arXiv 2301.054882023-01math-phmath.MPmath.OAquant-ph

从 Kraus 算子到量子映射的 Stinespring 形式：无限维的另一种构造

From Kraus Operators to the Stinespring Form of Quantum Maps: An Alternative Construction for Infinite Dimensions

Frederik vom Ende

备注：: 9 pages main

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AI总结：

本文提出了一种构造性证明，利用 Sz.-Nagy 膨胀定理为无限维量子映射建立 Stinespring 形式，其辅助环境维度为 Kraus 秩加一个量子比特，改进了 Hellwig & Kraus 的原始构造。

摘要：

我们提出了以下命题的另一种（构造性）证明：对于每个完全正且保迹的映射 $Φ$，存在一个处于纯态 $|ψ⟩⟨ψ|$ 的辅助 Hilbert 空间 $\mathcal K$，以及一个作用于系统加环境的酉算子 $U$，使得 $Φ$ 等于 $\operatorname{tr}_{\mathcal K}(U((\cdot)\otimes|ψ⟩⟨ψ|)U^*)$。我们证明的主要工具是应用于子空间上定义的等距映射的 Sz.-Nagy 膨胀定理。在我们的构造中，环境由一个维度为“$Φ$ 的 Kraus 秩”的系统加上一个量子比特组成，后者仅起催化剂作用。相比之下，Hellwig & Kraus 在 70 年代给出的原始证明产生了一个维度为“Kraus 秩加一”的辅助系统。最后，我们提供了一个例子来说明这些构造之间的差异。

英文摘要：

We present an alternative (constructive) proof of the statement that for every completely positive, trace-preserving map $Φ$ there exists an auxiliary Hilbert space $\mathcal K$ in a pure state $|ψ\rangle\langleψ|$ as well as a unitary operator $U$ on system plus environment such that $Φ$ equals $\operatorname{tr}_{\mathcal K}(U((\cdot)\otimes|ψ\rangle\langleψ|)U^*)$. The main tool of our proof is Sz.-Nagy's dilation theorem applied to isometries defined on a subspace. In our construction, the environment consists of a system of dimension "Kraus rank of $Φ$" together with a qubit, the latter only acting as a catalyst. In contrast, the original proof of Hellwig & Kraus given in the 70s yields an auxiliary system of dimension "Kraus rank plus one". We conclude by providing an example which illustrates how the constructions differ from each other.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

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