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随机 $p$-进矩阵余核的联合分布 II

Joint distribution of the cokernels of random $p$-adic matrices II

Jiwan Jung, Jungin Lee

备注：
30 pages
发表信息：
Forum Math. 36 (2024), no. 4, 1119-1145
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AI总结：

本文刻画 $m\le4$ 时随机 $p$-进矩阵经不同平移后的余核可实现模元组，并证明其联合分布随矩阵阶数趋于无穷而收敛。

摘要：

本文研究余核 $\text{cok}(A_n+px_iI_n)$（$1 \le i \le m$）之间的组合关系，其中 $A_n$ 是 $p$-进整数环 $\mathbb{Z}_p$ 上的一个 $n \times n$ 矩阵，$I_n$ 是 $n \times n$ 单位矩阵，而 $x_1,\cdots,x_m$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 中模 $p$ 约化互不相同的元素。对于正整数 $m \le 4$ 以及给定的 $x_1,\cdots,x_m \in \mathbb{Z}_p$，我们确定了有限生成 $\mathbb{Z}_p$-模的 $m$-元组 $(H_1,\cdots,H_m)$ 的集合，使得存在某个矩阵 $A_n$ 满足 $(\text{cok}(A_n+px_1I_n),\cdots,\text{cok}(A_n+px_mI_n))=(H_1,\cdots,H_m)$。我们还证明，如果对每个正整数 $n$，$A_n$ 都是 $\mathbb{Z}_p$ 上的一个 $n \times n$ Haar 随机矩阵，那么 $\text{cok}(A_n+px_iI_n)$（$1 \le i \le m$）的联合分布会在 $n\rightarrow\infty$ 时收敛。

英文摘要：

In this paper, we study the combinatorial relations between the cokernels $\text{cok}(A_n+px_iI_n)$ ($1 \le i \le m$) where $A_n$ is an $n \times n$ matrix over the ring of $p$-adic integers $\mathbb{Z}_p$, $I_n$ is the $n \times n$ identity matrix and $x_1, \cdots, x_m$ are elements of $ \mathbb{Z}_p$ whose reductions modulo $p$ are distinct. For a positive integer $m \le 4$ and given $x_1, \cdots, x_m \in \mathbb{Z}_p$, we determine the set of $m$-tuples of finitely generated $\mathbb{Z}_p$-modules $(H_1, \cdots, H_m)$ for which $(\text{cok}(A_n+px_1I_n), \cdots, \text{cok}(A_n+px_mI_n)) = (H_1, \cdots, H_m)$ for some matrix $A_n$. We also prove that if $A_n$ is an $n \times n$ Haar random matrix over $\mathbb{Z}_p$ for each positive integer $n$, then the joint distribution of $\text{cok}(A_n+px_iI_n)$ ($1 \le i \le m$) converges as $n \rightarrow \infty$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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