Equivariant Allen--Cahn Solutions and the Existence of Cohomogeneity $2$ Minimal Surfaces
Universidad de Chile（智利大学）；Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontifical 大学）；Rice University（莱斯大学）
研究闭黎曼流形上等变艾伦 - 卡恩解的正则性理论，利用修正方程和相关理论，证明特定条件下解收敛到极小超曲面，还扩展了变分构造，得到等变艾伦 - 卡恩p - 宽度收敛结果，为相关流形存在极小超曲面提供依据。
2026-08-11 math.DG
Min-max theory for free boundary minimal hypersurfaces I - regularity theory
在20世纪60年代，Almgren提出了一个用极小极大方法寻找紧致流形中极小超曲面的方案。这一程序主要是由Pitts和Schoen-Simon在20世纪80年代提出的，当时流形没有边界。在本文中，我们完成了具有非空边界的一般紧流形的程序。结果证明了在任何紧致光滑欧几里得整环中存在一个具有自由边界的光滑嵌入极小超曲面。结合Marques和Neves的工作，我们的一般存在性结果的一个应用表明，对于任何具有非负里奇曲率和凸边界的紧致黎曼流形，存在无穷多个适当嵌入的具有自由边界的嵌入极小超曲面.
2017-08-24 math.DG
Morse index and multiplicity of min-max minimal hypersurfaces
面积泛函的最小-最大理论由Almgren在20世纪60年代初提出，并由Pitts在1981年大大改进，但由于它没有给出最小-最大极小超曲面的Morse指数估计，因此是不完整的。我们进一步推广了这一理论，证明了由它产生的极小超曲面的第一广义Morse指标界，并解决了经典单参数sweepout情形的多重性问题。
2016-12-14 math.AP math.DG
New applications of Min-max Theory
我将谈论我最近的工作与费尔南多马克斯在那里我们使用阿尔姆皮茨最小最大理论解决一些悬而未决的问题在几何：威尔莫尔猜想，弗里德曼，他，王猜想的联系（联合伊恩阿戈尔），并存在无穷多个极小超曲面的流形积极里奇曲率。最后一节提出了一些开放性问题。
2014-09-26 math.AP math.DG math.GT
Min-max for phase transitions and the existence of embedded minimal hypersurfaces
在极小超曲面理论和相变理论之间可以画出很强的相似之处。借用前一个想法，我们扩展最近的结果稳定的相变界面的规则性有限的莫尔斯指数的情况下。作为应用，我们提出了一个基于偏微分方程的证明著名定理的Almante-Pitts，嵌入极小超曲面在紧流形的存在性。我们比较我们的结果与其他极小极大理论。
2015-05-28 math.AP math.DG
Boundary behavior of limit-interfaces for the Allen-Cahn equation on Riemannian manifolds with Neumann boundary condition
研究带Neumann边界条件的黎曼流形上Allen-Cahn方程极限界面的边界行为，证明其为直至边界整数可求长的自由边界变分曲面，无需边界凸性假设，为相关min-max理论的正则性研究奠定基础。
2023-12-12 math.AP math.DG
Existence of closed embedded curves of constant curvature via min-max
本文研究闭合定向黎曼曲面上预定测地曲率泛函的 Almgren-Pitts 极小极大理论，给出产生常曲率闭合嵌入曲线的条件，并证明在 1/8-pinched 高斯曲率的任意 $S^2$ 度量上存在任意预定常曲率的闭合嵌入曲线。
2023-06-08 math.DG math.DS
Generic existence of multiplicity-1 minmax minimal hypersurfaces via Allen--Cahn
在Guaraco 2018年的工作中，给出了一个新的证明，证明了具有$n\geq 2$的紧致黎曼流形$N^{n+1}$中存在一个闭极小超曲面。这是通过采用Allen-Cahn近似方案和Allen-Cahn能量的一个参数最小最大值来实现的（依赖于Hutchinson，Tonegawa，Wickramasekera的作品，以达到极限，因为Allen-Cahn参数趋于$0$）。所得到的极小超曲面可以先验地具有局部常整数重数。在这里，我们考虑一个极大极小的建设，这是一个在上述工作的修改，通过允许一个初始的自由选择的山谷点之间的山口建设进行，然后优化上述选择。证明了当$2\leq n\leq 6$和度量是凹凸的时，这个极小极大导致一个重数为$1$的（光滑闭）极小超曲面. (When $n=2$这一结论也来自Chodosh--Mantoulidis最近的工作。）作为直接推论，我们得到了每个维数为$n+1$，$2\leq n\leq 6$的紧致黎曼流形，如果赋以一个凹凸度量，都存在一个双边光滑闭极小超曲面（这一存在性结论也是由周文锋最近利用Almgren-Pitts理论对极小极大构造的结果得到的）.
2020-10-29 math.AP math.DG
Spectrum and index of two-sided Allen-Cahn minimal hypersurfaces
Guaraco，Hutchinson，Tonegawa和Wickramasekera的联合工作最近给出了一个经典定理的新证明，即任何闭的维数为$n + 1 \geq 3$的黎曼流形包含一个极小超曲面，其奇异集的豪斯多夫维数至多为$n-7$。这种证明避免了Almgren-Pitts几何最小-最大程序的面积功能，是在原来的证明工具，而是基于一个相当简单的PDE最小-最大建设的临界点的艾伦-卡恩功能。在这里，我们证明了一个谱下界的超曲面产生的这种建设。这直接意味着超曲面的Morse指数的上界，根据临界点的指数，只要它是双边的。特别地，Guaraco构造的双边超曲面的Morse指数至多为$1$。最后，我们通过一个初等的归纳论证指出，超曲面的正则性是如何从稳定情形下的相应结果得到的。
2018-07-13 math.AP math.DG
Bourbaki Seminar 1081 : Min-max methods and the Willmore conjecture, after Fernando Codá Marques and André Arroja Neves
两年前，FC马克斯和A.A. Neves在三维球的封闭可求长二维流的框架内实现了几何测度论中的极小-极大方法，这是由于F。Almgren和J. Pitts。使用这种方法，他们成功地证明了著名的克利福德环面最小化所有非零亏格在$S^3$的封闭极小曲面之间的面积。他们的工作的另一个引人注目的结果是提供了Willmore猜想的证明。这次谈话的目的是讨论第一的一般框架，这两个定理的马克斯和内维斯。然后，我们将介绍其证明的结构和一些关键细节。然后，我们将解决这个显着的贡献微积分的范围内的表面上的变化在一个3维空间。
2014-02-06 math.DG
Min-max theory for $G$-invariant minimal hypersurfaces
本文考虑一个闭黎曼流形$M^{n+1}$，其维数为$3\leq n+1\leq 7$，紧李群$G$作为$M$上的等距，其上齐次至少为$3$ .在将Almande-Pitts极大极小理论应用到$G$ -等变形式之后，我们证明了存在一个非平凡的闭光滑嵌入$G$ -不变极小超曲面$Σ\subset M$，条件是非主轨道的并集构成$M$的一个光滑嵌入子流形，维数至多为$n-2$ .此外，我们还建立了$(G,p)$ -宽度的上界和下界，它们类似于Gromov和Guth的经典结论。将所得结果与Marques-Neves的工作相结合，证明了当${\rm Ric}_M>0$和轨道满足上述假设时，存在无穷多个$G$不变极小超曲面.
2022-07-11 math.DG
An Improved Morse Index Bound of Min-Max Minimal Hypersurfaces
本文给出了闭黎曼流形中极小超曲面的一个改进的Morse指标界（$M^{n+1}$ $(n+1 \geq 3$），推广了X.周\cite{zhou_multiplicity_2019}为$3 \leq n+1 \leq 7$。新的技术是分层变形和限制性极小极大理论的建设。这些技术不依赖于颠簸指标，因此可以适用于许多其他最小值-最大值设置。
2020-08-20 math.AP math.DG
A free boundary minimal surface via a 6-sweepout
本文证明单位3-球的Almgren-Pitts 6-宽度小于$2π$，并构造了一个非平凡的具有有界亏格、指标和面积的自由边界极小曲面。
2023-05-16 math.AP math.DG math.GT
Infinitely Many Half-Volume Constant Mean Curvature Hypersurfaces via Min-Max Theory
本文通过发展 Almgren-Pitts 型极小极大理论处理非局部泛函，证明了在 3 至 5 维闭 Riemannian 流形上，通用度量或正 Ricci 曲率度量下存在无穷多个包围一半体积的常平均曲率超曲面。
2024-08-25 math.DG
Min-max minimal hypersurface in $(M^{n+1}, g)$ with $Ric_{g}>0$ and $2\leq n\leq 6$
本文研究了具有$2\leq n\leq 6$的正里奇曲率黎曼流形$(M^{n+1}, g)$的基本类所对应的\cite{A2} \cite{P}中由Almante-Pitts生成的极小极大极小超曲面的形状.我们刻画了这个极小极大超曲面的Morse指数、面积和重数。特别地，我们证明了极小极大超曲面是可定向的且指数为1的，或者是不可定向的极小超曲面的双覆盖，在所有闭嵌入极小超曲面中，极小超曲面的面积最小.
2012-10-18 math.DG math.GT
Min-max hypersurface in manifold of positive Ricci curvature
本文研究了在任意维数的正里奇曲率的黎曼流形\cite{AF62, AF65, P81, SS81}中由Almart-Pitts-Schoen-Simon \cite{AF62, AF65, P81, SS81}生成的极小极大极小超曲面的形状.极小极大超曲面有一个Hausdorff余维数为$7$的奇异集。我们刻画了这个奇异极大极小超曲面的Morse指数、面积和重数。特别地，我们证明了极小极大超曲面要么是可定向的且Morse指标为1，要么是不可定向的稳定极小超曲面的双覆盖。作为一个必要的技术工具，我们证明了一个更强的版本的离散化定理。离散化定理首先由马克-内维斯在他们证明Willmore猜想\cite{MN12}时提出，它是连接几何中自然出现的清除和极小极大理论中使用的清除的桥梁。我们的结果消除了\cite{MN12}的一个关键假设，称为无质量浓度条件，因此证实了Marques-Neves在\cite{MN12}中的一个猜想。
2016-11-30 math.DG
Multiplicity-1 minmax minimal hypersurfaces in manifolds with positive Ricci curvature
我们通过Allen-Cahn能量解决了单参数极小极大构造，最近导致了一个新的证明，证明了在任意紧致黎曼流形$N^{n+1}$中存在一个封闭的极小超曲面，其中$n\geq 2$（参见Guaraco 2018年的工作）。我们得到了如下的重数$1$结果：如果$N$的里奇曲率为正，则极小极大Allen-Cahn解集中在重数$1$超曲面上，该超曲面可能具有一个奇异的$\leq n-7$维集.这一结果对于$n\geq 3$是新的（对于$n=2$，Chodosh-Mantoulidis最近的工作也暗示了这一点）。在这里开发的参数是几何的味道和直接利用极小极大的解决方案的特点。一个直接的推论是：每个具有$n\geq 2$和正里奇曲率的紧致黎曼流形$N^{n+1}$都有一个双边闭极小超曲面，可能有一个奇异维数集至多$n-7$ .这个存在的结果也遵循多重性- $1$的结果内发展的Almgren-皮茨框架，见作品由Ketover-Marques-Neves，周，Marques-Neves，拉米雷斯-卢纳。
2020-05-26 math.AP math.DG
A min-max gap characterization of minimal foliations on the torus
The University of Chicago（芝加哥大学）
本文扩展Mather引入的能量到Almgren-Pitts极小理论中，研究环面的最小流形分解，并证明在通用度量下，存在间隙时存在非极小的最小流形。
2026-10-23 math.AP math.DG math.DS
Min-max theory for free boundary minimal hypersurfaces II -- General Morse index bounds and applications
对于具有边界$(M,\partial M)$的$(n+1)$维紧致流形上的任意光滑黎曼度量，其中$3\leq (n+1)\leq 7$，我们在Almante-Pitts背景下建立了极小极大理论产生的自由边界极小超曲面的Morse指标的一般上界.我们应用Morse指数估计证明了对于几乎每一个（在$C^\infty$ Baire意义下）Riemannan度量，所有紧的、适当嵌入的自由边界极小超曲面的并集在$M$中是稠密的.如果进一步假设$\partial M$具有严格平均凸点，我们证明了存在无穷多个紧的、适当嵌入的、边界非空的自由边界极小超曲面.我们的结果证明了一个猜想丘的一般度量在自由边界设置。
2019-07-28 math.AP math.DG math.GT
Min-Max Construction of Anisotropic Minimal Surfaces with Genus Bound
Bocconi University（博科尼大学）
通过建立Meeks-Simon-Yau定理的各向异性版本，发展各向异性Simon-Smith极小-极大理论，在闭3-流形中构造各向异性极小-极大序列，其极限为光滑（可能除一点外）的稳定各向异性极小曲面。
2026-06-29 math.AP math.DG
Weyl Law and convergence in the classical limit for min-max nonlocal minimal surfaces
本文研究非局部极小曲面作为面积泛函的新逼近理论，证明了其分数周长的 Weyl 型律，并在经典极限下建立了极小极大 s-极小曲面向光滑经典极小曲面的收敛性，恢复了 Yau 猜想的强形式。
2025-10-13 math.AP math.DG
Nonlocal approximation of minimal surfaces: optimal estimates from stability
本文为非局部极小曲面建立稳定性驱动的曲率与片分离最优估计，并证明超平面是R^4中唯一的稳定s-极小超曲面，为非局部逼近方法奠定基础。
2025-10-17 math.AP math.DG
