。
Existence and stability for a non-local isoperimetric model of charged liquid drops
本文考虑一个与平衡时带电液滴形状有关的变分问题。我们表明，这个问题从来没有承认全球极小值保持体积的$L^1$扰动。这导致我们在更常规的竞争者类别中研究它，为此我们证明了极小化者的存在。然后，我们证明了球是唯一的解决方案，充分小的费用。
Small mass uniqueness in the anisotropic liquid drop model and the critical mass problem
本文获得了所有参数下各向异性原子液滴模型的小质量唯一性，并探讨了临界质量猜想。
The Oseen-Frank limit of Onsager's molecular theory for liquid crystals
本文研究了Onsager分子理论与Oseen-Frank理论之间的关系。在分子背景下，我们考虑了自由能，包括非局部分子相互作用的影响。通过对密度函数的二阶矩施加强锚定边界条件，证明了自由能全局极小解的存在性。此外，当重新标度的相互作用距离趋于零时，相应的全局极小值将收敛到一个单轴分布，其方向由Oseen-Frank能量的极小值描述。
Existence of minimizers and convergence of critical points for a new Landau-de Gennes energy functional in nematic liquid crystals
双折射液晶的Landau-de Gennes能取决于四个弹性常数$L_1$、$L_2$、$L_3$、$L_4$。在$L_4\neq 0$的情况下，Ball和Majumdar（Mol.结晶液结晶度、2010）发现了一个例子，物理学中的原始Landau-de Gennes能量泛函不满足一个非线性条件，这导致了数学中的一个问题，即建立能量极小的存在性。首先，我们引入了一个新的具有$L_4\neq 0$的Landau-de Gennes能量密度，它等价于单轴张量的Landau-de Gennes密度，并且对所有$Q$ -张量都满足能量条件.其次，我们证明了Landau-de Gennes系统的解可以逼近$Q$ -张量Oseen-Frank系统的解，而不需要使用能量极小。第三，我们开发了一种新的方法来推广Nguyen和Zarnescu（Calc.变种偏微分方程，2013年）收敛结果的情况下，非零弹性常数$L_2$，$L_3$，$L_4$。
Isoperimetric clusters with a liquid phase
本文研究湿泡沫的等周问题，提出松弛能量处理液体腔室坍缩为零厚度薄膜的情况，证明极小化序列极限的存在性与正则性，并揭示液体体积消失时能量收敛于干泡沫。
Local and Nonlocal Liquid Drop Models
我们考虑伽莫夫的液滴模型的原子核的一些扩展。我们提出了一个审查的经典模型，然后我们说明了一些最近的事态发展的非局部的变体，其中的周长项被替换的分数周长。
Microscopical justification of Solid-State Wetting and Dewetting
与Winterbottom问题相关的连续体模型，即，确定停留在衬底上的结晶液滴的平衡形状的问题，通过考虑液滴粒子在它们之间以及与固定衬底原子的原子相互作用的原子模型的$Γ$收敛，通过严格的离散到连续通道在二维中导出。作为一个副产品的分析的有效表达式的滴表面各向异性和滴/基板的粘附参数出现在连续模型的特征在于在原子势，这是选择的海特曼-Radin粘盘类型。此外，确定了仅取决于这种电势的阈值条件，以区分润湿状态，其中离散极小化物被明确地表征为包含在具有一个原子厚度的层中的配置，即，基底上的润湿层脱离去湿状态。在后一种制度中，也鉴于已证明的质量守恒的限制，因为原子的数量趋于无穷大，适当的缩放的原子模型的极小收敛（直到提取一个子序列和执行基板表面上的翻译）到一个有界极小的Winterbottom连续模型满足体积约束。
Non-spherical equilibrium shapes in the liquid drop model
证明了液滴泛函的一类体积约束临界点的存在性，这些临界点是柱对称的，但不是球对称的。该族从球分叉并与球交换稳定性。
Nonexistence of large nuclei in the liquid drop model
本文给出了液滴模型中不存在大核的简化证明，并给出了一个显式的边界。我们的界限是在一个因素的2.3的约束值，似乎是第一个定量的结果。
Low density phases in a uniformly charged liquid
本文研究了两嵌段共聚物熔体三维锐界面非屏蔽Ohta-Kawasaki模型中整体能量极小的宏观行为。该模型在研究中子星地壳中发现的高度压缩的核物质的结构时，也被称为核液滴模型，更广泛地说，它是能量驱动的图案形成系统的范例，在该系统中，由于短程吸引力和长程排斥力的竞争而产生空间秩序。在这里，我们调查的大体积行为的极小在低体积分数制度，其中一个预期的少数相的小液滴在大海中的多数相的周期性晶格的形成。在周期性的边界条件下，我们证明了所考虑的能量$Γ$ -收敛到一个能量泛函的极限“均匀化”措施与少数相组成的局部线性项和非局部二次项介导的库仑核。因此，渐近的质量的少数阶段在一个极小均匀地传播整个域。类似地，能量也均匀地分布在整个区域上，极限能量密度使每单位体积单个液滴的能量最小化。最后，我们证明了，在宏观极限的极小的连通组件的体积和直径的上界和下的通用常数，并且大多数收敛到极小的能量除以体积的整个空间问题。
Defects of liquid crystals with variable degree of orientation
我们证明了具有可变取向度的液晶的修正Ericksen能量的极小值的零点集由局部孤立点和只有200多个交叉点的Hölder连续曲线的有限并集组成。
An Improved Nonexistence Bound for the Liquid Drop Model
该研究针对Gamow液滴模型，利用毛细问题的几何周长不等式改进了Frank-Killip-Nam的不存在边界，证明A≥7.5时变分问题无极小值。
Liquid Drop Model for Nuclear Matter in the Low Density Limit
本文通过液滴模型在低密度极限下推导出核物质的基态能量渐进行为，并首次严格证明了天体物理中的gnocchi相。
Convergence of the TFDW Energy to the Liquid Drop Model
我们考虑两个非局部变分模型产生的物理背景。第一个是在原子和分子电离研究中引入的TFDW模型，第二个是伽莫夫在核结构背景下提出的具有外部势的液滴模型。已经观察到，这两个模型表现出许多相同的属性，特别是在极小值的存在和不存在方面。我们表明，在一个“尖锐的接口”缩放的系数和约束质量，TFDW能量伽玛收敛到液滴模型，为一般类的外部电位。最后，我们提出了一些后果的全球最小化的每个模型。
Liquid Drop Model for Nuclear Matter in the Dilute Limit
本文考虑了原子核与均匀电子背景相互作用的液滴模型。我们感兴趣的区域是当电子和核电荷密度之间的分数很小时。我们表明，在这个稀释极限的热力学基态能量给予领先的顺序由一个孤立的核。
A diffuse-interface Landau-de Gennes model for free-boundary problems in the theory of nematic liquid crystals
本文提出带自由边界的三维向列型液晶扩散界面Landau-de Gennes模型，证明极小元的存在性、正则性、最大值原理与小区域唯一性，并通过$Γ$-收敛建立尖锐界面极限，辅以数值实验验证。
On well-posedness of variational models of charged drops
众所周知，带电液体易于发生各种界面不稳定性，从而导致表观界面奇异性和液体破碎的发生。在导电液体的情况下，描述平衡界面配置和不稳定性的开始的基本模型之一假设液体是等电位的，并将这些配置解释为由表面能和静电能之和组成的能量的局部最小值。在这里，我们表明，令人惊讶的是，这个经典的几何变分模型在数学上是不适定的，而不管液体带电的程度。具体来说，我们证明了一个孤立的球形液滴是永远不会本地极小，无论多么小的是液滴上的总电荷，因为能量总是可以降低一个光滑的，任意小的变形液滴的表面。这与实验观察结果形成鲜明对比，实验观察结果表明，为了使球形液滴不稳定，需要临界量的电荷。我们讨论了几种可能的正则化机制所考虑的自由边界问题，并认为适定性可以恢复列入熵的影响，导致有限的自由电荷屏蔽。
Symmetry and multiplicity of solutions in a two-dimensional Landau-de Gennes model for liquid crystals
本文考虑了半径为$R$的圆盘中的双折射液晶理论中的二维变分Landau-de Gennes模型。我们证明了在对称边界条件下，对于给定的{ \bf偶}非零整数$k$，带有度为$\frac{k}{2}$的拓扑亏损，对于所有足够大的$R$，存在两个极小元.我们表明，极小不继承完整的对称结构的能量泛函和边界数据。我们进一步证明了至少有五个对称的临界点。
Biaxiality in the asymptotic analysis of a 2-D Landau-de Gennes model for liquid crystals
考虑二维有界区域上的Landau-de Gennes变分问题，其边界条件为Dirichlet光滑边界条件.我们证明了极小元在奇点附近是最大双轴的，即它们的双轴性参数达到最大值$1$。此外，我们还讨论了极小解在弹性常数为零的极限下的收敛性。我们的渐近分析是在一个一般的设置，恢复Landau-de Gennes问题作为一个特定的情况下。
On the Shape of Small Liquid Drops Minimizing Nonlocal Energies
本文研究势能作用下分数周长极小化问题中小液滴的平衡形状，并通过定量估计证明小体积极小元具有凸性且一致逼近球体。
A Landau-de Gennes Type Theory for Cholesteric-Helical Smectic-Smectic C* Liquid Crystal Phase Transitions
本文提出一种改进的Landau-de Gennes理论，用于研究温度驱动的胆甾型-螺旋取向相-取向C*相转变，并通过数学分析和数值模拟验证了相变过程。
Spherical particle in a nematic liquid crystal under an external field: the Saturn ring regime
我们考虑一种占据球形粒子外R^3区域的液晶，它具有径向强锚定。在Landau-de Gennes理论的背景下，我们研究极小受一个强大的外部场，建模的一个额外的长期，有利于平行于该领域的对齐。当外场足够高时，我们得到能量的标度律。能量尺度对应于极小化者将其能量集中在粒子周围的边界层中，具有四极对称性。这表明在粒子周围存在土星环缺陷，而不是典型的点缺陷的偶极指向矢场。
Falling drop in an unbounded liquid reservoir: Steady-state solutions
本文研究了在重力作用下，三维液滴在无界贮液池中自由运动的运动方程。如果两种液体的（恒定）密度足够接近，则存在稳态解。证明是基于一个适当的线性化方程。引入了函数空间的一个集合，其中相应的线性算子充当同胚。
A charged liquid drop model with Willmore energy
针对天然带电液滴变分模型不适定的问题，研究人员提出在周长项中加入Willmore型能量使问题恢复适定性，并证明了小电荷下液滴呈球形。
Liquid drops sliding down an inclined plane
本文研究了一个描述液滴沿斜面滑动的一维模型（所谓的准静态近似模型）。我们证明了一个解决方案的存在性和唯一性，并研究其长期行为的均匀和非均匀介质（即常数和非常数接触角）。我们也得到了一些均匀化的结果。
Liquid Drops on a Rough Surface
我们考虑一个液滴坐在一个粗糙的固体表面上的平衡，一个体积约束的总界面能极小。这种液滴的大尺度形状强烈依赖于固体表面的微观结构。表面粗糙度增强了表面的亲水性和疏水性，改变了液滴和表面之间的平衡接触角。我们的目标是了解液滴的形状与固定的小尺度粗糙度。为了实现这一目标，我们开发了一个定量描述的滴和它的接触线的背景下，定期均匀化理论，建立在定性理论的Alberti和DeSimone。
Minimality of the ball for a model of charged liquid droplets
我们推断，荷电液滴最小化Debye-Hückel型自由能是球形的小电荷制度。变分模型由Muratov和Novaga在2016年提出，以避免经典模型的不适定性。通过结合最近的（部分）正则性结果与Cicalese和Leonardi的选择原理，我们证明了球是唯一的极小在小电荷区。
Some remarks on nonexistence in the Gamow liquid drop model
本文针对Gamow液滴模型，研究其极小值问题，证明渐近状态下极小值需满足最优厚度性质，且在立方体拼接的简化情形中，大质量时全参数范围均不存在极小值。
Two dimensional liquid crystal droplet problem with tangential boundary condition
本文研究了一个形状最优化问题，它归结为一个包含周长的非局部自由边界问题。它是由切向锚定边界条件和体积约束的液晶液滴的研究。我们在2D中建立了边界上有两个尖点的最佳形状的存在性。我们还证明了液滴的边界是一条弦弧曲线，其法向量场在VMO空间中。事实上，这种液滴的边界曲线属于所谓的Weil-Petersson类。此外，还研究了体积变得极大或很小时最优形状的渐近行为。
Symmetry properties of minimizers of a perturbed Dirichlet energy with a boundary penalization
我们考虑域$Ω\subset\mathbb{R}^N$上的$\mathbb{S}^2$ -值映射在$Ω$上具有垂直惩罚和在$\partialΩ$上具有水平惩罚的情况下最小化Dirichlet能量的扰动.我们首先使用庞加莱型不等式证明了在特定的物理参数范围内的普适常数组态的全局极小性。然后，我们证明了任何能量极小采取其值到一个固定的子午线的球$\mathbb{S}^2$，并推出的唯一性极小适当的对称群的行动。我们还证明了一个比较原则，具有不同的惩罚极小。最后，我们将这些结果应用到一个球上的问题，并显示径向对称性和单调性的极小。在尺寸$N=2$我们的结果可以应用到Oseen-Frank能量的液晶和微磁能在薄膜制度。
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