A Directional Lipschitz Extension Lemma, with Applications to Uniqueness and Lagrangianity for the Continuity Equation
我们证明了一个Lipschitz扩张引理，其中的扩张过程同时保持Lipschitz连续两个非等价的距离。所考虑的两个距离是欧几里得距离，粗略地说，是沿着连续向量场的（可能是多值的）流的积分曲线的测地线距离。扩张的测地距离的Lipschitz常数可以根据原函数的测地距离的Lipschitz常数来估计。这个Lipschitz扩展引理允许我们在索伯列夫空间$W^{1,p}$中的向量场的情况下，在与向量场相关的所谓“向前-向后积分曲线“对于几乎每个起始点都是平凡的假设下，去除关于连续方程的DiPerna-Lions理论中的唯一性所需的解的高可积性假设，其中$p$大于空间维度。更准确地说，对于这样的向量场，我们证明了连续性方程的局部可积的弱解的唯一性和拉格朗日性。
2021-01-26 math.AP
Local Lipschitz continuity for energy integrals with slow growth and lower order terms
本文研究拉格朗日量显式依赖u且具有缓慢增长的积分泛函，利用有界斜率条件的近期结果证明了此类泛函的局部极小元具有局部Lipschitz连续性。
2023-09-19 math.AP
Global Lipschitz continuity for minima of degenerate problems
考虑了在给定边界数据$φ$的情况下，在$Ω\subset\mathbb{R}^N$上的函数之间最小化拉格朗日量$\int [F(\nabla u)+f\,u]$的问题.我们证明了Lipschitz正则到边界的解决方案，提供$Ω$是凸的和$φ$满足有界斜率条件。要求凸函数$F$满足一致凸性的限定形式{ \it仅在球外}，并且不进行增长假设。
2015-04-23 math.AP
Lipschitz continuity and convexity preserving for solutions of semilinear evolution equations in the Heisenberg group
本文研究了Heisenberg群中半线性抛物型方程的黏性解。证明了在空间无穷远处具有指数增长性的黏性解的唯一性。在适当的假设下，我们还研究了Lipschitz和水平保凸性。反例表明，一般情况下，在欧几里得空间中半线性和完全非线性抛物型方程中所熟知的这些性质在海森堡群中不成立。
2016-04-01 math.AP
Lipschitz continuity and equivalence of positive viscosity and weak solutions to Trudinger's equation
本文证明 Trudinger 方程正粘性上解为弱上解，并利用 Ishii-Lions 方法首次给出弱解的空间 Lipschitz 连续性证明。
2025-06-23 math.AP
Lipschitz continuity of harmonic maps between ${\rm RCD}(K,N)$ spaces and ${\rm CAT}(κ)$ spaces
该研究证明了从RCD(K,N)空间到CAT(κ)空间的能量极小调和映射的局部Lipschitz连续性，完善了奇异空间间调和映射的正则性结论，验证了相关不等式变体。
2026-07-30 math.AP
Strichartz Inequalities for Lipschitz Metrics on Manifolds and Nonlinear Schrodinger Equation on Domains
本文证明了具有Dirichlet边界条件的非线性Schrodinger方程的Cauchy问题的适定性。主要的论点是基于一个广义的Lipschitz度量流形上的Lipschitz不等式。
2005-12-29 math.AP
Lipschitz continuity results for a class of obstacle problems
证明了一类障碍问题解在标准$p$型增长条件下的Lipschitz连续性结果，即$p \geq 2$ .主要的新颖性是使用线性化技术可以追溯到[28]，以便将我们的约束极小解解释为具有有界右侧的非线性椭圆方程的解。这导致我们开始一个Moser迭代方案，它提供了梯度的$L^\infty$界。应用最近的一个高阶可微性结果[24]，我们可以简化[32]中线性化技术中Radon测度的识别过程。据我们所知，这是第一个结果的非自治泛函的标准增长条件的方向上的Lipschitz正则性。
2022-10-12 math.AP
Lipschitz continuity of the solutions to the Dirichlet problems for the invariant laplacians
本文研究单位球上不变拉普拉斯算子狄利克雷问题，证明边界数据Lipschitz连续性能否传递到解取决于参数ϑ的符号：ϑ>0时成立，ϑ≤0时不成立。
2023-04-16 math.AP
Lipschitz continuity of the eigenfunctions on optimal sets for functionals with variable coefficients
本文研究了谱最优化问题\begin{equation*} \min \big\{ λ_1(Ω)+\cdots+λ_k(Ω) + Λ|Ω| \ : \ Ω\subset D \text{ quasi-open} \big\} \end{equation*}，其中$D\subset\mathbb{R}^d$是有界开集，$0<λ_1(Ω)\leq\cdots\leqλ_k(Ω)$是具有Dirichlet边界条件和Hölder连续系数的散度型算子在$Ω$上的第一$k$特征值.我们证明了第一个$k$本征函数的最佳集为这个问题是局部Lipschtiz连续的$D$，因此，最佳集是开集。我们还证明了向量值函数的Lipschitz连续性，这是几乎最小的两个阶段的功能与变系数。
2020-03-31 math.AP
Loss of regularity for the continuity equation with non-Lipschitz velocity field
考虑空间维${d \geq 2}$中连续性方程的Cauchy问题.本文构造了一个在所有Sobolev空间$W^{1,p}$中一致有界的无发散速度场（对于$1 \leq p<\infty$），以及一个光滑的紧支撑的初始数据，使得具有该初始数据和平流场的连续性方程的唯一解在任何正时刻都不属于任何正分数阶的索伯列夫空间.我们还构造速度场在$W^{r,p}$，与$r>1$，和解决方案的连续性方程与这些速度表现出一些损失的规律性，只要索伯列夫空间$W^{r,p}$不嵌入Lipschitz函数的空间。我们的构造基于配套论文“不可压缩流的指数自相似混合”（J. Amer. Math. Soc. 32（2019），第2号）中的最佳混合器示例，并已在“指数自相似混合和连续性方程的正则性损失”（C. R.数学学院Sci. Paris，352（2014），no. 11）。
2019-03-28 math.AP
On fractional Orlicz boundary Hardy inequalities
本文研究有界Lipschitz域上的分数阶Orlicz边界Hardy型不等式，并在多类域中对特定临界情形建立了带对数修正的不等式。
2025-02-10 math.AP
Optimal three-ball inequalities and quantitative uniqueness for the Lamé system with Lipschitz coefficients
本文研究了具有\emph{Lipschitz}系数的Lamé方程组在$n\ge 2$维上解的局部性态.我们的主要结果是一个非平凡的解决方案，这直接意味着强唯一的连续性的消失阶上的界。本文解决了具有Lipschitz系数的Lamé系统在任意维上的强唯一性连续性的公开问题。
2009-01-29 math.AP
Local Lipschitz continuity of the minimizers of nonuniformly convex functionals under the Lower Bounded Slope Condition
本文在$g$有界且$ϕ$满足下有界斜率条件的情况下，证明了非一致凸泛函极小值点的局部Lipschitz正则性，并作为副产品证明了允许$f$非凸时该类泛函局部Lipschitz极小值点的存在性。
2025-04-15 math.AP
Lipschitz bounds for solutions of quasilinear parabolic equations in one space variable
我们根据初始连续模和经过的时间限制了一个空间变量中拟线性抛物型方程解的连续模。特别是，我们描述了这些方程的解的Lipschitz常数可以有界的初始振荡和流逝的时间。
2013-06-06 math.AP
Hölder and Lipschitz continuity of the solutions to parabolic equations of the non-divergence type
考虑非齐次二阶线性抛物型偏微分方程的非散度型解，并假设其二阶导数的系数是椭圆的，连续的，且所有系数都是有界的.在此假设下，我们证明了空间分量解的Hölder连续性。此外，在二阶导数系数满足Dini连续性的条件下，我们得到了更好的连续解.在证明中，我们使用了概率方法，特别是耦合方法。作为推论，在一个附加的假设下，我们得到了基本解在空间分量上的Hölder和Lipschitz连续性.
2016-05-30 math.AP math.PR
Lipschitz regularity for a homogeneous doubly nonlinear PDE
本文研究了双非线性偏微分方程$$ |\partial_t u|^{p-2}\,\partial_t u-\textrm{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=0. $$。该方程是在研究索伯列夫空间中Poincaré不等式的极值时产生的。我们证明了黏性解的空间Lipschitz连续性和时间上的Hölder连续性，其阶为$(p-1)/p$.作为我们的估计的应用，我们获得了逐点控制的大时间行为的解决方案。
2018-12-15 math.AP
Continuity of attractors of parabolic equations with nonlinear boundary conditions and rapidly varying boundaries. The case of a Lipschitz deformation
本文研究了带非线性边界条件的抛物型方程在边界随参数$ε$趋于零时快速振荡变化下吸引子的连续性，通过引入变化域函数与Banach空间算子族的收敛性，证明了解收敛至含振荡因子的极限方程。
2024-06-03 math.AP
A Note on Lipschitz Continuity of Solutions of Poisson Equations in Metric Measure Spaces
在这份说明中，我们将展示如何调整的一些证明Koka等。al 2003和Jiang 2011，以证明在某些空间$(X,d,μ)$中，如$RCD(K,N)$ -空间，每个具有局部$L^{p}$ -Laplacian和$p>\dimμ$的Sobolev函数是局部Lipschitz连续的。
2013-07-17 math.AP math.MG
Lipschitz regularity of solutions to two-phase free boundary problems
证明了一类完全非线性算子控制的两相自由边界问题黏性解的Lipschitz连续性。
2017-02-09 math.AP
A Note on Lipschitz Continuiy of the Solutions of a Class of Elliptic Free Boundary Problems
利用Harnack不等式对一类自由边界问题解的Lipschitz连续性给出了一个新的简单证明.
2019-09-06 math.AP
Lipschitz continuity of harmonic maps between Alexandrov spaces
1997年，J. Jost [27]和F. H. Lin [39]独立地证明了从具有下有界曲率的Alexandrov空间到具有非正曲率的Alexandrov空间的每个能量极小调和映射是局部Hölder连续的。在[39]中，F. H. Lin提出了一个挑战性的问题：Hölder连续性能否改进为Lipschitz连续性？J. Jost也提出了关于奇异空间之间调和映射的Lipschitz正则性的类似问题（见[28]第38页）。本文的主要定理给出了这一问题的一个完整的解答。
2017-09-07 math.AP math.DG math.MG
On Lipschitz continuity of solutions of hyperbolic Poisson's equation
本文研究了双曲Poisson方程$Δ_{h}u(x)=ψ(x)$的解，其中$ψ\in L^{\infty}(\mathbb{B}^{n}, \mathbb{R}^n)$和\[ Δ_{h}u(x)= (1-|x|^2)^2Δu(x)+2(n-2)(1-|x|^2)\sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}}(x) \]是$n$维空间$\mathbb{R}^n$中的双曲Laplace算子.我们证明了如果$n\geq 3$和$u\in C^{2}(\mathbb{B}^{n},\mathbb{R}^n) \cap C(\overline{\mathbb{B}^{n}},\mathbb{R}^n )$是双曲Poisson方程的解，那么它有表示$u=P_{h}[ϕ]-G_{ h}[ψ]$，只要$u\mid_{\mathbb{S}^{n-1}}=ϕ$和$\int_{\mathbb{B}^{n}}(1-|x|^{2})^{n-1} |ψ(x)|\,dτ(x)<\infty$ .这里$P_{h}$和$G_{h}$分别表示关于$Δ_{h}$的泊松积分和格林积分。进一步证明了$u=P_{h}[ϕ]-G_{h}[ψ]$形式的函数是Lipschitz连续的.
2021-01-11 math.AP
Contact equations, Lipschitz extensions and isoperimetric inequalities
通过一阶非线性系统刻画了局部Lipschitz映射和Lipschitz扩张的存在性.本文将这一研究推广到紧黎曼流形上的分次群值Lipschitz映射。通过一个简单的应用程序，我们强调这些偏微分方程和Rumin复杂之间的联系。我们引入一类2步群，满足一些抽象的几何条件，我们表明，Lipschitz映射取值于这些群体和定义在子集的平面上承认Lipschitz扩展。我们提出了几个例子，这些集团，称为Allcock集团，观察他们的水平分布可能有任何codimesion。最后，我们将展示如何这些Lipschitz扩张定理导致我们的二次等周不等式在所有Allcock组。
2009-02-18 math.AP math.DG
Fractional Korn's inequalities without boundary conditions
本文在分数阶Sobolev空间中建立了无需边界条件的分数阶Korn第一和第二不等式，将适用范围从零Dirichlet边界条件推广到具有$C^1$边界或小Lipschitz常数边界的区域，并证明了平面凸区域情形，同时猜想可推广至任意Lipschitz区域。
2023-10-09 math.AP
Log-Lipschitz continuity of the vector field on the attractor of certain parabolic equations
我们讨论了与抛物型方程解的渐近动力学的有限维性有关的各种问题。特别地，我们研究了与这些方程相关的全局吸引子上的向量场的正则性。我们证明了某些耗散偏微分方程具有一个线性项，它在吸引子上是log-Lipschitz连续的。然后，我们证明，这个属性意味着相关的全球吸引子$\mathcal A$位于一个小的邻域内的光滑流形，给出作为Lipschitz图在有限数量的傅立叶模式。因此，全局吸引子$\mathcal A$具有零Lipschitz偏差，因此，存在到有限维空间的线性映射$L$，其逆限制到$L\mathcal A$是指数任意接近1的Hölder连续的。
2010-08-29 math.AP math.DS
On Lipschitz continuity and smoothness up to the boundary of solutions of hyperbolic Poisson's equation
我们解决了双曲泊松方程$Δ_h u=μ$的Dirichlet问题$\left.u\right|_{\mathbb{B}^n}=φ,$，其中$φ\in L_1(\partial \mathbb{B}^n)$和$μ$是满足增长条件的测度。接下来，我们提出了一个简短的证明Lipschitz连续性的某些双曲泊松方程的解决方案，以前建立在\cite{ChenRas}。此外，我们还研究了与Riesz势有关的双曲Laplacian的一些可供选择的假设。此外，局部Hölder连续性证明了某些双曲泊松方程的解决方案。证明了若$u$在上半空间是双曲调和函数，则当$u$的边界函数$f$在边界点$x_0$可微时，有$\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y)\to 0, y\to 0^+$.作为推论，我们证明了双曲调和函数的$C^1(\overline{\mathbb{H}^n})$光滑性，它是从$C_c^1(\mathbb{R}^{n-1})$边界值再现的。
2022-08-12 math.AP math.CV
Hardy and Poincaré inequalities in fractional Orlicz-Sobolev spaces
在分数阶Orlicz-Sobolev背景下，给出了边界Hardy不等式在有界Lipschitz域、点的补域（所谓点Hardy不等式）、Lipschitz函数图上的域、有界Lipschitz域的补域中成立的充分条件.由此得到了有界Lipschitz域上区域分数阶Orlicz Poincaré不等式成立的充分条件.对于有界Lipschitz域，给出了分数阶Orlicz Hardy不等式和区域分数阶Orlicz Poincaré不等式的必要条件.给出了开集上分数阶Orlicz Poincaré不等式和区域分数阶Orlicz Poincaré不等式成立的各种充分条件.
2021-12-13 math.AP math.FA
Lipschitz continuity and monotone decreasingness of the solution to the BCS gap equation for superconductivity
在前面的工作\cite{watanabe3}中，我们证明了在温度很小的条件下，BCS超导能隙方程的解对温度和能量都是连续的.在没有这个限制的情况下，我们在本文中表明，该解决方案是连续的温度和能量，并且该解决方案是Lipschitz连续和单调递减的温度。
2017-03-03 cond-mat.supr-con math-ph math.AP
Eigenvalue inequalities for Schrödinger operators on unbounded Lipschitz domains
给出了外Lipschitz域上的薛定谔微分表达式，证明了相应的自伴算子在Dirichlet和Neumann边界条件或Dirichlet和混合边界条件下的特征值之间的严格不等式.此外，我们还证明了同一区域上两个不同椭圆型微分算子在Dirichlet边界条件下的特征值之间的一个严格不等式。
2016-01-14 math-ph math.AP math.MP
Lipschitz Continuity Results for Minimax Solutions of Path-Dependent Hamilton--Jacobi Equations
针对时滞系统最优控制和微分博弈中产生的路径依赖 Hamilton--Jacobi 方程 Cauchy 问题，证明了其极小极大解在时间与泛函变量上满足 Lipschitz 连续性条件。
2024-12-23 math.AP math.DS math.OC
Poincaré and Sobolev inequalities with variable exponents and log-Holder continuity only at the boundary
在变Lebesgue空间$L^{p(\cdot)}(Ω)$中证明了Sobolev-Poincaré和Poincaré不等式，其中$Ω\subset{\mathbb R}^n$是有界John域，并对指数$p(\cdot)$作了较弱的正则性假设.特别是，我们要求$p(\cdot)$满足一个新的\emph{boundary $\log$-Hölder condition}，它对$p(\cdot)$向域边界的振荡施加了一些对数衰减。对$p(\cdot)$内部振荡的某种控制也是需要的，但它是由一个非常一般的条件给出的，该条件允许$p(\cdot)$在$Ω$的每个点处都是不连续的。我们的结果如下从局部到全球的论点的基础上，某些Hardy型运营商的连续性。我们提供的例子表明，我们的边界$\log$ -赫尔德条件是必要的，我们的主要结果。同样的例子是适应表明，这个条件是不充分的其他相关的不等式。最后，我们给出了退化$p(\cdot)$ -Laplacian的Neumann问题的一个应用.
2024-09-10 math.AP math.CA
Lipschitz continuity of solutions to drift-diffusion equations in the presence of nonlocal terms
我们分析了各种线性和非线性漂移扩散系统的解的Lipschitz连续性的传播，有和没有不可压缩性约束。扩散被假定为分数或经典。这类方程模拟了不可压Navier-Stokes方程、广义粘性Burgers-Hilbert方程和各种有源标量。我们推导出的条件，保证传播的Lipschitz正则性的不可压缩的NSE的形式的非本地的，一维粘性Burgers型不等式。我们证明了在任意空间维上，广义粘性Burgers-Hilbert方程总是满足类似的不等式，从而得到整体正则性。我们还得到了一个正则性准则的斯托克斯方程的分数耗散$(-Δ)^α$，无论功率的拉普拉斯$α\in(0,1]$，在Hölder型假设的解决方案。这样的标准似乎是第一次当$α\in(0,1)$。当使用$α\in[1/2,1]$时，假设是关键的，但当使用$α\in(0,1/2)$时，假设是次关键的。进一步证明了在超临界假设下的部分正则性结果，如果考虑无压漂移扩散问题，当$α\in(1/2,1]$ .也就是说，当考虑没有不可压缩性约束（没有压力项）的漂移-扩散方程时，某个赫尔德超临界势垒被打破了，据我们所知，这是以前从未做过的。根据不同的情况下，我们的结果要么改善，推广或提供不同的证明，以前已知的规律性结果，这样的模型。我们使用的技术建立在基谢列夫，纳扎罗夫，沃尔伯格和Shterenberg介绍的连续性模量的演变。
2021-05-13 math.AP physics.flu-dyn
Regularity preservation in Kolmogorov equations for non-Lipschitz coefficients under Lyapunov conditions
本文针对非Lipschitz系数的Kolmogorov方程，在Lyapunov条件下证明漂移和扩散系数的Lipschitz常数分别为$o(\log V)$和$o(\sqrt{\log V})$时，可替代全局Lipschitz连续性以保持正则性。
2024-04-09 math.AP math.PR
Lipschitz continuity and Bochner-Eells-Sampson inequality for harmonic maps from $\mathrm{RCD}(K,N)$ spaces to $\mathrm{CAT}(0)$ spaces
本文研究RCD(K,N)空间到CAT(0)空间调和映射的正则性，利用最优输运与热流相互作用及粘性摄动论证，证明其Lipschitz连续性并建立含Hessian项的Bochner-Eells-Sampson不等式，推广了经典理论。
2023-11-04 math.AP math.DG math.MG
Boundary-degenerate elliptic operators and Holder continuity for solutions to variational equations and inequalities
Heston随机波动率过程是退化扩散过程的一个范例，在该模型中，扩散系数的退化与到半平面边界的距离的平方根成正比。这个过程的生成元，称为椭圆赫斯顿算子，是一个二阶的退化椭圆部分微分算子，其系数在空间变量中线性增长，并且算子符号的退化与到半平面边界的距离成正比。借助于加权索伯列夫空间，我们证明了椭圆Heston算子定义的变分方程解的上确界、Harnack不等式和边界附近的Hölder连续性，以及椭圆Heston算子定义的变分不等式解到边界的Hölder连续性.在数学金融学中，椭圆赫斯顿算子的障碍问题的解对应于标的资产上的永久美式期权的价值函数。
2016-03-09 math.AP math.PR q-fin.CP
