关于在组测试中检测部分缺陷物品
On Detecting Some Defective Items in Group Testing
AI总结：
本文研究组测试中仅识别 ℓ 个缺陷物品的问题，在自适应/非自适应、确定性/随机及 d 已知或未知情形下建立了测试复杂度的上下界与多个紧界。
摘要：
组测试是一种旨在从总共 n 个元素中识别至多 d 个缺陷物品的方法。其实现方式是检查若干子集，以确定其中是否至少存在一个缺陷物品。在我们的研究中，我们关注识别一个包含 ℓ≤d 个缺陷物品的子集这一问题。我们分别在自适应和非自适应设置下，给出检测 ℓ 个缺陷物品所需测试次数的上界和下界，同时考虑无法预先获得 d 的任何先验知识的情形，以及可以获得 d 的估计值或至少关于 d 的某个非平凡上界的情形。当没有关于 d 的先验知识时，我们证明在随机非自适应设置下存在 Ω(ℓ log²n/(log ℓ + log log n)) 次测试的下界，而在同一设置下存在 O(ℓ log²n) 的上界。此外，我们证明任何非自适应确定性算法都必须进行 Θ(n) 次测试，这表明该情形下存在一个根本性限制。对于自适应算法，我们在不同情形下建立了紧界。在确定性情形中，我们证明了 Θ(ℓ log(n/ℓ)) 的紧界。此外，在随机设置中，我们推导出 Θ(ℓ log(n/d)) 的紧界。当 d 已知，或至少已知 d 的某个非平凡估计值时，我们证明确定性非自适应设置的紧界为 Θ(d log(n/d))，随机非自适应设置的紧界为 Θ(ℓ log(n/d))。在自适应情形中，我们给出确定性设置下 O(ℓ log(n/ℓ)) 的上界，以及 Ω(ℓ log(n/d)+log n) 的下界。此外，我们为随机自适应设置建立了 Θ(ℓ log(n/d)) 的紧界。
英文摘要：
Group testing is an approach aimed at identifying up to $d$ defective items among a total of $n$ elements. This is accomplished by examining subsets to determine if at least one defective item is present. In our study, we focus on the problem of identifying a subset of $\ell\leq d$ defective items. We develop upper and lower bounds on the number of tests required to detect $\ell$ defective items in both the adaptive and non-adaptive settings while considering scenarios where no prior knowledge of $d$ is available, and situations where an estimate of $d$ or at least some non-trivial upper bound on $d$ is available. When no prior knowledge on $d$ is available, we prove a lower bound of $ Ω(\frac{\ell \log^2n}{\log \ell +\log\log n})$ tests in the randomized non-adaptive settings and an upper bound of $O(\ell \log^2 n)$ for the same settings. Furthermore, we demonstrate that any non-adaptive deterministic algorithm must ask $Θ(n)$ tests, signifying a fundamental limitation in this scenario. For adaptive algorithms, we establish tight bounds in different scenarios. In the deterministic case, we prove a tight bound of $Θ(\ell\log{(n/\ell)})$. Moreover, in the randomized settings, we derive a tight bound of $Θ(\ell\log{(n/d)})$. When $d$, or at least some non-trivial estimate of $d$, is known, we prove a tight bound of $Θ(d\log (n/d))$ for the deterministic non-adaptive settings, and $Θ(\ell\log(n/d))$ for the randomized non-adaptive settings. In the adaptive case, we present an upper bound of $O(\ell \log (n/\ell))$ for the deterministic settings, and a lower bound of $Ω(\ell\log(n/d)+\log n)$. Additionally, we establish a tight bound of $Θ(\ell \log(n/d))$ for the randomized adaptive settings.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
