临界神经场动力学中的多标度性

随机Levy矩阵的局域化跃迁：局域相和临界态特征向量的多重分形

Localization transition in random Levy matrices : multifractality of eigenvectors in the localized phase and at criticality

对于$N \times N$大小的随机Lévy矩阵，其中矩阵元素具有重尾分布$P(H_{ij}) \propto N^{-1} |H_{ij} |^{-1-μ}$和$0<μ<2$（无穷方差），存在大量的有限特征值$E=O(1)$，而最大特征值增长为$E_{max} \sim N^{\frac{1}μ}$。在这里，我们通过一些强无序微扰展开，研究了相应的本征向量的局域化性质，这些微扰展开在局域化相位内保持一致，并产生它们的逆参与比（I.P.R.）。作为连续参数$0<q<+\infty$的函数的PDMATHAMR。在区域$0<μ<1$，我们发现，所有的特征向量的本地化，但显示一些多重分形：IPR是有限的一些阈值$q>q_c$以上，但在区域$0<q<q_c$附近的起源发散。在区域$1<μ<2$中，只有对应于区域$| E| \geq N^{\frac{(μ-1)}{μ(2+μ)}} $的最大本征值的次广延部分$N^{\frac{3}{2+μ}}$保持定域，而更小能量的其他状态的广延部分是离域的。对于大量的有限本征值$E=O(1)$，因此在对应于柯西矩阵的临界值$μ_c=1$处发生定域/离域转变：相应临界本征态的逆参与比$Y_q$遵循由广义分形维数$D^{criti}(q) = \frac{1-2q}{1-q} θ(0 \leq q \leq \frac{1}{2})$表征的强多重分形谱，这…

用随机矩阵系综描述无限维度下Anderson转变的临界行为：对数多重分形与临界局域化

Describing the critical behavior of the Anderson transition in infinite dimension by random-matrix ensembles: logarithmic multifractality and critical localization

本文通过两个随机矩阵系综，结合解析与数值方法，揭示无限维度Anderson转变中的对数多重分形和临界局域化两类临界行为，为研究无限维量子无序系统及多体局域化转变提供普适框架。

受击转子在Anderson转变临界点处的多重分形性

Multifractality of the kicked rotor at the critical point of the Anderson transition

我们表明，量子波包表现出尖锐的宏观峰，因为它们在附近的安德森转变的临界点传播。峰给出了一个直接访问的多重分形性质的波函数，特别是多重分形维数$d\_2$。我们的分析是基于一个实验上可实现的设置，量子踢转子与准周期性的时间驱动，一个有效的三维无序系统最近利用探索物理的安德森转变与冷原子。

量子临界扩散和分形上经典随机游动中的Levy飞行和多重分形

Levy flights and multifractality in quantum critical diffusion and in classical random walks on fractals

本文采用维里展开方法计算了强多重分形极限下临界随机矩阵系综的延迟密度关联函数（广义扩散传播子）。我们发现，长程性质的哈密顿量是一个共同的根源，多重分形和列维飞行，显示在幂律的中间和长距离的行为，分别是密度关联函数。我们回顾了某些模型的经典随机游走分形和显示的相似性的密度关联函数在他们的量子问题所描述的随机临界长程哈密顿。

类属无序Weyl半金属-扩散金属相变的多重分形

Multifractality at the Weyl semimetal-diffusive metal transition for generic disorder

Weyl半金属是一种三维拓扑无隙相。在足够强的无序的存在下，它经历了一个量子过渡到扩散的金属相，其普适性类取决于无序相关的范围。与其他由无序驱动的量子跃迁类似，半金属-扩散金属跃迁的临界波函数也呈现多重分形。利用重整化群方法，我们研究了包括随机标量势和矢量势的一般无序的多重分形谱随无序关联范围的变化。我们还讨论了临界波函数的几何涨落与局域态密度（DOS）在跃迁处的宽分布之间的关系。我们推导出一个新的标度关系的典型的本地DOS，并认为它适用于其他无序驱动的过渡，其中平均和典型的本地DOS消失的过渡的一侧。作为一个例子，我们把它应用到最近讨论的非常规量子跃迁在无序半导体的幂律色散关系附近的带边。

纠缠链中的电子：小世界临界点的多重分形

Electron in a tangled chain: multifractality at the small-world critical point

我们研究了一个简单的模型，其中一个单一的电子传播通过一个随机缠结的链导电聚合物。该模型具有小世界网络的几何结构，具有小密度的$p$的交叉链作为电子的shortcuts.我们使用数值对角化和简单的分析参数来讨论态密度，逆参与比和波函数。我们认为，有一个临界点在$p=0$和演示有限尺寸标度的能量和波函数在较低的频带边缘。波函数是多重分形的。由于小世界效应，相关长度的临界指数与临界性是一致的，与先前讨论的维数驱动的安德森转变不同。

多体局域化跃迁：定域算子矩阵元的强多重分形谱

Many-Body-Localization Transition : strong multifractality spectrum for matrix elements of local operators

对于一维短程无序量子模型，通过对多体背景的适应，分析了多体局域化[M. Serbyn，Z. Papic和D.A. Abanin，PRX 5，041047（2015）]关于安德森跃迁的无干扰观点：问题是两个长链之间的局部相互作用是否能够完全重新洗牌本征态（具有体积律纠缠的离域相）或者张量态之间的杂交是否仍然有限（具有面积律纠缠的多体定域相）。因此，中心目标是由局部算子的矩阵元素引起的杂交水平，与对角能量的差异相比。这些矩阵元素的本地运营商的多重分形分析用于分析相应的统计共振。我们的主要结论是，临界点的特点是强多重分形谱$f(0 \leq α\leq 2)=\fracα{2}$，众所周知的背景下，安德森局域化在有效无限维的空间，其中的希尔伯特空间的大小与体积呈指数增长。最后，讨论了临界附近存在离域非遍历相的可能性。

二维Anderson金属-绝缘体相变中反射角的角多重分形和共形不变性

Corner Multifractality for Reflex Angles and Conformal Invariance at 2D Anderson Metal-Insulator Transition with Spin-Orbit Scattering

研究了二维无序非相互作用电子自旋轨道散射系统中Anderson金属-绝缘体相变临界波函数的边界多重分形性质。我们用数值方法证明了在开角θ=3π/2的角点处的多重分形指数与直边界附近的多重分形指数以共形对称的方式直接相关。这一结果推广了我们以前关于θ< π到θ> π的角多重分形的数值结果，并进一步证明了临界点的共形不变性.我们还对A的对称关系的有效性提出了一个改进。D. Mirlin等人，物理修订信函\textbf{97}（2006）046803，用于拐角。

多重分形引起的非均匀超导体的全局临界温度

Global critical temperature in inhomogeneous superconductors induced by multifractality

从实验和数值模拟中，越来越多的证据表明，充分无序的超导体的一个关键特征是序参量的空间不均匀性。然而，关于其空间分布的细节或相关的全球临界温度的分析所知不多，这是长程序破坏的信号。在这里，我们解决这个问题的无序系统周围的安德森转变的特点是多重分形单体本征态。在弱多重分形的极限下，对于弱耦合超导体，我们解析地计算了超导序参量，包括它的能量依赖性和空间统计分布。发现序参量的空间分布总是对数正态分布。全局临界温度，计算的渗流技术和忽略相位波动，是提高相对于清洁的限制，只有非常弱的耦合超导体。一些增强仍然存在，即使在适度的相位波动粗糙建模通过增加渗流阈值的存在下。我们的结果也与实验一致，其中观察到的临界温度的增强Al薄膜，一个非常弱的耦合金属超导体，但不是在更强的耦合材料。

相干前向散射作为临界无序介质中多重分形性的稳健探针

Coherent forward scattering as a robust probe of multifractality in critical disordered media

研究临界无序系统中本征态为多重分形的相干前向散射（CFS），证明其峰动力学由多重分形维度$D_1$和$D_2$决定，并在PRBM、RS和3DKR三种模型中验证了该普适性预测，表明CFS可作为量子多重分形性的实验探针。

局域化跃迁的纠缠熵和多重分形

Entanglement entropy and multifractality at localization transitions

von Neumann纠缠熵是表征量子相变的一个有用的度量。我们研究了非相互作用电子系统中无序主导的量子相变中熵的非解析性。在这些临界点上，冯诺伊曼熵由单个粒子的波函数强度决定，它表现出复杂的标度不变波动。我们发现，多重分形的概念自然适合于研究临界波函数的冯诺伊曼熵。我们对三维安德森局域化跃迁和整数量子Hall平台跃迁的数值模拟表明，多重分形分析可以很好地描述这些跃迁处的纠缠.

多标度性、渗透阈值和核反应堆的临界点

Multifractality, percolation threshold and critical point of a nuclear reactor

本文通过多标度模型分析核反应堆中子行为，揭示临界点与渗透阈值的关系，探讨链式反应的临界特性及应用。

双组分超冷玻色-爱因斯坦凝聚体中的选择性末态谱和多重分形：数值研究

Selective final state spectroscopy and multifractality in two-component ultracold Bose-Einstein condensates: a numerical study

我们建议使用Volchkov等人介绍的方法，基于态相关无序超冷玻色子，讨论了安德森局域化跃迁迁移率边缘的临界态，并观察了其有趣的多重分形结构。一个最佳设计的外部射频脉冲可以应用于产生过渡到本征态在一个狭窄的能量窗口接近的迁移率边缘，临界缩放和多重分形出现。双光子激光扫描显微镜将被用来解决个别本地化状态，甚至接近过渡。云的投影图像继承多重分形，并显示普遍的密度相关性。飞行时间的图像的激发态预测显示在本地化阶段的干涉条纹，而它们允许一个映射等能量表面深的金属相。

二维无序系统中的广义表面多重分形

Generalized surface multifractality in 2D disordered systems

本文将广义多重分形理论从体相推广到二维无序系统边界，通过非线性σ模型场论与数值模拟验证了表面临界指数关系，并揭示Anderson局域化临界点中共形不变性部分成立。

三维量子逾渗跃迁：态密度、有限尺寸标度和多重分形

Quantum percolation transition in 3d: density of states, finite size scaling and multifractality

基于本征态的多重分形分析，数值研究了三维量子逾渗问题中金属-绝缘体相变的相图。本文对线性尺寸达到$L=140$的系统进行了大规模数值模拟。在$0\leq q\leq 1$范围内确定了多重分形维数，即指数$D_q$和$α_q$。我们的结果证实了该问题与三维Anderson模型属于同一普适类，其局域化长度的临界指数为$ν=1.622\pm 0.035$ .多重分形函数$f(α)$似乎是普适的，然而，指数$D_q$和$α_q$沿相界$p_c^Q(E)$产生异常变化。

自旋量子霍尔跃迁的多重分形

Multifractality at the spin quantum Hall transition

本文用数值方法和解析方法研究了自旋量子霍尔跃迁临界波函数的统计性质。它表明，指数$η$表征波函数相关的衰减等于1/4，在方差与$r^{-1/2}$衰减的扩散传播。本征函数和两点电导的多重分形谱被发现是接近抛物线，$Δ_q\simeq q(1-q)/8$和$X_q\simeq q(3-q)/4$。

三维Wigner-Dyson对称类Anderson跃迁的有限尺寸标度和多重分形

Finite-size scaling and multifractality at the Anderson transition for the three Wigner-Dyson symmetry classes in three dimensions

在三维简单立方晶格中研究了无序诱导的金属-绝缘体转变，并比较了时间反转和自旋旋转对称性的存在和不存在，即在三个传统的对称类。为了获得带中心$E=0$的本征态，对线性尺寸高达$L=100$的系统进行了大规模数值模拟。在$-1\leq q\leq 2$范围内确定了多重分形维数，即指数$D_q$和$α_q$。广义多重分形指数的有限尺寸标度提供了不同对称类的临界指数，根据高精度传递矩阵技术的基础上从文献中已知的值。不同对称类的多重分形指数提供了安德森转变的进一步表征，这是从文献中失踪至今。

量子霍尔跃迁波函数的多重分形性

Multifractality of wavefunctions at the quantum Hall transition revisited

我们数值研究了整数量子霍尔跃迁波函数振幅$ψ({\bf r})$的统计特性。证明了在大系统尺寸范围内，$|ψ|^2$的分布函数服从对数正态分布，从而多重分形谱$f(α)$是精确的抛物线.我们的研究结果提供了强有力的支持，最近的猜想量子霍尔过渡的临界理论。

超度量随机矩阵系综中的安德森局域化跃迁和本征函数多重分形

Anderson localization transition and eigenfunction multifractality in ensemble of ultrametric random matrices

我们证明，通过考虑无序的单粒子哈密顿（或其随机矩阵版本）的超度量空间，可以产生一类有趣的模型表现出安德森金属-绝缘体转变。我们使用弱无序维里展开来确定参数的临界值，并计算逆参与比的多重分形指数的值。直接数值模拟同意有利的分析预测。

自旋量子霍尔跃迁的波函数统计与多重分形

Wave function statistics and multifractality at the spin quantum Hall transition

研究了自旋量子霍尔跃迁临界点处波函数的统计性质。重点是确定多重分形指数$Δ_q$的频谱管理缩放的时刻$<|ψ|^{2q}>\sim L^{-qd-Δ_q}$与系统大小$L$和空间衰减的波函数相关性。两点和三点相关函数的计算通过映射到经典的逾渗分析，产生值$Δ_2=-1/4$和$Δ_3=-3/4$。用抛物线近似$Δ_q\simeq q(1-q)/8$给出了数值模拟得到的多重分形谱，具有很好的精度，但有可检测的偏差。我们还研究了统计的两点电导$g$，特别是，频谱的指数$X_q$表征缩放的时刻$<g^q >$。讨论了临界态密度局域化跃迁时波函数临界指数（$Δ_q$）、电导临界指数（$X_q$）和格林函数谱之间的关系。

量子对数多重分形

Quantum logarithmic multifractality

本工作通过解析推导和数值模拟，发现在经历Anderson转变的有效无限维系统中存在对数多重分形行为，其特征为以系统尺寸或时间对数为变量的代数标度律，为多体局域化等复杂系统的有限尺寸效应和慢动力学提供了关键见解。

多体局域化跃迁的无量纲能量和多重分形

Thouless energy and multifractality across the many-body localization transition

通过一种新的动力学相变将热局域相和多体局域相分开。分析了无序自旋链中局域算符在多体局域化跃迁中的非对角矩阵元分布，并利用它来刻画本征态热化假设的破裂和提取多体无扰能量.我们发现一个宽的临界区域周围的MBLT，在那里的无源能量变得小于能级间距，而矩阵元素显示出关键的依赖于能量差。在同一区域内，矩阵元，作为一个虚构的波函数的振幅，表现出很强的多重分形。我们的研究结果表明，相关长度变得大于可访问的系统尺寸在很宽的范围内的无序强度值，并揭示了MBL系统的临界行为。

自旋轨道对称类中二维金属-绝缘体相变的多重分形性和共形不变性

Multifractality and Conformal Invariance at 2D Metal-Insulator Transition in the Spin-Orbit Symmetry Class

研究了二维自旋轨道（辛）普适类中非相互作用电子在金属-绝缘体相变（MIT）边界和拐角处的临界波函数的多重分形性.我们发现边界附近的MF指数与体块中的MF指数不同。在一个角落的指数被发现是直接相关的那些在一个直的边界通过共形不变性所产生的关系。这为二维自旋轨道MIT的共形不变性提供了直接的数值证据。即使在热力学极限下，边界的存在也会改变整个样品的MF。

Quartic multifractality and finite-size corrections at the spin quantum Hall transition

The spin quantum Hall (or class C) transition represents one of the few localization-delocalization transitions for which some of the critical exponents are known exactly. Not known, however, is the multifractal spectrum, $τ_q$, which describes the system-size scaling of inverse participation ratios $P_q$, i.e., the $q$-moments of critical wavefunction amplitudes. We here report simulations based on the class C Chalker-Coddington network and demonstrate that $τ_q$ is (essentially) a quartic polynomial in $q$. Analytical results fix all prefactors except the quartic curvature that we obtain as …

Weyl节环中无序驱动的多重分形跃迁

Disorder driven multifractality transition in Weyl nodal loops

本文用精确的数值方法研究了节线半金属中短程无序的影响。对于任意小的无序，揭示了一种新的半金属相，其基态波函数的动量空间振幅集中在节线周围，并遵循多重分形分布。在临界无序强度下，发生了半金属到可压缩金属的转变，与多到单的分形转变相一致。这个临界点的普适类由关联长度和动力学指数来表征。在相当高的无序度下，发生安德森金属-绝缘体转变。我们的研究结果表明，在非清洁样品中的半金属相的性质是从根本上不同的清洁节半金属。

Generalized multifractality at the spin quantum Hall transition: Percolation mapping and pure-scaling observables

This work extends the analysis of the generalized multifractality of critical eigenstates at the spin quantum Hall transition in two-dimensional disordered superconductors [J. F. Karcher et al, Annals of Physics, 435, 168584 (2021)]. A mapping to classical percolation is developed for a certain set of generalized-multifractality observables. In this way, exact analytical results for the corresponding exponents are obtained. Furthermore, a general construction of positive pure-scaling eigenfunction observables is presented, which permits a very efficient numerical determination of scaling expon…

金属-绝缘体和量子霍尔跃迁的波函数多重分形和退相

Wave function multifractality and dephasing at metal-insulator and quantum Hall transitions

分析了金属-绝缘体或量子霍尔型安德森跃迁附近电子-电子短程相互作用引起的退相速率的临界行为。相应的指数表征转变宽度随温度的标度。假设没有自旋简并，临界行为可以通过在非相互作用固定点附近进行标度分析来研究，因为后者相对于相互作用是稳定的。我们结合分析处理（包括识别运营商负责退相的形式主义的非线性西格玛模型和相应的重整化组分析$2+ε$尺寸）与数值模拟的量子霍尔过渡的Chalker-Coddington网络模型。最后，我们讨论了目前的理解库仑相互作用的情况下和现有的实验数据。

Anderson跃迁时波函数统计量的非线性依赖性

Dimensionality dependence of the wave function statistics at the Anderson transition

数值研究了三维和四维中Anderson相变临界波函数的统计特性。逆参与比（IPR）$P_q$的分布被证明在大系统尺寸的限制下获得标度不变的形式。多重分形谱管理的整体平均IPRs的缩放确定。有关IPR统计和多重分形在安德森过渡在一个高的空间维数的猜想制定。

Mott-Anderson金属-绝缘体相变库仑反常中的多重分形和量子-经典交叉

Multifractality and quantum-to-classical crossover in the Coulomb anomaly at the Mott-Anderson metal-insulator transition

我们研究了相互作用驱动的局域化跃迁，最近在Ga_{1-x} Mn_xAs As中的实验表明，局域态密度（LDoS）的多重分形行为和接近费米能级的临界关联的有趣的持久性。我们发现，这些现象的大部分可以理解的无序，库仑相互作用的无自旋费米子的Hartree-Fock治疗内。LDoS相关的标度分析表明多重分形与相关维数d_2=1.57，这是显着大于在非相互作用的安德森过渡。在相互作用驱动的转变中，费米能级的状态变得临界，而光谱的大部分仍然离域，直到相互作用大大增强。随着相互作用强度的进一步增加，在很宽的无序强度范围内，迁移率边缘保持接近费米能。的本地化过渡是伴随着量子到经典的交叉的形状的伪间隙中的隧穿态密度，并与扩散的亚稳态HF解决方案，建议发病的玻璃状政权与不良的屏蔽性能。

量子霍尔跃迁的多重分形：超越抛物范式

Multifractality at the quantum Hall transition: Beyond the parabolic paradigm

我们提出了一个超高精度的数值研究的多重分形指数$Δ_q$表征异常标度的波函数矩$<|ψ|^{2q}>$在量子霍尔过渡的频谱。结果读取为$Δ_q = 2q(1-q)[b_0 + b_1(q-1/2)^2 + ...]$、$b_0 = 0.1291\pm 0.0002$和$b_1 = 0.0029\pm 0.0003$。主要的发现是光谱并不完全是抛物线，即$b_1\ne 0$。这就排除了最近提出的一类Wess-Zumino-Witten型理论，即量子霍尔临界点的共形场论。

任意维度下Anderson转变中的共形不变性与多重分形

Conformal Invariance and Multifractality at Anderson Transitions in Arbitrary Dimensions

在共形不变性和阿贝尔融合假设下，利用共形bootstrap框架推导约束，证明任意维度下Anderson转变的多重分形谱必须是其自变量的二次函数。

Generalized multifractality at metal-insulator transitions and in metallic phases of 2D disordered systems

We study generalized multifractality characterizing fluctuations and correlations of eigenstates in disordered systems of symmetry classes AII, D, and DIII. Both metallic phases and Andersonlocalization transitions are considered. By using the non-linear sigma-model approach, we construct pure-scaling eigenfunction observables. The construction is verified by numerical simulations of appropriate microscopic models, which also yield numerical values of the corresponding exponents. In the metallic phases, the numerically obtained exponents satisfy Weyl symmetry relations as well as generalized p…

幂律衰减本征态中的涌现多重分形

Emergent multifractality in power-law decaying eigenstates

本文提出基于本征态幂律衰减的通用原则以区分分形相与真正的多重分形相，并在一维非均匀紧束缚模型中解析计算分形维数谱，与数值模拟吻合。

Operator scaling dimensions and multifractality at measurement-induced transitions

Repeated local measurements of quantum many body systems can induce a phase transition in their entanglement structure. These measurement-induced phase transitions (MIPTs) have been studied for various types of dynamics, yet most cases yield quantitatively similar values of the critical exponents, making it unclear if there is only one underlying universality class. Here, we directly probe the properties of the conformal field theories governing these MIPTs using a numerical transfer-matrix method, which allows us to extract the effective central charge, as well as the first few low-lying scal…

具有长程跳跃的安德森局域化跃迁：用加权Levy和分析强多重分形区

Anderson localization transition with long-ranged hoppings : analysis of the strong multifractality regime in terms of weighted Levy sums

对于Anderson紧束缚模型在$d$维随机现场能量$ε_{\vec r}$和临界长程跳跃典型$V^{typ}(r) \sim V/r^d$衰减，我们表明，强多重分形制度对应于小$V$可以通过标准的量子力学中的本征向量微扰理论进行研究。逆参与比$Y_q(L)$是安德森跃迁的序参量，可以用广泛分布变量的加权Lévy和来表示（这是微扰理论中随机能的结果）。我们计算在领导秩序的典型和无序平均的多重分形谱$τ_{typ}(q)$和$τ_{av}(q)$作为$q$的函数。对于$q<1/2$，我们得到非零极限谱$τ_{typ}(q)=τ_{av}(q)=d(2q-1)$为$V \to 0^+$。对于$q>1/2$，该方法产生与先前由Mirlin和Evers [Phys.Rev.B62，7920（2000）]通过Levitov重整化方法获得的相同的$O(V)$阶的无序平均谱$τ_{av}(q)$。此外，它允许明确地计算典型的频谱，也是$O(V)$阶，但对于所有$q>q_c=1/2$具有不同的$q$依赖性$τ_{typ}(q) \ne τ_{av}(q)$。因此，我们发现，相应的奇异谱$f_{typ}(α)$和$f_{av}(α)$不同，甚至在积极的区域$f>0$，并消失在不同的值$α_+^{typ} > α_+^{av}$，与标准的图片。我们还得到了勒让德变换的鞍值$α_{typ}(q)$到达终…

巴克豪森雪崩的普适性与多重分形的坍缩

Universality and the collapse of multifractality in Barkhausen avalanches

铁磁材料中的巴克豪森效应为研究出现裂纹噪声的无序系统中的标度现象提供了一个很好的领域。临界动力学的特点是随机脉冲或雪崩与标度不变的属性，幂律分布，和普遍的功能。然而，传统的巴克豪森雪崩统计可能不足以完全表征磁畴壁动态的复杂的时间相关性。在这里，我们超越幂律和专注于多重分形的情况下，以量化巴克豪森雪崩的多晶和非晶铁磁薄膜的厚度从$50$ nm到$1000$ nm的时间标度特性。我们发现，多重分形性质依赖于膜的厚度，和不敏感的材料的结构特征。此外，我们首次观察到随着厚度的减小，畴壁动力学中的多重分形的崩溃，并且在整个时间尺度范围内，多重分形行为让位于单分形行为。巴克豪森雪崩的时间标度特性的重组被理解为与从三维到二维磁化动力学的维度过渡相关的普遍重组。

准周期系统局域化跃迁处的输运、多重分形和单参数标度的破裂

Transport, multifractality, and the breakdown of single-parameter scaling at the localization transition in quasiperiodic systems

人们对准周期系统中的局部化现象重新产生了兴趣，目的是研究它们与随机系统中的这种现象有何根本区别。在此基础上，我们研究了准周期一维Aubry-Andre模型及其推广到二维和三维的输运。我们研究了开放系统的电导，连接到引线，以及无引线电导，它测量了封闭系统对边界扰动的响应。我们发现，这些电导显示的签名的金属-绝缘体过渡从绝缘体，与本地化的状态，到金属，与扩展状态具有（a）弹道输运（1d），（b）超扩散输运（2d），或（c）扩散输运（3d）;正是在过渡，系统显示亚扩散临界状态。我们计算的β函数$β(g) = dln(g)/dln(L)$，并表明，在一维和二维，单参数标度是无法描述的过渡。此外，电导随L的变化呈现出强烈的非单调性，并呈现出复杂的共振峰和次峰结构。在一维中，这些峰的位置可以精确地与表征势的准周期性的数的性质相联系，而无扰电导的L依赖性是多重分形的。我们发现，随着d的增加，g对L的非单调依赖性减小，并且在3d中，我们对$β(g)$的结果相当好地近似于单参数标度。

二维空间中安德森局域化跃迁的共形不变性、多重分形和有限尺寸标度

Conformal invariance, multifractality, and finite-size scaling at Anderson localization transitions in two dimensions

我们推广了多重分形指数α_0与典型波函数振幅标度之间的普遍关系。（Anderson）定域-离域跃迁和准一维（Q1 D）几何中典型定域长度的临界有限尺寸标度（FSS）振幅Λ c：（i）当在Q1 D样品的横向方向上施加开放边界条件时（条带几何形状），结果表明，对应的临界频率选择表面振幅Λ c^o与边界多重分形指数α_0^普遍相关s表示沿直线边界（表面）的典型波函数振幅。(ii)我们进一步提出了这些普遍的关系，这些对称类的状态密度在过渡消失的一般化。(iii)我们验证我们的广义关系[方程。(6)和（7）]数值计算了以下四种类型的二维Anderson跃迁：（a）自旋轨道（辛）对称类中的金属到（普通绝缘体）跃迁，（b）自旋轨道（辛）对称类中的金属到（Z_2拓扑绝缘体）跃迁，（c）整数量子Hall坪跃迁，和（d）自旋量子Hall坪跃迁。

Scaling of Fock-space propagator and multifractality across the many-body localization transition

We implement a recursive Green function method to extract the Fock space (FS) propagator and associated self-energy across the many-body localization (MBL) transition, for one-dimensional interacting fermions in a random onsite potential. We show that the typical value of the imaginary part of the local FS self-energy, Δ_t, related to the decay rate of an initially localized state, acts as a probabilistic order parameter for the thermal to MBL phase transition; and can be used to characterize critical properties of the transition as well as the multifractal nature of MBL states as a function o…

整数量子霍尔转变中的多重分形性：抛物线律的平反

Multifractality at the Integer Quantum Hall Transition: Acquittal of the Parabolic Law

通过指出局域波强度幂次不满足高斯自由场和阿贝尔融合假设，基于非阿贝尔有效场论，推导出点接触生成本征态的q矩精确表达式，数值验证与共形对称性预测一致。

量子自旋霍尔效应的Z_2网络模型：二维狄拉克费米子、拓扑量子数和角多重分形

The Z_2 network model for the quantum spin Hall effect: two-dimensional Dirac fermions, topological quantum numbers, and corner multifractality

量子自旋霍尔效应与电荷的量子霍尔效应有许多相似之处（也有一些重要的区别）。与量子（电荷）霍尔效应一样，体物理和边界物理之间存在对应关系，允许以不同和互补的方式表征量子自旋霍尔效应。本文从描述量子自旋霍尔效应的网络模型，即所谓的Z_2网络模型出发，导出了二维Dirac哈密顿量。在Dirac哈密顿量的干净极限下，我们证明了体Kane-Mele Z_2不变量是由占据的Dirac-Bloch单粒子态的SU（2）Berry联系构成的SU（2）威尔逊圈.在无序的存在下，非线性西格玛模型（NLSM），这是来自这个狄拉克哈密顿描述了一个金属-绝缘体过渡的标准二维辛普适类。特别是，我们表明，费米子加倍防止存在的拓扑项的NLSM，将改变普通的二维辛金属-绝缘体过渡的普适性类。这一分析结果与我们以前用Z_2网络模型对金属-绝缘体相变体临界指数的数值研究结果完全一致。最后，我们改进了Z_2拓扑绝缘体中边界多重分形的数值研究。我们表明，在金属-绝缘体过渡的二维共形不变性的假设验证我们的数值结果的准确性。

临界能级统计和Anderson跃迁的非线性定域态

Critical level statistics and anomalously localized states at the Anderson transition

我们研究了安德森跃迁的能级间距分布函数$P(s)$，注意到在临界点的统计特性的非线性局域态（ALS）。发现ALS能级对的分布$P(s)$与典型多重分形态对的分布一致。这意味着ALS不影响临界能级间距分布函数的形状。我们还表明，$P(s)$ ALS的不敏感性是ALS的尾部结构的多重分形的后果。

幂律键无序Anderson模型的临界波包动力学

Critical wave-packet dynamics in the power-law bond disordered Anderson Model

研究了跳跃振幅按$H_{nm}\propto |n-m|^{-α}$递减的幂律键无序一维Anderson模型的波包动力学.我们考虑临界情况（$α=1$）。利用有限链上的精确对角化方法，我们计算了所有定态能量本征态的参与矩以及初始定域波包的扩展。本征态多重分形是由参与矩的分形维数集来表征的。该波包显示出一个类似扩散的扩展，发展出幂律尾部，并在链边界反射后获得一个稳定的非均匀分布。因此，随时间变化的参与时刻表现出两种不同的标度制度。我们制定了一个有限尺寸标度假设的参与时刻有关的标度指数的回报概率和波函数幂律衰减。

度量结构人脑连接组：特征模态的局域化与多重分形性

Metric structural human connectomes: localization and multifractality of eigenmodes

本研究通过谱分析揭示人脑连接组的度量特性，提出生成模型复现关键特征，并发现多重分形模态与临界行为，支持大脑处于格里菲斯或多重分形相。

广义SSH模型中孤立扩展态与异常临界行为

Isolated extended states and anomalous critical behavior in the generalized SSH model

研究广义SSH模型中扩展态的局域特性，发现无界跃迁保护的扩展态，但泛化非共线零点破坏其保护，导致扩展相转为多标度相，边界仍存在扩展态，与多标度富集运动边分离多标度相与局域相，揭示扩展态源于SSH模型带边态，影响邻近能级本征态，引发异常扩展-多标度临界转变。

安德森转换

Anderson Transitions

综述了无序系统中局域相和金属相之间的Anderson相变物理。“安德森转变”一词应从广义上理解，包括金属-绝缘体转变和具有局域态的相之间的量子霍尔型转变。重点介绍了临界波函数的多重分形性、幂律随机带状矩阵模型中的临界性、无序电子系统的对称性分类、准一维和二维系统中的临界机制以及相应的临界理论、网络模型和随机Dirac哈密顿量的综述。分析方法得到了先进的数值模拟的补充。

三维Anderson模型中金属-绝缘体相变的多重分形分析I：典型平均下的对称性关系

Multifractal analysis of the metal-insulator transition in the 3D Anderson model I: Symmetry relation under typical averaging

在三维Anderson局域化模型中，临界本征态在金属-绝缘体转变（MIT）处的多重分形性由其相关的奇异谱f（alpha）表征.最近在一维和二维临界系统中的工作提出了f（alpha）的精确对称关系。在这里，我们显示的有效性的对称性在安德森麻省理工学院的高数值精度和非常大的系统尺寸。我们讨论了必要的统计分析，支持这一结论。我们已经从广义逆参与率的典型平均值的盒子和系统大小标度中获得了f（alpha）。我们表明，最好的对称性f（alpha）的典型平均是通过系统大小的缩放，以下的策略，强调使用更大的系统尺寸，即使这需要更少的无序实现。

多发性硬化症中EEG信号的多重分形组织

Multifractal organization of EEG signals in Multiple Sclerosis

本研究对多发性硬化症患者的EEG信号进行多重分形分析，发现信号多重分形程度与残疾水平显著相关，与病程无关，提示其是疾病进展的标志，可能源于神经元代偿机制。

含经典磁性杂质的Anderson金属-绝缘体相变

Anderson Metal-Insulator Transitions With Classical Magnetic Impurities

我们用数值方法研究了经典磁性杂质对Anderson金属-绝缘体相变的影响。我们发现，一个小浓度的海森堡杂质增强的临界无序振幅$W_{\rm c}$与交换耦合强度$J$。结果表明，与$J$的标度分析，支持Wegner的异常标度预测，由于时间反演和自旋旋转对称性的联合破缺。此外，我们发现磁性杂质的存在降低了临界关联长度指数$ν$，并提高了多重分形参数$α_0$。$ν$的新值提高了与在杂质半导体如磷光体掺杂硅中的金属-绝缘体转变（MIT）的实验中测量的值的一致性，其中已知在MIT附近存在有限密度的磁矩。结果是通过核多项式方法计算的局域态密度的几何平均值的有限尺寸标度分析得到的。我们建立了这种组合的数值技术作为一种方法来获得临界性质的无序系统定量。

强无序极限下的多体局域化跃迁：由稀有广泛共振统计得到的纠缠熵

Many Body Localization Transition in the strong disorder limit : entanglement entropy from the statistics of rare extensive resonances

显示多体定域化跃迁的一维无序相互作用量子模型的空间似乎足够丰富，可以产生临界点，其能级统计连续地在定域相的泊松统计和离域相的维格纳-戴森统计之间插值。本文考虑了MBL跃迁的强无序极限，其中临界能级统计接近泊松统计。我们分析了一维量子自旋模型，以确定使MBL相不稳定所需的罕见广泛共振的统计特性。在临界态下，我们发现纠缠熵可以以指数$0<α< 1$的形式增长，其增长率介于面积律$α=0$和体积律$α=1$之间，并且纠缠谱服从强多重分形统计.在临界附近的MBL阶段，我们得到了关联长度指数的简单值$ν=1$。独立于强无序极限，我们解释了为什么对于涉及单个本征态的多体局域化跃迁，关联长度指数$ν$不受通常的Harris不等式$ν= 0.8 (3)$的约束，从而与D. J. Luitz，N. Laflorencie和F. Alet，Phys. Rev. B 91，081103（2015）。

安德森转变时参与率倒数的涨落

Fluctuations of the inverse participation ratio at the Anderson transition

数值研究了幂律随机带状矩阵模型局域化转变临界点的逆参与比统计特性。结果表明，IPR分布函数是尺度不变的，具有幂律渐近“尾”。这种标度不变性意味着分形维数$D_q$是非波动量，与文献中最近的说法相反。最近提出的$D_2$和光谱压缩性$χ$之间的关系在强多重分形制度中被违反，$χ\to 1$在极限$D_2\to 0$中。

整数量子Hall坪跃迁的高斯自由场

Gaussian free fields at the integer quantum Hall plateau transition

本文提出了整数量子霍尔效应平台间跃迁临界波函数的有效高斯自由场描述。为此，我们阐述了我们以前的建议，权力的临界波强度准备通过点接触表现为纯标度场服从阿贝尔算子乘积展开。我们的论点采用共形场论的框架，特别是，导致多重分形谱是抛物线。我们还得到了一些新老身份，持有完全在晶格水平和铰链的对应关系的Chalker-Coddington网络模型和超对称顶点模型。

AIII类拓扑相表面的全谱量子临界性：整数量子霍尔平台跃迁的“能量堆”

Spectrum-wide quantum criticality at the surface of class AIII topological phases: An "energy stack" of integer quantum Hall plateau transitions

在没有自旋-轨道耦合的情况下，传统的安德森局域化理论认为所有的态都局域化在二维空间，只有一个明显的例外：量子霍尔平台跃迁（QHPT）。在这种情况下，本地化长度发散和干涉引起的量子临界空间波动出现在所有的长度尺度。通常QHPT状态只发生在孤立的能量;因此访问它们需要微调的电子密度或磁场。在本文中，我们表明，QHPT状态可以实现整个能量连续，即作为一个“能量堆栈”的临界状态，其中每个状态在堆栈中表现出QHPT现象。堆叠发生在没有微调的表面上的A III类拓扑相，在那里它是由U（1）和（异常）手征或时间反演对称性的保护。全谱临界诊断的纵向Landauer电导和波函数多重分形在QHPT的数值模拟结果进行比较。结果是从一个有效的二维表面场论和从一个散装的三维晶格模型。我们证明了量子临界QHPT状态的堆叠是一个强大的现象，发生在AIII拓扑相位与奇数和偶数绕组数。后一个结论可能有重要的影响，仍然很难理解的对数共形场论被认为是描述QHPT。

安德森局域化的临界温度分布

Distribution of critical temperature at Anderson localization

在安德森局域化的基础上，利用局域平均场论，我们从无序度的分布函数中得到了临界温度的分布函数。这种局部平均场论方法的一个要点是引入了波函数多重分形的信息。近藤温度的分布函数（$T_{K}$）在$T_{K} \rightarrow 0$的极限下显示出幂律尾部，而与近藤耦合常数无关。我们还发现，铁磁转变温度（$T_{c}$）的分布函数给出了一个幂律行为的限制时，$T_{c} \rightarrow 0$的铁磁不稳定性的相互作用参数低于一个临界值。然而，$T_{c}$分布函数在$T_{c} \rightarrow 0$极限下停止幂律增加行为，并且在铁磁相内的临界相互作用参数之外消失。这些结果意味着，典型的近藤温度的几何平均值总是消失，由于在$T_{K} \rightarrow 0$极限的分布函数的有限密度，而典型的铁磁转变温度显示出相变在临界相互作用参数。我们建议，典型的转变温度为量子格里菲斯现象与模糊过渡的标准：量子格里菲斯现象发生在临界温度以上的典型值，而模糊相变的结果在低温下的典型转变温度。我们推测，在低温下，安德森局域化的铁磁相变表现出从量子Griffiths现象到临界相互作用参数附近的模糊相变的演化过程。