Stinespring 构造作为一种伴随
Stinespring's construction as an adjunction
AI总结：
本文将 Stinespring 构造刻画为从 $C^*$-代数表示到完全正映射的限制函子的左伴随，并借此给出极小膨胀的泛性质，最终证明所有有限维 $C^*$-代数满足纯化公设。
摘要：
给定一个单位元 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 在 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的表示，以及从另一个 Hilbert 空间到 $\mathcal{H}$ 的有界线性映射 $V:\mathcal{K}\to\mathcal{H}$，通过 $V$ 所关联的伴随作用进行限制，可以得到 $\mathcal{A}$ 上的一个完全正映射。我们证明这种限制构成了从 $C^*$-代数表示函子到完全正映射函子的自然变换。我们展示 Stinespring 构造是该限制的左伴随。我们的 Stinespring 伴随给出了与极小 Stinespring 膨胀及 Stinespring 膨胀态射相关联的泛性质。我们利用这些结果证明了所有有限维 $C^*$-代数都满足纯化公设。
英文摘要：
Given a representation of a unital $C^*$-algebra $\mathcal{A}$ on a Hilbert space $\mathcal{H}$, together with a bounded linear map $V:\mathcal{K}\to\mathcal{H}$ from some other Hilbert space, one obtains a completely positive map on $\mathcal{A}$ via restriction using the adjoint action associated to $V$. We show this restriction forms a natural transformation from a functor of $C^*$-algebra representations to a functor of completely positive maps. We exhibit Stinespring's construction as a left adjoint of this restriction. Our Stinespring adjunction provides a universal property associated to minimal Stinespring dilations and morphisms of Stinespring dilations. We use these results to prove the purification postulate for all finite-dimensional $C^*$-algebras.
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