Multiplicity one and strictly stable Allen-Cahn minimal hypersurfaces
我们证明了Allen-Cahn极小超曲面的严格稳定分支总是以重数1出现。我们还建立了收敛到重数为1的非退化超曲面的解的唯一性。我们的结果适用于所有的维度和Allen-Cahn解决方案没有变分假设。
2022-03-08 math.AP math.DG
Convergence of perturbed Allen-Cahn equations to forced mean curvature flow
研究了Allen-Cahn方程的摄动问题，证明了在锐界面极限下，Allen-Cahn方程收敛于强迫中曲率流.我们允许的扰动是平方可积的扩散表面积的措施。我们给出了一个合适的广义制定强制中曲率流和应用以前的结果的Allen-Cahn作用功能。最后，我们讨论一些应用。
2009-02-11 math.AP math.DG
Relaxation of the flow of triods by Curve Shortening Flow via the vector-valued parabolic Allen-Cahn equation
本文给出了一类向量值抛物型Allen-Cahn方程的解$u_ε$，该方程以$ε\to 0$为界面，在曲线缩短流下演化为给定的三角形.
2007-06-22 math.AP math.DG
Brakke Regularity for the Allen-Cahn Flow
本文证明了抛物型Allen-Cahn方程的Brakke $\varepsilon$ -正则性定理的一个类似定理。特别是，我们显示了均匀的$C^{2,α}$规则的过渡层收敛到光滑的中曲率流为$\varepsilon\rightarrow0$。证明利用艾伦-卡恩版本的单调性公式，抛物Lipschitz近似和爆破。还得到了抛物型Allen-Cahn方程整体永恒解的相应间隙定理。作为正则性定理的一个应用，我们肯定地回答了Ilmanen提出的在平均凸集上$\mathbf {BV}$收敛不存在抵消的问题.
2020-10-23 math.AP math.DG
Allen-Cahn equation and degenerate minimal hypersurface
该短注针对以退化极小超曲面为极限界面的Allen-Cahn方程，给出了解的存在性与刚性相关的新观察和例子。
2024-04-17 math.AP math.DG
Morse theory for the Allen-Cahn functional
本文运用 Morse 理论技巧，在三维球面上通过负梯度流构造 Allen-Cahn 能量泛函低能量临界子流形之间的连接轨道。
2023-10-26 math.AP math.DG
Gradient estimates for the Allen-Cahn equation on Riemannian manifolds
本文考虑完备非紧无边界黎曼流形上Allen-Cahn方程的有界正解.我们得到这些解决方案的梯度估计。作为应用，我们得到了具有非负里奇曲率的流形上的一个Liouville型定理.
2019-08-10 math.AP math.DG
A Half-Space Theorem for the Allen--Cahn Equation in All Dimensions
Research Institute of Mathematics, Seoul National University（首尔大学数学研究院）
该研究证明全维度下Allen--Cahn方程满足零集含于半空间的有界非常数整体解为一维异宿解，确立了相关半空间定理。
2026-10-27 math.AP math.DG
Convergence of Allen-Cahn equations to De Giorgi's multiphase mean curvature flow
本文给出了多相流中曲率流的具有任意位势的Allen-Cahn方程的解到De Giorgi型$ \mathrm{BV} $ -解的条件收敛结果。此外，我们证明了De Giorgi型$\mathrm{BV} $ -解是De Giorgi型变倍解，从而我们的解在弱-强意义下是唯一的.
2023-01-28 math.AP math.DG
A convergence rate of the discrepancy for Allen-Cahn type equation
本文提出了一个新的偏微分方程来建立Brakke的运动，这是一个弱的中曲率流的概念。我们称之为修正的Allen-Cahn方程，简称MAC。然后介绍了它的优点：改进了对第一能量均分的差异能量的估计。该方程是通过使Allen-Cahn方程中的参数与时间相关并增加Z变换等项而得到的。此外，我们提到的存在一个刹车的运动通过我们的MAC。
2022-08-02 math.AP math.DG
On the Entropy of Parabolic Allen-Cahn Equation
我们定义了一个（平均曲率流）熵的氡措施在$\mathbb{R}^n$或在一个紧凑的流形。此外，我们还证明了抛物型Allen-Cahn方程测度熵的单调性公式。如果环境流形是一个具有非负截面曲率和平行里奇曲率的紧致流形，这是抛物Allen-Cahn方程的一个新的单调性公式的一个结果.作为应用，我们证明了当初始数据的熵足够小（小于一维驻波能量的两倍）时，抛物型Allen-Cahn方程的极限测度在未来所有时间都具有单位密度.
2021-02-08 math.AP math.DG
Convergence of the Allen-Cahn equation with Neumann boundary conditions
研究了具有Neumann边界条件的Allen-Cahn方程的奇异极限问题，其初值具有一致有界的能量.证明了时间参数化的极限能量测度族是边界上具有广义直角条件的Brakke中曲率流。
2016-06-17 math.AP math.DG
Bounded solutions to the Allen-Cahn equation with level sets of any compact topology
我们利用Allen-Cahn方程无限指数解的灵活性证明了，给定R^d的任何紧致超曲面$Σ$，在$d\geq 4$的情况下，存在R^d上Allen-Cahn方程的有界整解，其零水平集具有与$Σ$的重标度同构（且任意接近）的连通分量。更一般地说，我们证明了有限个规定的拓扑结构的紧凑的连接组件在其零水平集的解决方案的存在性。
2015-06-02 math.AP math.DG
Allen-Cahn min-max on surfaces
在Guaraco的工作的启发下，我们使用Allen-Cahn能量泛函的极小极大方法来构造封闭的二维黎曼流形上的测地线。借用经典的爆破和曲率估计几何分析，以及新的Allen-Cahn曲率估计由于王伟，我们设法研究潜在的奇点在扩散水平的精细结构，并表明，问题归结为理解“整个”奇异性模型构造的del Pino-Kowalczyk-Pacard与莫尔斯指数1。这个论点是由莫尔斯指数估计这些奇异模型完成的。
2019-12-22 math.AP math.DG
Global minimizers of the Allen-Cahn equation in dimension $n\geq 8$
证明了Allen-Cahn方程在$8$及以上维数下的整体极小解的存在性.更确切地说，给定任何严格面积最小化的劳森锥，存在全局极小点，其节点集渐近于锥。作为Jerison-Monneau程序的结果，我们建立了不同于Bézerie-De Giorgi-Giusti极小图的De Giorgi猜想的许多反例的存在性。
2016-06-16 math.AP math.DG
Generic nondegeneracy for solutions of the Allen-Cahn equation under a volume constraint in closed manifolds
设$M^n$是连通闭光滑流形，其中$n\geq 2$ .在这篇文章中，我们采用Micheletti和Pistoia（2009）以及Ghimenti和Micheletti（2011）中的技巧来证明$M$中体积约束下的Van der Waals-Allen-Cahn-Hilliard方程的解的通有非退化性。
2021-02-17 math.AP math.DG
Second order estimates for transition layers and a curvature estimate for the parabolic Allen-Cahn
本文证明了抛物型Allen-Cahn方程向平均曲率流改进的收敛性质（即相变水平集在$C^2$中收敛则必在$C^{2,θ}$中收敛），并以此推导出该方程的曲率估计，可视为平均曲率流Brakke和White正则性定理的扩散版本。
2023-06-27 math.AP math.DG
Solutions of the Allen-Cahn equation on closed manifolds in the presence of symmetry
证明了在无边界的紧致黎曼流形$M$中给定极小超曲面$Γ$，如果$Γ$的所有Jacobi场都由周围等距生成，那么对于充分小的节点集收敛于$Γ$的$\varepsilon>0$，我们可以在$M$上找到Allen-Cahn方程$-\varepsilon^2Δu +W'(u)=0$的解.这推广了Pacard-Ritoré的结果（在闭流形和零中曲率的情况下）。
2019-06-13 math.AP math.DG
Doubling construction for $O(m)\times O(n)$-invariant solutions to the Allen-Cahn equation
在$\mathbb{R}^{N+1}$中构造了Allen-Cahn方程Δu+u-u3=0的新的$O(m)\times O(n)$ -不变解族，其中$N\ge 7$的零水平集在无穷远处与Lawson锥几何发散.该构造基于对给定的$O(m)\times O(n)$ -不变流形上Jacobi-Toda系统的仔细研究，该系统在无穷远处渐近于Lawson锥.
2020-09-29 math.AP math.DG
Nodal set comparison for Allen--Cahn solutions with conical asymptotics
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Konkuk University（建国大学）
本文研究了具有锥形渐近性的Allen-Cahn解的节点集比较，证明正相的包含决定了解的全局顺序，并展示了节点集的不相交性。
2026-01-08 math.AP math.DG
On stable solutions to the Allen-Cahn equation with bounded energy density in $\mathbb{R}^4$
本研究证明$\rm \bb R^4$中具有有界能量密度（三次能量增长）的Allen-Cahn方程稳定解是一维的，该结论可推出稳定相变鲁棒曲率估计、Marques-Neves相关猜想等重要几何结果。
2025-09-02 math.AP math.DG
Rigidity of low index solutions on $S^3$ via a Frankel theorem for the Allen-Cahn equation
证明了三球面上Allen-Cahn方程的Urbano刚性定理：Morse指数为5的临界点是Clifford环面上为零的对称函数.此外，他们实现了第五宽度的最小-最大频谱的艾伦-卡恩功能。我们通过分析这些临界点的零性和对称性来解决这个问题。然后，我们证明了一个合适的Frankel型定理的节点集，一般有效的流形与积极的里奇曲率。这在建立结论中起着关键作用，并进一步使我们能够推导出更大尺寸的球体的辅助刚度结果。
2020-07-17 math.AP math.DG
Two-end solutions to the Allen-Cahn equation in $\mathbb{R}^{3}$
本文考虑Allen-Cahn方程$$ -Δu = u-u^3 \ \mbox{in} \ {\mathbb R}^3 $$，证明了对于每个$$ -Δu = u-u^3 \ \mbox{in} \ {\mathbb R}^3 $$，方程都存在一个具有增长率$k$的解，即$$ \| u-H(\cdot -k \ln r + c_k) \|_{L^\infty} \to 0$$。我们的证明的主要内容包括：（1）具有增长率的解的紧性$k$，（2）形式维数为1的解析簇的模空间理论。
2015-02-20 math.AP math.DG
Convergence of a vector-valued Allen-Cahn system to Brakke's multiphase mean curvature flow
Heidelberg University（海德堡大学）；Kyoto University（京都大学）
该研究首次证明耦合Allen-Cahn方程系统全局无条件收敛到Brakke意义下的多相平均曲率流，解决了该领域长期存在的重大开放问题。
2026-09-09 math.AP math.DG
Allen--Cahn and mean curvature flows from Clifford hypersurfaces to equators
University of Macau（澳门大学）
该研究借助OpenAI对Solomon--Yau猜想的解决，将与Pedro Gaspar的合作成果推广至n≥2的所有维度，在S^{n+1}上构造了连接Clifford超曲面近似值与赤道球面的永恒Allen--Cahn流及无穷多永恒积分Brakke流。
2026-10-14 math.AP math.DG
Mean curvature flow and low energy solutions of the parabolic Allen-Cahn equation on the three-sphere
在这篇文章中，我们研究永恒的解决方案的Allen-Cahn方程在3-球，鉴于相关的能量泛函的梯度流之间的联系，和中曲率流。我们构建永恒的积分Brakke流连接Clifford环面赤道领域，并研究了一个家庭这样的流量，特别是他们的对称性。我们的方法是基于由中曲率作为Allen-Cahn梯度流的奇异极限的Brakke运动的实现，正如Ilmanen和Tonegawa所研究的那样，并且它使用了由K. Choi和C. Mantoulidis，以及F.希斯迈尔
2021-07-24 math.AP math.DG
Minimal surfaces and the Allen-Cahn equation on 3-manifolds: index, multiplicity, and curvature estimates
Allen-Cahn方程是一个半线性偏微分方程，它通过奇异极限与极小超曲面理论紧密相连。本文在王伟最近工作的基础上，证明了三维流形上Allen-Cahn方程稳定解的曲率估计和强片分离估计。使用这些，我们能够显示3-流形上的通用度量，极小曲面所产生的Allen-Cahn解决方案与有界能量和有界Morse指数是双边的，并发生与重数1和预期的Morse指数。这证实了，在艾伦-卡恩设置，一个强大的形式的重数1猜想和指数下界猜想的3维马克-内维斯关于最小-最大的建设极小曲面。Allen-Cahn最小-最大构造最近由Guaraco和Gaspar-Guaraco进行。我们对重数1和指数下界图的解析表明，这些构造可以用来对具有一般度量的3-流形中的无穷多个极小曲面上的Yau猜想给出一个新的证明（最近由Irie-Marques-Neves证明），并得到新的几何结论.也就是说，我们证明了具有一般度量的3-流形包含，对于每个$p$ = 1，2，3，.，由Marques-Neves证明的具有Morse指数$p$和面积$p^{1/3}$的双侧嵌入极小曲面。
2019-08-29 math.AP math.DG
Quantitative stratification for the fractional Allen-Cahn equation and stationary nonlocal minimal surface
本研究将Naber和Valtorta的定量分层原理应用于s∈(0,1/2)、n≥2的分数阶Allen-Cahn方程，得到过渡集最优定量估计，改进了相关势能估计并给出精确形式，同时推广了稳态非局部极小曲面的周长估计结果。
2025-03-21 math.AP math.DG
Quantization of the Energy for the inhomogeneous Allen-Cahn mean curvature
本文研究非齐次 Allen-Cahn 相变问题，证明了相场极限下 Dirichlet 与 Potential 能量均分，且总能量 varifold 收敛于具有 $L^{q_0}$ 平均曲率的整数可整 varifold，是 Allard 定理的扩散版本。
2023-06-27 math.AP math.DG
Lawson cones and the Allen-Cahn equation
本文研究了渐近于Lawson锥的特殊极小超曲面的非退化性与稳定性，并利用这些超曲面构造了在$\R^{N+1}$中具有$k\ge 2$个连通分支零水平集及无穷Morse指标的Allen-Cahn方程解。
2025-01-27 math.AP math.DG
Catenoidal layers for the Allen-Cahn equation in bounded domains
本文给出了奇摄动Allen-Cahn方程$α^2 Δu + u(1-u^2)=0, \quad \hbox{in }Ω\subset \R^N $的一族新的解，其中$N=3$，$Ω$是光滑有界区域，$\A>0$是小参数.我们提供的渐近行为表明，作为$α\to 0$，水平集的解决方案崩溃到一个完整的嵌入式极小曲面的有界部分，有限的全曲率正交相交的域的$\partial Ω$，这是非退化方面的$Ω$。我们提供了明确的例子，我们的结果适用于表面。
2015-04-21 math.AP math.DG
Van der Waals--Allen--Cahn--Hilliard equation with a volume constraint
给出了有界Lipschitz域$Ω\subset\mathds R^N$上具有Van der Waals-Allen-Cahn-Hilliard型非对称双势、满足线性体积约束的非线性椭圆方程解的多重性结果。的解决方案的数量估计的基础域$Ω$的拓扑和同调不变量。
2019-07-29 math-ph math.AP math.DG
