Combinatorial Group Testing and Sparse Recovery Schemes with Near-Optimal Decoding Time
在长期研究的问题组合组测试，一个被要求检测出一组$k$有缺陷的项目的人口规模$n$，使用$m \ll n$析取测量。在非自适应设置中，最广泛使用的组合对象是析取矩阵和列表析取矩阵，它们定义了测试方案的关联矩阵。析取矩阵允许识别缺陷的精确集合，而列表析取矩阵识别缺陷的小超集。除了组合的保证，它往往是关键的利益，配备有效的解码算法的测量设计。最有效的解码器应该在$n$中以次线性时间运行，并且理想地在测量次数$m$中以接近线性的时间运行。在这项工作中，我们给出了几个结构的最佳数量的测量和接近最佳的解码时间的最基本的组测试任务，以及在压缩感知和沉重的打击文学的中心任务。对于其中的许多任务，以前的测量最优构造需要的时间要么是测量次数的二次方，要么是宇宙大小的线性。我们的大多数结果是通过一个干净的和新颖的方法，避免了列表可恢复的代码或相关的复杂技术，目前在几乎每一个国家的最先进的工作，有效地解码的结构，这样的对象。
2020-09-25 cs.DS cs.IT math.IT
Group Testing using left-and-right-regular sparse-graph codes
我们考虑的问题，非自适应组测试的$N$项目，其中$K$或更少的项目是已知的缺陷。我们提出了一种基于左右正则稀疏图码的测试方案和一个简单的迭代译码器。我们表明，对于任何任意小的$ε>0$，我们的计划只需要$m=c_εK\log \frac{c_1N}{K}$测试，以恢复$(1-ε)$分数的缺陷项目具有高概率（w.h.p），即，其中概率在$N$和$K$中渐近地接近$1$，其中常数$c_ε$和$\ell$的值是期望的误差平层$ε$和常数$c_1=\frac{\ell}{c_ε}$的函数（对于$ε$的各种值，观察到近似等于1）。更重要的是，迭代解码算法具有$\mathcal{O}(K\log \frac{N}{K})$的次线性计算复杂度，这已知是最优的。同样对于$m=c_2 K\log K\log \frac{N}{K}$测试，我们的方案恢复了\textit{whole}组缺陷项w.h. p。这些结果对于问题的无噪声和有噪声版本都是有效的，只要缺陷项的数量与项目的总数成次线性比例，即，$K=o(N)$。仿真结果验证了理论结果，显示出所需的测试的数量相比，基于左正则稀疏图的测试方案有很大的改善。
2017-01-25 cs.IT math.IT
Nearly Optimal Bounds for Orthogonal Least Squares
本文研究了用于稀疏恢复的正交最小二乘（OLS）算法。一方面，我们证明了如果采样矩阵$\mathbf{A}$满足等距常数为$$ δ_{K + 1} < \frac{1}{\sqrt{K+1}}, $$的$K + 1$阶的限制等距性质（RIP），则OLS在$K$迭代中精确地从其样本$\mathbf{y} = \mathbf{A} \mathbf{x}$中恢复任何$K$ -稀疏向量$\mathbf{x}$的支持。另一方面，我们表明，OLS可能无法恢复$K$ -稀疏向量$\mathbf{x}$的支持在$K$迭代的一些$K$，如果$$ δ_{K + 1} \geq \frac{1}{\sqrt{K+\frac{1}{4}}}. $$
2017-07-10 cs.IT math.IT
Sparse Uniformity Testing
本文考虑高维离散分布（多项式）在稀疏选择下的一致性检验问题。更确切地说，我们得到尖锐的检测阈值测试，$n$样本的基础上，是否支持$d$元素的离散分布不同于均匀分布，只有在$s$（出的$d$）坐标，是$\varepsilon$ -远（在全变差距离）从均匀性。我们的结果揭示了各种有趣的相变，这些相变取决于样本量$n$和信号强度$\varepsilon$与维度$d$和稀疏水平$s$的相互作用。例如，如果样本量小于阈值（取决于$d$和$s$），则所有测试都是渐近无效的，而不管信号强度的大小。另一方面，如果样本量高于阈值，则检测边界根据信号强度经历进一步的相变。在这里，一个$χ^2$型测试达到检测边界的密集制度，而在稀疏制度的Bonferroni校正的两个最大型测试和一个版本的更高的批评测试是最佳的尖锐常数。这些结果结合起来提供了一个完整的描述的相位图的稀疏均匀性测试问题的所有制度的参数$n$，$d$，和$s$。处理多项式的一个挑战是参数总是被限制在单纯形中。这导致了前面提到的两层相变，这是一种在经典的高维稀疏测试问题中不会出现的新现象。
2022-02-16 cs.IT math.IT math.ST
Nearly-optimal bounds for sparse recovery in generic norms, with applications to $k$-median sketching
我们开始研究稀疏恢复计划的稀疏性和测量的数量之间的权衡通用规范。具体地说，对于一个规范$\|\cdot\|$，稀疏参数$k$，近似因子$K>0$，和失败概率$P>0$，我们问：什么是$m$的最小值，使有一个分布在$m \times n$矩阵$A$的属性，对于任何$x$，给定$Ax$，我们可以恢复一个$k$ -稀疏近似$x$在给定的规范概率至少$1-P$？我们给出了一个部分的答案，这个问题，通过表明，规范，承认有效的线性草图，测量$m$的最佳数量是密切相关的加倍维度的度量引起的规范$\|\cdot\|$上的所有$k$稀疏向量的集合。通过将我们的结果应用于特定的规范，我们在我们的一般框架（$\ell_p$规范，$p \in [1,2]$）以及提供新的，测量有效的计划（地球移动距离规范）投已知的测量范围。后一个结果直接意味着更简洁的线性草图，以及研究平面$k$ -中位数聚类问题。最后，我们的EMD范数的双倍维度的下界使我们能够解决[Frahling-Sohler，STOC'05]关于动态流模型中聚类问题的空间复杂性的公开问题。
2015-04-05 cs.CG cs.DS cs.IT
Sequential Testing for Sparse Recovery
本文研究了高维稀疏信号恢复的序贯方法。当与固定样本大小的程序相比时，在稀疏设置中，顺序方法可以导致可靠的信号支持恢复所需的样本数量的大幅减少。从一个下限开始，我们证明了任何坐标顺序抽样程序在高维极限下都失败，只要每维的平均测量数小于log s/D（P_0||其中s是稀疏性水平，D（P_0|| P_1）基本分布之间的Kullback-Leibler散度。一系列的序贯概率比检验（SPRT），需要完整的知识的基础分布，以实现这一界限。出于现实世界的实验和最近的工作，在自适应传感，我们介绍了一个简单的程序，称为序贯采样，可以实现时，基本的测试问题满足单调似然比假设。如果每个维度的平均测量数增长速度快于log s/ D（P_0），则顺序保持可保证精确的支持恢复||P_1），达到下界。为了比较，我们证明了任何非顺序过程都失败，只要测量次数以小于log n/D（P_1）的速率增长||P_0），其中n是问题的总维数。
2014-10-04 cs.IT math.IT
Query Learning Nearly Pauli Sparse Unitaries in Diamond Distance
Indiana University Bloomington（印第安纳大学布卢明顿分校）
研究如何在钻石距离下高效学习近似Pauli稀疏酉算子，提出基于查询访问的算法，利用O(s^6/ε^4)次查询构造接近目标酉算子的量子通道，并扩展稀疏恢复技术至一般酉算子。
2026-03-31 cs.IT math.IT quant-ph
SAFFRON: A Fast, Efficient, and Robust Framework for Group Testing based on Sparse-Graph Codes
组测试通过有效地汇集项目组来解决从一组$n$项目中识别$K$缺陷项目的问题，以减少所需的测试数量。如果一组项目中的任何项目有缺陷，则该组项目的测试结果为阳性，否则为阴性。我们的目标是明智地分组项目的子集，使得有缺陷的项目可以使用最少的测试次数可靠地恢复，同时还具有低复杂度的解码过程。我们描述SAFFRON（稀疏grAph代码框架gROuptestNg），一个非自适应组测试范式，恢复至少$(1-ε)$ -分数（对于任何任意小的$ε> 0$）的$K$缺陷项目具有高概率与$m=6C(ε)K\log_2{n}$测试，其中$C(ε)$是一个精确的特征常数，只依赖于$ε$。例如，它可以通过$m \simeq 68 K \log_2{n}$测试至少可证明地恢复$(1-10^{-6})K$缺陷项。SAFFRON译码算法的计算复杂度为$\mathcal{O}(K\log n)$，是阶数最优的。此外，我们对SAFFRON进行了鲁棒化，使其即使在存在错误或噪声测试结果的情况下也能可靠地恢复$K$缺陷项集。我们还提出了Singleton-Only-SAFFRON，SAFFRON的一个变体，它可以用概率为$1-\mathcal{O}{\left(\frac{1}{K^α}\right)}$的$m=2e(1+α)K\log K \log_2 n$测试来恢复所有$K$缺陷项，其中$α>0$是一个常数。通过利用现…
2015-08-18 cs.IT math.IT
Robust Testing in High-Dimensional Sparse Models
École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)（洛桑联邦理工学院）；University of Sydney（悉尼大学）
我们考虑了在两种不同的观测模型下对高维稀疏信号向量的范数进行鲁棒检验的问题。在第一个模型中，我们给出$n$ i.i.d.。来自分布$\mathcal{N}\left(θ,I_d\right)$（具有未知的$θ$）的样本，其中一小部分已被任意损坏。在$\|θ\|_0\le s$的承诺下，我们希望对于某些输入参数$γ>0$，正确区分是$\|θ\|_2=0$还是$\|θ\|_2>γ$。我们表明，这项任务的任何算法都需要$n=Ω\left(s\log\frac{ed}{s}\right)$样本，这是紧对数因子。我们还将我们的结果扩展到其他常见的稀疏性概念，即任何$0 < q < 2$的$\|θ\|_q\le s$。在我们考虑的第二个观察模型中，数据是根据稀疏线性回归模型生成的，其中协变量是i.i.d.。高斯，并且已知回归系数（信号）是$s$ -稀疏的。在这里，我们也假设$ε$ -数据的一部分被任意损坏。我们表明，任何算法，可靠地测试回归系数的范数至少需要$n=Ω\left(\min(s\log d,{1}/{γ^4})\right)$样本。我们的研究结果表明，在这两种设置下的测试的复杂性显着增加鲁棒性约束。这与最近在稳健均值检验和稳健协方差检验中观察到的结果一致。
2022-11-04 cs.IT cs.LG math.IT
Simple Codes and Sparse Recovery with Fast Decoding
构造具有指定最小距离参数的纠错码是编码理论中的一个核心问题。在这项工作中，我们研究了一个非常简单的二进制线性码，纠正给定数量的错误$K$的建设。此外，我们设计了一个简单的，几乎最佳的伴随式解码器的代码以及。译码器的运行时间仅与码的块长度成对数关系，与错误数$K$成近似线性关系。该解码器可以应用于任何领域的精确的所有稀疏恢复，改善了以前的结果与相同数量的测量。此外，从接收到的字的校正子的计算可以在块长度中以接近线性的时间完成。我们还展示了这些技术在非自适应组测试中的应用，并构造简单的明确的测量计划与$O(K^2 \log^2 N)$测试和$O(K^3 \log^2 N)$恢复时间，以确定高达$K$缺陷的人口规模$N$。
2022-12-10 cs.IT math.IT
Sparse Graph Codes for Non-adaptive Quantitative Group Testing
本文研究定量分组测试问题。考虑一组$N$项，其中$K$项有缺陷。QGT问题是识别（所有或足够大的一部分）有缺陷的项目，其中测试的结果揭示了测试组中有缺陷的项目的数量。在这项工作中，我们提出了一个非自适应QGT算法使用稀疏图码的双正则二部图与左度$\ell$和右度$r$和二进制$t$纠错BCH码。所提出的方案提供了准确的恢复概率保证，即恢复所有的有缺陷的项目与高概率。特别是，我们表明，对于次线性制度，$\frac{K}{N}$消失的$K,N\rightarrow\infty$，该算法需要在最多${m=c(t)K\left(t\log_2\left(\frac{\ell N}{c(t)K}+1\right)+1\right)+1}$测试，以恢复所有的缺陷项目的概率接近一个${K,N\rightarrow\infty}$，其中$c(t)$只依赖于$t$。我们的理论分析的结果表明，所需的测试次数最少的$t=2$实现。对于任何$t\leq 4$，所提出的算法的编码和解码的计算复杂度分别为$\mathcal{O}(K\log^2 \frac{N}{K})$和$\mathcal{O}(K\log \frac{N}{K})$。我们的仿真结果还表明，该算法显着优于Abdalla \emph{et al.}最近提出的非自适应半定量组测试算法在所需的测试数量，以确定所有的缺陷项目的概率高。
2019-04-24 cs.IT math.IT
Non-adaptive Quantitative Group Testing Using Irregular Sparse Graph Codes
本文研究了在大量的$N$项目中存在缺陷项目的定量分组测试问题。我们考虑的情况下，每个项目是有缺陷的概率$K/N$，独立于其他项目。在QGT问题中，目标是通过测试项目组，以尽可能少的测试次数来识别所有或足够大的缺陷项目。特别是，每个测试的结果是一个非负整数，表示测试组中有缺陷的项目数量。在这项工作中，我们提出了一个非自适应QGT计划的潜在随机模型的缺陷项目，它利用稀疏的图形代码在不规则的二分图与优化的程度配置文件上的图的左节点，以及二进制$t$纠错BCH码。我们表明，在次线性制度，即，当比率$K/N$随着$N$增长到无界而消失时，所提出的具有${m=c(t,d)K(t\log (\frac{\ell N}{c(t,d)K}+1)+1)}$测试的方案可以以接近$1$的概率识别所有缺陷项，其中$d$和$\ell$分别是最大和平均左度，并且$c(t,d)$仅依赖于$t$和$d$（而不依赖于$K$和$N$）。对于任意的$t\leq 4$，该方案的测试和恢复算法的计算复杂度分别为$\mathcal{O}(N\log \frac{N}{K})$和$\mathcal{O}(K\log \frac{N}{K})$.所提出的方案优于最近提出的两个非自适应QGT方案的次线性制度，包括我们的计划的基础上定期二分图和计划的Gebhard等人，在识别具有高概率的所有缺陷项目所需的测试数量方面。
2019-10-15 cs.IT math.IT
Sparse Combinatorial Group Testing
在组合组测试（CGT）中，目标是使用尽可能少的测试从$n$项目池中识别出最多$d$缺陷项目的集合。CGT问题的著名结果是，当$d=O(poly(\log n))$。然而，最先进的GT规范要求对项目进行$w=Ω(d\log n)$次测试，并且测试包括$ρ=Ω(n/d)$项目（在对数系数内）。在许多应用中，项目只能参与有限数量的测试，并且测试被约束为包括有限数量的项目。在本文中，我们研究了“稀疏”制度的组测试问题，我们限制了测试的数量，每个项目可以参与$w_{\max}$或项目的数量，每个测试可以包括$ρ_{\max}$在无噪声和噪声设置。这些限制导致了一个未探索的机制，其中$t$是$n$的分数幂。我们的研究结果表征测试$t$的数量作为$w_{\max} (ρ_{\max})$的函数，并显示，例如，$t$急剧下降时，$w_{\max}$增加超过一个裸露的最小值。特别地，如果$w_{\max}\leq d$，那么我们必须有$t=n$，即，个别测试是最佳的。我们表明，如果$w_{\max}=d+1$，这突然减少到$t=Θ(d\sqrt{n})$。通过修改Kautz-Singleton构造，这是已知的次优的经典GT问题的顺序最优的建设。对于更一般的情况，当$w_{\max}=ld+1$为$l>1$时，修改的K-S构造需要进行$t=Θ(d n^{\frac{1}{l+1}})$检验，我们证明了…
2019-01-25 cs.IT math.IT
Limits on Testing Structural Changes in Ising Models
我们提出了新的信息理论的限制检测稀疏变化伊辛模型，在许多应用中出现的问题，网络的变化可能会发生由于一些外部刺激。我们发现，样本的复杂性检测稀疏的变化，在极大极小的意义上，是没有比学习整个模型，即使在设置与本地稀疏。这是一个令人惊讶的事实，鉴于先前的工作植根于稀疏恢复方法，这表明在这种情况下，样本的复杂性只与网络变化的数量。为了阐明变化检测何时比结构化学习更容易，我们考虑在森林结构图中测试边缘删除，并将高温铁磁体作为案例研究。我们表明，这些测试的小变化是同样困难的，但测试的\emph{large}的变化是很好的分离结构学习。这些结果意味着，图形模型的测试可能不服从的概念，如限制性强凸性利用稀疏模式恢复，而不是算法的开发应针对检测大的变化。
2020-11-07 cs.IT math.IT math.ST
Bayesian hypothesis testing for one bit compressed sensing with sensing matrix perturbation
这封信提出了一个低计算的贝叶斯算法噪声稀疏恢复的上下文中的一位压缩感知与感知矩阵扰动。所提出的算法被称为BHT-MLE包括一个稀疏支持检测器和一个幅度估计器。支持检测器使用贝叶斯假设检验，而幅度估计器使用通过求解凸优化问题获得的ML估计器。仿真结果表明，BHT-MLE算法以较低的计算代价提供了比ML估计（MLE）更高的重建精度。
2015-11-18 cs.IT math.IT stat.ML
Nearly Optimal Sample Size in Hypothesis Testing for High-Dimensional Regression
Stanford University（斯坦福大学）
考虑高维线性回归模型的参数拟合问题。在参数$p$的数量与样本量$n$相当或超过$n$的情况下，成功的方法使用$\ell_1$惩罚最小二乘估计量，称为Lasso。不幸的是，与线性估计器不同（例如，普通最小二乘法），没有建立良好的方法来计算置信区间或p值的基础上的Lasso估计。最近，一系列工作\cite{javanmard2013hypothesis, confidenceJM, GBR-hypothesis}已经解决了这个问题，通过构建一个去偏版本的Lasso估计。本文研究随机设计模型的这种方法，假设设计的精度矩阵存在一个好的估计。我们的分析比现有技术有所改进，因为如果样本量$n$渐近优于$s_0 (\log p)^2$，则其建立了接近最佳的\emph{average}检验功效，其中$s_0$为稀疏水平（非零系数的数量）。早期的工作获得可证明的保证，只有更大的样本量，即它需要$n$渐近支配$(s_0 \log p)^2$。特别是，对于随机设计的稀疏精度矩阵，我们表明，其具有所需的属性的估计可以有效地计算。最后，我们评估这种方法的合成数据，并将其与以前的建议。
2013-11-01 cs.IT cs.LG math.IT
Random Restrictions of High-Dimensional Distributions and Uniformity Testing with Subcube Conditioning
IBM Research（IBM研究院）；Columbia University（哥伦比亚大学）；Stanford University（斯坦福大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）；Microsoft Research（微软研究院）
我们给出了一个近似最优的算法来测试$\{-1,1\}^n$上支持的分布的均匀性，该算法使$\tilde O (\sqrt{n}/\varepsilon^2)$查询子立方体条件采样oracle（Bhattacharyya和Chakraborty（2018））。关键的技术组成部分是一个自然的概念，随机限制分布$\{-1,1\}^n$，以及定量分析如何影响这种限制的平均向量的分布。在此过程中，我们考虑了独立样本的均值检验问题，并提供了一个接近最优的算法。
2021-02-04 cs.DS cs.IT cs.LG
Nearly Optimal Deterministic Algorithm for Sparse Walsh-Hadamard Transform
University of California（加利福尼亚大学）；MIT（麻省理工学院）
对于每一个固定常数$α> 0$，我们设计了一个算法来计算$N$维向量$x \in \mathbb{R}^N$在时间上的$k$稀疏Walsh-Hadamard变换$k^{1+α} (\log N)^{O(1)}$。具体地，该算法被给予对$x$的查询访问，并且对于绝对常数$c > 0$，计算满足$\|\tilde{x} - \hat{x}\|_1 \leq c \|\hat{x} - H_k(\hat{x})\|_1$的$k$ -稀疏$\tilde{x} \in \mathbb{R}^N$，其中$\hat{x}$是$x$的变换，并且$H_k(\hat{x})$是其最佳$k$ -稀疏近似。我们的算法是完全确定性的，并且只使用对$x$的非自适应查询（即，当算法开始时，所有查询被确定并并行执行）。我们使用的一个重要的技术工具是一个接近最佳和线性无损冷凝器的建设，这是一个仔细的GUV冷凝器的实例（Guruswami，乌曼，Vadhan，JACM 2009）。此外，我们设计了一个确定性和非自适应$\ell_1/\ell_1$压缩传感方案的基础上，一般的无损冷凝器，配备了一个快速重建算法运行的时间$k^{1+α} (\log N)^{O(1)}$（GUV为基础的冷凝器），是独立的兴趣。由于Berinde，Gilbert，Indyk，Karloff，Strauss（Allerton 2008），我们…
2015-04-28 cs.CC cs.IT cs.LG
Succinct Representation of Codes with Applications to Testing
受性质测试中的问题的启发，我们搜索具有“单局部轨道”性质的线性纠错码：即，它们由单个局部约束及其在代码的对称群下的平移来指定。我们证明了每个“稀疏”二进制码的对偶，其坐标由F_{2^n}的元素索引，对于素数n，并且其对称群包括F_{2^n}的非奇异仿射变换群，具有单局部轨道性质。（如果代码在其块长度中包含多项式多个码字，则该代码被称为“稀疏”。）特别地，这类包括双BCH码，对于双BCH码，对于BCH码）简单碱基是未知的。我们的结果给出了第一个短（O（n）位，而不是自然的exp（n）位）描述的BCH码的低重量的基础。对“单局部轨道”性质的兴趣来自Kaufman和Sudan（STOC 2008）的最新结果，该结果表明在仿射对称群下具有单局部轨道性质的码是局部可测试的。当结合我们的主要结果，这表明，所有的稀疏仿射不变码的坐标F_{2^n}素数n是局部可测的。如果，除了n是素数，如果2^n-1也是素数（即，2^n-1是梅森素数），则得到每个稀疏循环码也有一个局部轨道。特别地，这意味着Mersenne素数长度的BCH码由单个低权重码字及其循环移位生成。
2009-05-18 cs.IT math.IT
Robust Hypothesis Testing Using Wasserstein Uncertainty Sets
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
我们开发了一个新的计算效率和一般框架，强大的假设检验。新框架的特点是一种新的方法来构建零分布和替代分布下的不确定性集，这些不确定性集是以通过Wasserstein度量定义的经验分布为中心的集合，因此我们的方法是数据驱动的，没有分布假设。我们开发了一个凸安全近似的极大极小制定，并表明这种近似呈现出一个接近最佳的检测器之间的家庭的所有可能的测试。通过利用结构的最不利的分布，我们还开发了一个易于处理的重新制定这样的近似，与复杂性的观察空间的维度无关，可以是几乎样本大小无关的一般。使用人类活动数据的实际数据的例子证明了新的鲁棒检测器的优异性能。
2018-05-27 cs.IT cs.LG math.IT
Noise-Resilient Group Testing: Limitations and Constructions
我们研究组合组测试计划学习$d$稀疏布尔向量使用高度不可靠的析取测量。我们考虑了一个对抗性噪声模型，它只限制了错误观测的数量，并证明了该模型中的任何抗噪声方案只能近似地重建稀疏向量。在积极的一面，我们把这个障碍，我们的优势，并表明，近似重建（在一个令人满意的近似程度），使我们能够打破$\tildeΩ(d^2 \log n)$的信息理论下限，这是已知的精确重建的$d$ -稀疏向量的长度$n$通过非自适应测量，由一个乘法因子$\tildeΩ(d)$。具体而言，我们给出了简单的随机结构的非自适应测量方案，与$m=O(d \log n)$测量，允许有效的重建$d$稀疏向量高达$O(d)$误报，即使在存在的$δm$误报和$O(m/d)$误报内的测量结果，对于任何常数$δ< 1$。我们表明，从理论上讲，这些参数中没有一个可以在不显著影响其他参数的情况下得到实质性改善。此外，我们得到几个明确的结构，特别是一个匹配的随机权衡，但使用$m = O(d^{1+o(1)} \log n)$测量。我们还得到明确的建设，允许快速重建的时间$\poly(m)$，这将是次线性的$n$足够稀疏的向量。在我们的构造中使用的主要工具是随机性压缩器和提取器的列表解码视图。
2011-07-22 cs.DM cs.IT math.CO
Derandomization and Group Testing
去随机化理论是理论计算机科学中的一个基本领域，近年来发展迅速，在其最初的意图之外产生了许多令人惊讶的应用。我们将回顾一些最近的发展有关的组合群测试。在其最基本的设置中，组测试的目的是通过将项目分组并询问每组中是否有阳性个体来识别一组“阳性”个体。特别是，我们将讨论明确的最佳或接近最佳的组测试计划使用“随机传导”功能的建设。在这样的发展是建设的纠错组测试计划使用随机性提取器和冷凝器，以及阈值组测试计划从无损冷凝器。
2010-10-03 cs.IT math.IT
On Identity Testing of Tensors, Low-rank Recovery and Compressed Sensing
我们研究的问题，获得有效的，确定性的，黑盒多项式身份测试算法的深度3集多线性电路（在任意字段）。这类电路有一个有效的，确定性的，白盒多项式身份测试算法（由于Raz和Shpilka），但没有已知的黑盒算法。我们将这个问题重新定义为寻找一个低维子空间H，由秩为1的张量张成，使得对偶空间ker（H）中的任何非零张量都具有高秩。我们得到明确的结构，基本上最佳大小的击中2度张量（矩阵），并获得准多项式大小的击中任意张量（但这第二次击中集是不太明确）。我们还显示了连接到执行低秩恢复矩阵的任务，这是在压缩感知领域的研究。低秩恢复要求（比如说，在实数上）在保证M的秩<=r的情况下，从几个测量值中恢复矩阵M。我们还给出了低秩恢复和稀疏（向量）恢复任务之间的正式联系：任何稀疏恢复算法，精确恢复长度为n和稀疏度为2 r的向量，使用m个非自适应测量，产生一个低秩恢复方案，用于精确恢复秩<=r的nxn矩阵，进行2nm非自适应测量。此外，如果稀疏恢复算法在时间τ内运行，则低秩恢复算法在时间O（rn^2+nτ）内运行。我们使用线性代数技术获得这种减少，而不是使用凸优化，这是更常见的压缩感知算法。通过使用对偶Reed-Solomon码，我们能够（确定性地）构造在实数上进行4 nr次测量的低秩恢复方案，使得测量可以是所有秩1矩阵或所有稀疏矩阵。
2011-11-02 cs.CC cs.IT math.IT
