A spectral-subspace-augmented POD-Galerkin method for parametrized PDEs with limited snapshot data
Hong Kong University of Science and Technology (Guangzhou)（香港科技大学（广州））
针对参数化PDE中快照数据有限导致POD预测能力不足的问题，提出谱子空间增强POD-Galerkin方法（SS-POD），通过谱分解和局部POD提高外推精度，在Laplace-Beltrami问题中仅用5个快照即达高精度。
2026-07-03 cs.NA math.NA
POD-DL-ROM: enhancing deep learning-based reduced order models for nonlinear parametrized PDEs by proper orthogonal decomposition
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
最近已经提出了基于深度学习的降阶模型（DL-ROM），以克服传统降阶模型（ROM）所共有的共同限制，例如，通过适当的正交分解（POD）-当应用于非线性时间依赖的参数化偏微分方程（PDE）。这些可能与（i）需要处理到高维线性近似试验流形上的投影，（ii）昂贵的超约简策略，或（iii）用模式的线性叠加处理物理复杂性的内在困难有关。当采用DL-ROM时，避免了所有这些方面，DL-ROM通过依赖于深度（例如，前馈、卷积、自动编码器）神经网络。虽然在测试时非常有效，但在评估任何新测试参数实例的PDE解决方案时，DL-ROM需要昂贵的训练阶段，因为要估计的网络参数数量非常大。在本文中，我们提出了一种可能的方法来避免DL-ROM的昂贵的训练阶段，通过（i）通过POD执行先验降维，以及（ii）依赖于多保真度预训练阶段，其中可以有效地组合不同的物理模型。所提出的POD-DL-ROM在几个（标量和矢量，线性和非线性）时间相关参数化PDE（例如，线性对流-扩散-反应、非线性扩散-反应、非线性弹性动力学和Navier-斯托克斯方程），以显示该方法的通用性及其显著的计算节省。
2021-01-28 cs.LG cs.NA math.NA
POD-Galerkin reduced-order modeling with adaptive finite element snapshots
Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文提出一种基于自适应有限元快照的POD-伽辽金降阶建模方法，解决不同有限元空间快照的计算与理论问题，并分析其对线性椭圆边界值问题误差评估的影响。
2016-08-22 cs.NA math.NA
POD-ROM methods: from a finite set of snapshots to continuous-in-time approximations
本文针对时间相关偏微分方程的POD-ROM离散方法，分析了任意时间积分器下FOM和POD-ROM的时间连续误差界，考虑两类快照集情形，证明半线性反应扩散问题的最优逐点误差界并通过数值验证，揭示少量快照可实现全区间精确近似。
2024-03-11 cs.NA math.NA
Reduced order models for nonlinear radiative transfer based on moment equations and POD/DMD of Eddington tensor
针对非线性热辐射传输问题，提出基于矩方程与Eddington张量数据驱动降阶近似的新型降阶模型，验证了低秩下的准确性及秩提升后的误差递减特性。
2021-07-19 cs.NA math.NA
POD reduced order modeling for evolution equations utilizing arbitrary finite element discretizations
目前工作的主要重点是纳入空间自适应快照计算在离线阶段的模型降阶利用适当的正交分解（POD-MOR）的非线性抛物型演化问题。我们考虑的快照生活在不同的有限元空间，这意味着在一个完全离散的设置，快照是不同长度的向量。从数值的观点来看，这导致了不能执行利用快照矩阵的奇异值分解的通常POD过程的问题。为了克服这个问题，我们在这里构建POD模型/基础使用的相关阵（快照gramian），这是从连续的角度来看，并明确成立，例如，没有必要插入快照到一个共同的有限元空间的特征系统。这种方法的优点在于，矩阵的组装仅需要对公共希尔伯特空间中的快照的内积进行评估。这允许关于快照的空间离散化的极大灵活性。对POD解与真实解之间的误差分析表明，降阶解的精度可以由POD误差和空间离散误差以及时间离散误差离散化误差来估计。最后，为了说明我们的方法的可行性，我们提出了一个利用h自适应分层网格的Cahn-Hilliard系统的测试案例以及使用嵌套和非嵌套网格的线性热方程的两种设置。
2020-08-01 cs.NA math.NA
POD model order reduction with space-adapted snapshots for incompressible flows
本文考虑了非定常不可压Navier-Stokes方程基于本征正交分解（POD）的模型降阶问题，假设快照由空间自适应有限元解给出。我们提出了两种方法来获得稳定的POD-Galerkin降阶模型在这种情况下。在第一种方法中，压力项和连续性方程通过施加相对于压力参考空间的弱不可压缩性约束来消除。在第二种方法中，我们推导出一个inf-sup稳定的速度-压力降阶模型，通过丰富的速度约化空间上的速度参考空间计算的supremizers。对于非齐次Dirichlet条件的问题，我们展示了如何从标准自适应有限元计算中获得合适的提升函数。我们提供了一个数值比较所考虑的方法正则化盖驱动腔问题。
2019-08-01 cs.NA math.NA
Reduced-Order Models for Thermal Radiative Transfer Based on POD-Galerkin Method and Low-Order Quasidiffusion Equations
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
本文提出一种新方法，通过POD分解光强获得全局基函数，用于求解时间依赖的多群玻尔兹曼传输方程的简化模型，并利用准扩散因子闭合非线性系统。
2021-02-17 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Machine Learning-based quadratic closures for non-intrusive Reduced Order Models
International School for Advanced Studies, SISSA（国际高等研究院）
提出一种数据驱动方法，通过MIONet参数化的二次修正项重新引入被忽略模态的贡献，提升非侵入式降阶模型在欠分辨和边缘分辨情况下的精度。
2026-05-25 cs.NA math.NA
Pointwise error bounds in POD methods without difference quotients
研究不含差商的POD方法，在快照函数具一定光滑度时，通过推导Sobolev空间中Agmon与插值不等式的离散形式，获得了不随快照数退化且收敛速率接近含差商方法的逐点误差界。
2024-07-24 cs.NA math.NA
A simplified Newton method to generate snapshots for POD models of semilinear optimal control problems
在偏微分方程约束优化中，适当的正交分解（POD）提供了一个代理模型的（可能昂贵的）偏微分方程离散化，优化迭代执行。由于POD模型通常仅在局部提供良好的近似质量，因此必须在优化期间对其进行更新。然而，更新POD模型通常是昂贵的，并且因此在模型预测控制（MPC）上下文中通常是不可能的。因此，质量一般的降阶模型可能被接受。我们采用简化牛顿法求解半线性发展方程的观点，推导出一种算法，该算法可以作为离线阶段来产生POD模型。在这种情况下，利用冲激响应快照构建POD模型的方法可以被视为第一牛顿步骤。特别是，POD模型的基础上，冲激响应快照扩展通过添加第二个简化的牛顿步骤。该过程通过在优化或MPC循环期间引入适量的额外计算成本来显著提高POD模型的近似质量。我们用一个满足我们假设的例子来说明我们的发现。
2021-08-04 cs.NA math.NA math.OC
Structure Preserving Model Order Reduction of Shallow Water Equations
在本文中，我们提出了两种不同的方法来构建二维浅水方程（SWE）的降阶模型（ROM）。第一个是基于非正则哈密顿/泊松形式的SWE。通过全隐式平均向量场法进行时间积分后，采用适当的正交分解/离散经验插值方法（POD/DEIM）构造ROM，保持了Hamilton结构.在第二种方法中，作为一个偏微分方程与二次非线性的SWE是集成的线性隐式Kahan的方法和ROM构造与张量POD，保持线性二次结构的SWE。我们表明，在这两种方法中，SWE的不变量，如能量，拟能，质量和流通被保存在一个很长的时间，导致稳定的解决方案。最后，我们通过一个数值试验问题证明了简化解的精度和计算效率。
2020-07-22 cs.NA math.NA
A new approach to proper orthogonal decomposition with difference quotients
在最近的工作[B。Koc等人，arXiv：2010.03750，SIAM J. Numer.肛门，出现]，作者表明，包括差异系数（DQ）是必要的，以证明最佳逐点的时间误差界适当的正交分解（POD）降阶模型的热方程。在这项工作中，我们介绍了一种新的方法，包括DQ的POD过程。代替使用所有快照数据和DQ来计算POD模式，我们仅使用第一快照以及所有DQ和特殊POD权重。我们表明，这种方法保留了标准POD DQ方法的所有数值分析优点，同时使用具有标准POD DQ方法一半快照数量的POD数据集，即，新方法在计算上更有效。我们用数值实验来说明我们的理论结果。
2021-06-18 cs.NA math.NA
Parametric Reduced Order Models for the Generalized Kuramoto--Sivashinsky Equations
University of Houston（休斯顿大学）
研究针对Kuramoto-Sivashinsky和广义Kuramoto-Sivashinsky方程的参数化降阶模型，通过多种POD和POD-DEIM投影方法及参数采样策略，构建能高效覆盖弱混沌、过渡和准周期动力学等不同参数区域的降阶模型，并强调准确表示短时瞬态行为的重要性。
2026-06-03 cs.NA math.AP math.NA
Stabilized POD Reduced Order Models for convection-dominated incompressible flows
本文针对对流主导不可压缩流动，比较了全局常数人工粘性和分模态人工粘性两种稳定化POD降阶模型方法，并在理想化医疗器械流动中验证其显著优于标准POD-Galerkin模型。
2024-04-30 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Offline Maximizing Minimally Invasive Proper Orthogonal Decomposition for Reduced Order Modeling of $S_n$ Radiation Transport
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文提出了一种离线最大化最小侵入性POD方法，用于$S_n$辐射传输方程的降阶建模，通过离线生成降阶系统库实现高效求解，实验表明其在多群二维问题中具有低误差和显著加速效果。
2025-12-15 cs.NA math.NA
Lagrangian Dynamic Mode Decomposition for Construction of Reduced-Order Models of Advection-Dominated Phenomena
本征正交分解（POD）和动态模式分解（DMD）是两种互补的奇异值分解（SVD）技术，它们被广泛用于科学和工程领域中的降阶模型（ROM）构造。尽管他们的流行，DMD和POD的斗争，制定准确的ROM对流为主的问题，因为SVD为基础的方法的性质。我们研究这个缺点，传统的POD和DMD方法制定的欧拉框架内。然后，我们提出了一个基于拉格朗日的DMD方法来克服这个所谓的平移问题。我们的方法与物理感知DMD的精神是一致的，因为它解释了特征线的演化。几个数值试验证明了所提出的拉格朗日DMD方法的精度和效率。
2019-08-10 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A parametric tensor ROM for the shallow water dam break problem
University of Houston（休斯顿大学）
本文提出了一种参数化的张量ROM方法，用于解决浅水坝破问题，通过低秩张量分解和切比雪夫采样有效捕捉参数依赖行为，显著优于传统POD-ROMs。
2025-12-10 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
A New Proper Orthogonal Decomposition Method with Second Difference Quotients for the Wave Equation
本文将差商POD方法推广至二阶差商情形，提出仅用一个快照和一个差商的新POD方法，消除了数据冗余，并证明了阻尼波动方程的逐点及能量降阶模型误差界。
2023-09-06 cs.NA math.NA
A priori error analysis for one-parameter Lagrange and POD reduced order methods
Aalto University（阿尔托大学）
本文针对参数化线性椭圆PDE，提出基于快照子空间的新逼近算子，证明单参数Lagrange和POD降阶方法在温和假设下的次指数及结构化点集下的指数收敛误差估计。
2026-09-29 cs.NA math.NA
Error analysis of proper orthogonal decomposition stabilized methods for incompressible flows
研究和分析了Navier-斯托克斯方程的本征正交分解（POD）稳定化方法.我们考虑两种情况下，在这种情况下，快照是基于一个非inf-sup稳定的方法和在这种情况下，快照是基于inf-sup稳定的方法。对于这两种情况，我们构造速度和压力的近似值。对于第一种情况，我们分析了一种方法，在该方法中的快照是基于稳定的计划与等阶多项式的速度和压力与局部投影稳定（LPS）的速度和压力的梯度。对于POD方法，我们增加了与直接法相同的速度和压力梯度LPS稳定，以及梯度-梯度稳定。在第二种情况下，快照是基于一个inf-sup稳定的Galerkin方法与梯度-div稳定和POD模型，我们也适用于梯度-div稳定。在这种情况下，由于快照是离散无发散的，因此可以从速度的POD近似的公式中去除压力。为了近似的压力，需要在许多工程应用中，我们使用一个supremizer压力恢复方法。证明了这两种方法的误差界与常数的粘度参数的逆幂无关。数值实验表明了格式的精度和性能。
2020-05-30 cs.NA math.NA
A linear filter regularization for POD-based reduced order models of the quasi-geostrophic equations
我们提出了一个正则化的降阶模型（ROM）的准地转方程（QGE），以提高精度时，适当的正交分解（POD）模式保留，以构建减少的基础是不足以描述系统的动力学。我们的正则化是基于所谓的BV-α模型，它修改了QGE中的非线性项，并增加了一个线性微分滤波器的涡度。要显示的有效性的BV-α模型ROM关闭，我们比较了经典的双涡旋风强迫基准的POD-Galerkin ROM与不正则化的计算结果。我们的数值结果表明，由正则化ROM计算的解决方案是更准确的，即使当保留POD模式占本征值能量的一小部分。此外，我们表明，虽然计算更昂贵的ROM没有正规化，正规化ROM仍然是一个有竞争力的替代全阶模拟的QGE。
2022-11-30 cs.NA math.NA
Second order error bounds for POD-ROM methods based on first order divided differences
本文针对热方程研究基于差商快照的POD-ROM，证明采用BDF2时间离散可同时获得最优二阶时间误差界与逐点估计。
2023-06-06 cs.NA math.NA
A fast and accurate domain-decomposition nonlinear manifold reduced order model
本文将非线性流形降阶模型与区域分解及超降阶技术结合，通过并行训练子区域模型并耦合求解全局模型，有效降低了极端规模问题的训练成本，并在2D稳态Burgers方程上实现了比线性子空间方法高一个数量级的精度。
2024-02-25 cs.NA math.NA
Structure-Preserving Galerkin POD Reduced-Order Modeling of Hamiltonian Systems
Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文提出一种保持Hamilton结构的降阶建模方法，通过改进POD方法以保留Hamilton结构，并通过移位快照改进Hamilton函数近似，推导了严谨的先验误差估计。
2016-08-12 cs.NA math.NA
Weighted Proper Orthogonal Decomposition for High-Dimensional Optimization
针对标准POD未考虑参数化模型结构及现有扩展方法的局限，提出一种加权POD方法，通过动态更新快照矩阵列权重收紧误差界限并高效计算降阶基，在无需离线训练下应用于高维壳厚度优化，显著降低误差并减少快照需求。
2025-08-12 cs.NA math.NA
Adaptive POD Galerkin technique for reservoir simulation and optimization
在这项工作中，一种新的方法与自适应功能基的降阶模型（ROM）的基础上适当的正交分解（POD）。该方法旨在特别应用于油气藏模拟，其中必须探索一系列不同的边界条件。所提出的方法允许我们更新为特定问题设置构造的POD功能基础，以匹配不同的边界条件，例如修改的井位置和几何形状，而无需每次重新计算整个基函数集。这种自适应技术使我们能够显着减少计算新基础所需的快照数量，从而降低模拟的计算成本。将该方法应用于二维非混相驱替模型，并分别采用高分辨率模型、经典POD降阶模型和POD基础适应不同井位和几何形状的降阶模型进行了模拟。数值模拟表明，所提出的方法使我们能够减少所需的模型快照数的数量级相比，一个经典的POD计划，没有明显的损失计算流体生产率的准确性。因此，这种自适应POD方案可以为需要具有变化的边界条件的多次或迭代模拟的问题提供计算效率的显著增益，例如井设计的优化或生产优化。
2020-08-08 cs.NA math.NA
Non-intrusive reduced-order modeling using convolutional autoencoders
在基于物理的建模和仿真中使用降阶模型（ROM）几乎总是涉及使用线性降阶基（RB）方法，如适当的正交分解（POD）。对于一些非线性问题，线性RB方法表现不佳，无法为解空间提供有效的子空间。近年来，ROM的非线性流形的使用获得了牵引力，在某些非线性问题上表现出比线性方法更高的性能。为此，深度学习通过使用自动编码器为解空间提供非线性试验流形而流行。在这项工作中，我们提出了一个非侵入式ROM框架稳态参数化的偏微分方程（PDE），使用卷积自动编码器（CAE）提供一个非线性的解决方案流形，并通过高斯过程回归（GPR）近似的扩展系数的降阶模型。当应用到一个数值例子，涉及稳定的不可压缩Navier-斯托克斯方程解决盖驱动腔问题，它表明，建议ROM提供更好的性能在全阶状态的预测相比，一个流行的方法，采用POD和GPR在ROM的尺寸。
2022-04-09 cs.NA math.NA
No pressure? Energy-consistent ROMs for the incompressible Navier-Stokes equations with time-dependent boundary conditions
本文提出了一种新的求解不可压斯托克斯方程的降阶模型。该ROM是仅速度的，即，速度的模拟不需要压力的计算，并且保留动能演化的结构。新ROM的关键成分是分解成一个领域的速度与齐次边界条件和提升函数，满足质量方程与规定的齐次边界条件。这种分解受到亥姆霍兹-霍奇分解的启发，并表现出两个分量的正交性。这种正交性对于保持动能演化的结构是至关重要的。为了使评估的提升函数的效率，我们提出了一种新的方法，涉及一个明确的近似边界条件POD模式，同时保持正交的速度分解，从而结构的动能演变。我们表明，建议的速度只ROM是相当于一个速度压力ROM，即，模拟速度和压力的ROM。这种等价性可以推广到其他现有的速度-压力ROM，并揭示了他们的行为有价值的见解。通过对具有入流-流出边界条件的算例的数值试验，验证了新ROM的正确性和有效性，以及与速度-压力公式的等价性。
2022-12-22 cs.NA math.NA
Structure preserving reduced order modeling for gradient systems
University of Turkish Aeronautical Association（土耳其航空大学）；Sinop University（锡诺普大学）；Middle East Technical University（中东技术大学）
本文提出了一种保持梯度耗散结构的降阶建模方法，通过POD-DEIM方法高效求解反应扩散方程，确保长时间稳定性。
2018-11-27 cs.NA math.NA
POD-ROM methods: error analysis for continuous parametrized approximations
本文提出一种基于有限差分的POD-ROM新方法，用于参数化时间依赖PDEs，获得逐点时间误差估计，并通过数值实验验证其优于标准快照方法。
2025-04-24 cs.NA math.NA
Real-time simulation of parameter-dependent fluid flows through deep learning-based reduced order models
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
在不同的虚拟场景中模拟流体流动在工程应用中具有关键重要性。然而，高保真度、全阶模型依赖于，例如，在有限元方法上，当流体流动必须几乎实时地模拟时，是无法承受的。降阶模型（ROM）依赖于，例如，本征正交分解（POD）为快速求解参数依赖的流体动力学问题提供了可靠的近似方法。然而，它们可能需要昂贵的超约化策略来处理参数化的非线性项，并且如果考虑混合速度-压力公式，则需要丰富的约化空间（或Petrov-Galerkin投影），这可能会妨碍实时评估可靠的解决方案。处理流体-结构相互作用需要更高的难度。所提出的基于深度学习（DL）的ROM通过以非侵入式方式学习非线性试验流形和简化动力学来克服所有这些限制。为此，他们依赖于深度神经网络，在通过POD进行前降维后，大大提高了训练时间。所得到的POD-DL-ROM显示提供准确的结果，在几乎实时的圆柱体基准周围的流动，连接到一个固定的，刚性块和层流不可压缩流的弹性梁之间的流体-结构相互作用，和脑动脉瘤中的血流。
2021-06-10 cs.CE cs.LG cs.NA
Mode-realigned pointwise interpolation (MRPWI) for efficient POD-Galerkin parametric reduced-order models
Eastern Institute of Technology（宁波工程学院）
本文提出MRPWI方法，通过两步模式对齐提升POD-Galerkin参数化降阶模型的效率，与GMI相比保持同等精度但计算更高效。
2026-04-26 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Computing Residual Diffusivity by Adaptive Basis Learning via Super-Resolution Deep Neural Networks
在不可压混沌流动中，由于对流占优区会形成尖锐的内层，通过求解对流扩散方程来计算剩余扩散系数的计算代价很高。本征正交分解（POD）是一种经典的基于特定分子扩散系数$D_{0}^{*}$下完全解析解的快照构造少量自适应正交基向量的方法。POD基的质量如果被应用于$D_0\ll D_{0}^{*}$会恶化。为了改进POD，我们采用超分辨率生成对抗深度神经网络（SRGAN）来训练基于快照数据的非线性映射，该快照数据具有两个$D_{0}^{*}$值。当$D_0$变小时，映射对内部层上的锐化效果进行建模。我们通过数值实验表明，应用这样的映射快照后，残余扩散率的预测精度大大提高了标准POD。
2019-09-27 cs.NA math.NA physics.comp-ph
PDE-Free Mass-Constrained Learning of Complex Systems with Hidden States
Institute of Science Technology for Energy Sustainable Mobility (STEMS) Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR)（能源可持续移动科学与技术研究所 意大利国家研究委员会）；Scuola Superiore Meridionale, School for Advanced Studies（南方高等学院）；Department of Chemical Biomolecular Engineering Department of Applied Mathematics andStatistics & Department of Urology, Johns Hopkins University（约翰霍普金斯大学）；Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli
本文提出一种无偏微分方程约束的复杂系统隐状态学习框架，利用扩散图提取潜在表示并构建降阶模型，通过k-NN提升实现高维空间重建，有效近似未知PDE的解算子。
2026-02-07 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
A POD-Galerkin reduced order model for the Navier-Stokes equations in stream function-vorticity formulation
本文发展了一种基于正交分解（POD）-Galerkin的降阶模型（ROM），用于数值模拟流函数-涡量方程中的参数Navier-斯托克斯方程。与以往的工作不同，我们选择不同的约化系数的涡量和流函数字段。此外，对于参数的研究，我们使用一个全球POD基空间从数据库中的时间相关的全阶快照有关的样本点在参数空间。我们测试我们的ROM策略的性能与涡合并基准。时间重建和物理参数化的精度和效率进行评估。
2022-01-03 cs.NA math.NA
Non-intrusive Subdomain POD-TPWL Algorithm for Reservoir History Matching
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）；TNO（荷兰应用科学研究组织）
本文提出了一种非侵入式子域POD-TPWL算法，通过结合域分解、径向基函数插值和轨迹分段线性化方法，用于储层数据同化，实现了对一般非线性时变动力系统模型降阶和线性化，无需修改原有代码。
2018-06-09 cs.NA math.NA
Combined High-Dimensional and Reduced-Order Modeling Based on an Iterative Domain Decomposition Method
Nihon University（日本大学）
该研究提出一种结合高维与降阶模型的结构分析方法，基于迭代区域分解方法实现，采用对角预条件子提升收敛性，通过混合MPI-CUDA并行实现，可用于核电站模型的静力学结构分析。
2026-09-04 cs.NA math.NA
Proper Orthogonal Decomposition Mode Coefficient Interpolation: A Non-Intrusive Reduced-Order Model for Parametric Reactor Kinetics
本文提出了一种用于反应堆参数动力学模拟的非侵入式降阶模型（ROM）。众所周知，时间相关ROM是数据密集型的，并且在考虑非线性多物理场现象时难以实现。当包括参数依赖性时，这些挑战加剧。在这项工作中提出的适当的正交分解模式系数插值（POD-MCI）ROM可以直接从低维感兴趣的量（QoI），是独立的底层模型。这大大简化了许多现有ROM的数据要求，并且可以在不修改任意复杂模型或实验数据的情况下使用。的POD-MCI ROM上的一些例子证明，并产生准确的特征的QoS内所选择的参数空间在非常有吸引力的计算加速因子相对于全阶模型（FOM）。
2023-03-15 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Using BDF schemes in the temporal integration of POD-ROM methods
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）；Universidad Autónoma de Madrid（马德里自治大学）
本文提出在POD-ROM方法中使用BDF方案进行时间积分，证明了时间收敛率与BDF阶数一致。
2026-03-04 cs.NA math.NA
Non intrusive reduced order modeling of parametrized PDEs by kernel POD and neural networks
我们提出了一个非线性减少基方法的有效逼近参数化偏微分方程（PDE），利用核适当的正交分解（KPOD）的降阶空间和神经网络的降阶近似的评估。特别是，我们使用KPOD代替更经典的POD，对手头问题的一组高保真解决方案提取一个简化的基础。这种方法提供了一个更准确的近似的快照的集合，具有较低的维度，同时保持相同的效率，POD。神经网络（NN），然后使用以下的监督学习范式，找到减少的基础上的系数，并示出是有效的学习时间/参数值和高保真快照到减少的空间上的投影之间的映射。在这个神经网络中，隐藏层的数量和神经元的数量都根据手头的微分问题的内在维度和减少的空间的大小而变化。这种自适应构建的神经网络在学习和测试阶段都取得了良好的性能。我们的方法，然后测试两个基准问题，一维波动方程和二维非线性盖驱动腔问题。最后，我们建议KPOD-NN技术与POD-NN策略进行比较，表明KPOD允许减少必须保留的模式的数量，以达到给定的精度在减少的基础近似。因此，与POD-NN策略中使用的NN相比，为找到KPOD展开的系数而构建的NN更小、更容易并且对训练的计算要求更低。
2021-03-31 cs.NA math.NA
Data augmentation for the POD formulation of the parametric laminar incompressible Navier-Stokes equations
本文针对参数化层流不可压缩流动的POD降阶模型训练集稀疏问题，提出基于质量守恒和Oseen方程线性化动量平衡构造物理合理人工快照的数据增广策略，数值实验表明后者能显著提升降阶基的精度与效率。
2024-11-04 cs.CE cs.NA math.NA
Post-Processing Reduced-Order Models for Transport-Dominated Problems by Gegenbauer Reconstruction
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Brown University（布朗大学）
针对输运主导问题中降阶模型产生的非物理振荡，提出基于Gegenbauer多项式重构的后处理框架，有效消除伪振荡，将误差降低1-2个数量级。
2026-09-30 cs.NA math.NA
A New Adaptive Deep Learning based Reduced Order Model for Hybrid-Type Parabolic PDEs: Rigorous Error Analysis and Applications
Institute for Analysis and Numerics, Münster University（明斯特大学分析与数值研究所）
本文提出基于DOD的自适应深度学习降阶模型，用于求解混合型抛物型PDEs，通过严格误差分析提升计算效率，并在催化剂过滤问题中验证其有效性。
2026-04-24 cs.NA math.NA
A weighted reduced basis method for parabolic PDEs with random data
Graduate School of Computational Engineering, Technische Universit\"at Darmstadt, Dolivostr. 15, 62493, Darmstadt, Germany WWW home page: http://www.graduate-school-ce.de/index.php?id=688 Department of Mathematics, Technische Universit\"at Darmstadt, Dolivostr. 15, 62493, Darmstadt, Germany
本文提出一种加权POD-贪心方法，用于估计具有参数化随机数据的抛物型PDEs的统计输出。通过加权降阶基方法，根据概率测度对参数依赖误差估计进行加权，以提升近似精度。
2017-12-20 cs.NA math.NA
On the impact of dimensionally-consistent and physics-based inner products for POD-Galerkin and least-squares model reduction of compressible flows
基于恰当正交分解（POD）和Galerkin正交性或最小二乘残差最小化的可压缩欧拉方程的模型降阶需要选择用于执行投影和测量范数的内积空间。最流行的选择是向量值L2（Ω）内积空间。然而，这种选择产生维数不一致的降阶模型（ROM）配方，往往缺乏鲁棒性。在这项工作中，我们试图解决这个弱点，通过研究一组尺寸一致的内积与应用程序的可压缩欧拉方程。首先，我们证明了无量纲内积有一个积极的影响POD和Galerkin/最小二乘ROM。其次，我们进一步证明了基于熵原理的物理学内积比基于无量纲L2（Ω）内积的ROM公式具有更高的精度和更强的鲁棒性。作为测试，我们考虑了以下著名的问题：一维Sod激波管，二维Kelvin-Helmholtz不稳定性和二维均匀各向同性湍流。
2022-02-26 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Multifidelity Proper Orthogonal Decomposition
Oden Institute for Computational Engineering and Sciences, University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校奥登计算工程与科学学院）
提出一种多保真公式，通过利用廉价低保真模型数据降低高保真模型本征正交分解的计算成本，并保证无偏估计和鲁棒性。
2026-06-07 cs.CE cs.NA math-ph
Reduced-order semi-implicit schemes for fluid-structure interaction problems
SISSA（的里雅斯特国际高等研究学院）；Sorbonne Universités, UPMC Université Paris 06 and CNRS UMR 7598, Laboratoire Jacques-Louis Lions（索邦大学、巴黎第六大学及法国国家科学研究中心联合实验室雅克-路易·利翁斯实验室）；Division of Applied Mathematics, Brown University（布朗大学应用数学系）
本文提出基于POD-Galerkin降阶模型的流固相互作用问题解决方案，采用Chorin-Temam操作分裂方法，通过弱/强速度连续性条件设计两种降阶方法，并在血流测试案例中验证其有效性。
2017-11-29 cs.NA math.NA
Structure-preserving reduced-order modelling of Korteweg de Vries equation
针对Hamilton形式的Korteweg de Vries（KdV）方程开发了计算高效、保持结构的降阶方法。KdV方程在空间上用有限差分离散。所得的斜梯度系统的常微分方程（ODEs）的集成与线性隐式Kahan的方法，它保持近似的哈密顿量。我们已经表明，使用适当的正交分解（POD），降阶模型（ROM）保持了全阶模型（FOM）的哈密顿结构。KdV方程的二次非线性项的有效评估，通过使用张量方法，清楚地分离的FOM和ROM的离线在线成本。对一维KdV方程、耦合KdV方程和二维Zakharov-Kuznetzov方程的孤子解进行了数值计算，证明了ROM方法的约化解的精确性、哈密顿量、动量和质量的保持性以及计算速度的提高
2021-02-08 cs.NA math.NA
Efficient data-driven regression for reduced-order modeling of spatial pattern formation
提出一种非侵入式数据驱动回归方法，通过POD降阶子空间和多项式形式构建反应扩散系统的降阶模型，在保持低计算成本的同时显著提高了斑图生成的预测精度。
2025-08-09 cs.NA math.NA nlin.PS
A Comparison of Reduced-Order Modeling Approaches Using Artificial Neural Networks for PDEs with Bifurcating Solutions
本文重点介绍了降阶模型（ROM）建立的有效治疗偏微分方程的解决方案，分叉的多个输入参数的值的变化。首先，我们考虑一种称为本地ROM的方法，该方法使用k-means算法对快照进行聚类，并为每个聚类构建一个本地POD基。我们调查这种方法的一个关键因素：当地的基础选择标准。几个标准进行了比较，发现基于回归人工神经网络（ANN）的标准提供了最准确的结果，表现出超临界干草叉分叉的通道流问题。相同的基准测试，然后使用到一个既定的全球投影为基础的ROM和最近提出的人工神经网络为基础的方法，称为POD-NN的回归神经网络选择标准的本地ROM的方法进行比较。我们表明，我们的本地ROM方法获得超过一个数量级的精度超过全球基于投影的ROM。然而，POD-NN提供一致的更准确的近似比本地基于投影的ROM。
2021-12-30 cs.NA math.NA
Exact operator inference with minimal data
Centrum Wiskunde & Informatica（数学与计算机科学中心）；Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；The Biorobotics Institute, Sant’Anna School of Advanced Studies（圣安娜高等学院生物机器人研究所）
本文提出了一种通过生成最少快照数据实现运算符推断精确重建的方法，该方法通过识别导致满秩的ROM状态，避免了非马尔可夫项和重新投影，提高了数值稳定性。
2026-02-17 cs.NA math.NA
Data-Driven Reduced-Order Models for Port-Hamiltonian Systems with Operator Inference
本文将哈密顿算子推断扩展到含耗散和输入输出的端口哈密顿系统，利用状态与输出快照通过优化推断降阶算子，并结合离散经验插值超降阶方法构造保结构的数据驱动 ROM，给出误差估计并通过数值实验验证精度。
2025-07-18 cs.NA math.NA
Structure-Preserving Galerkin POD-DEIM Reduced-Order Modeling of Hamiltonian Systems
[Gong et al. 2017]中针对哈密顿系统开发了一种结构保持适当正交分解降阶建模方法，该方法使用基于Galerkin投影的模型降阶的传统框架，但修改了降阶模型，以便保留适当的哈密尔顿结构。然而，它的计算复杂性的在线模拟仍然是高的，如果哈密尔顿涉及非多项式非线性。在本文中，我们应用离散经验插值方法，以提高在线效率的结构保持降阶模拟。由于缩减基截断会降低哈密顿近似，我们建议使用从移位快拍得到的基。一个非线性波动方程被用作测试床，数值结果表明所提出的方法的有效性。
2021-03-02 cs.NA math.NA
