This paper considers upper bounds on the oriented chromatic number $χ_o(G)$, of an oriented graph $G$ in terms of its $2$-dipath chromatic number $χ_2(G)$, degeneracy $d(G)$, and maximum degree $Δ(G)$. In particular, we show that for all graphs $G$ with $χ_2(G) \leq k$ where $k \geq 2$ and $d(G) \leq t$ where $t \geq \log_2(k)$, $χ_o(G) = 33/10(k t^2 2^t)$. This improves an upper bound of MacGillivray, Raspaud, and Swartz of the form $χ_o(G) \leq 2^{χ_2(G)} -1$ to a polynomial upper bound for many classes of graphs, in particular, those with bounded degeneracy. Additionally, we asymptotically improve bounds for the oriented chromatic number in terms of maximum degree and degeneracy. For instance, we show that $χ_o(G) \leq (2\ln2 +o(1))Δ^2 2^Δ$ for all graphs, and $χ_o(G) \leq (2+o(1))Δd 2^d$ for graphs where degeneracy grows sublinearly in maximum degree. Here the asypmtotics are in $Δ$. The former improves the asymptotics of a results by Kostochka, Sopena, and Zhu \cite{kostochka1997acyclic}, while the latter improves the asymptotics of a result by Aravind and Subramanian \cite{aravind2009forbidden}. Both improvements are by a constant factor.
A Note on Colourings of Connected Oriented Cubic Graphs
本文证明了连通三次图的每一个定向都允许定向8-着色。这降低了最著名的上界的连通三次图的方向的家庭的色数。我们进一步证明了，每个这样的定向图允许2-路7-染色。这些结果意味着，要么是有向连通三次图族的色数等于2-路色数，要么是Sopena [Journal of Graph Theory 25：191-205 1997]关于连通三次图的方向色数的长期猜想是错误的。
The Generalised Colouring Numbers on Classes of Bounded Expansion
广义着色数$\mathrm{adm}_r(G)$、$\mathrm{col}_r(G)$和$\mathrm{wcol}_r(G)$是由Kierstead和Yang作为通常着色数的推广而引入的，也被称为图的退化度，并且从那时起在Nešetzil和Ossona de Mendez引入的有界扩张和无处稠密类图的理论中找到了重要的应用。本文研究了色数与另外两种测度的关系，即与均匀拟宽的测度的关系，这两种测度是Dawar等人在一阶逻辑的保持定理中首先研究的，以及与Grohe等人引入的分裂器博弈的关系。我们证明了除固定拓扑子图外的每个图都有一个泛序，即，一阶证明对于$r$的每个值，着色数都很小。最后，我们使用我们的建设这样的订单给一个新的证明Eickmeyer和Kawarabayashi的结果，示出的继任者不变的一阶公式的模型检验问题是固定参数听话的排除拓扑未成年人的图类。
The size Ramsey number of graphs with bounded treewidth
一个图$G$是图$H$的Ramsey，如果$G$的边的每一个2-着色都包含$H$的一个单色拷贝.我们考虑以下问题：如果$H$有界树宽，是否有一个“稀疏”图$G$是拉姆齐为$H$？稀疏性的两个概念被认为是。首先，证明了如果$H$的最大度和树宽有界，则存在一个具有$O(|V(H)|)$边的图$G$是Ramsey for $H$ .这是以前只知道为较小的一类图$H$与有界带宽。另一方面，我们证明了一个图$G$，是拉姆齐$H$的树宽不能有界的树宽$H$单独。事实上，即使树宽被简并度代替并且$H$是树，后一种说法也是正确的。
