Extremal Khovanov homology of Turaev genus one links
一个链环的Turaev亏格可以被认为是衡量一个链环的非交替程度的一种方法。一个链环是Turaev亏格零当且仅当它是交替的，在这个观点中，具有大Turaev亏格的链环是非常非交替的。本文研究了Turaev亏格1环，这是一类包含几乎交错环的环。证明了Turaev亏格单环的Khovanov同调在至少一个极值量子分次上同构于$\mathbb{Z}$.作为应用，我们计算或近似计算了Turaev亏格单链环的最大Thurston-Bennequin数。
2019-09-06 math.GT
Non-congruence of homology Veech groups in genus two
研究亏格为2的正方形拼接曲面的Veech群在同调上的作用。这个作用定义了同调Veech群，它是$\textrm{SL}_2(\mathcal{O}_D)$的一个子群，其中$\mathcal{O}_D$是平方判别式的二次阶。推广Weitze-Schmithüsen的一个结果，我们证明了同调Veech群也是一个完全非同余子群，例外只来自于2以上的素理想.虽然Weitze-Schmithüsen关于Veech群的结果在自旋结构方面是不对称的，但我们使用同调Veech群产生了一个完全对称的图像。
2017-05-10 math.GT
Rational genus and Heegaard Floer homology
本文重新证明有理Seifert亏格的$d$不变量下界，并将Floer简单纽结的最小亏格结论推广到$Y\ imes I$中的有理切片亏格问题。
2023-09-26 math.GT
Heegaard Floer correction terms and rational genus bounds
给定有理同调3-球面$Y$的第一同调中的一个元素，可以考虑这个同调类中所有纽结的最小有理亏格。这在$H_1(Y;\mathbb Z)$上定义了一个函数$Θ$，它是由Turaev引入的，作为Thurston范数的类似物。我们将使用Heegaard弗洛尔同调中的校正项给出这个函数的下界。作为推论，我们证明了L-空间中的Floer单纽结在其同调类中是亏格极小元，从而回答了Turaev和Rasmussen关于透镜空间中亏格极小元的问题.
2014-09-10 math.GT
Near extremal Khovanov homology of Turaev genus one links
本文研究 Turaev 亏格一链环在 Khovanov 同调非平凡的前后两个多项式分次中的结构，证明其中一个特定直和项平凡，并由此计算 Rasmussen s 不变量并给出光滑四亏格上界。
2022-11-18 math.GT
Using rational homology circles to construct rational homology balls
本文受 Akbulut-Larson 启发，利用界定有理同调圆的 plumbed 3-流形构造多族界定有理同调 4-球的有理同调 3-球面，并给出环面丛族、一般构造方法及 $-1$-手术结论。
2020-11-04 math.GT
Spherical 3-manifolds bounding rational homology balls
给出了光滑有理同调4-球的球面3-流形的一个完全分类。进一步，我们确定了有理同调3-球面的有理同调配边群中球面3-流形的阶。为此，我们使用3-流形约束合理的同源球诱导唐纳森的对角化定理和Heegaard Floer校正项。
2019-10-16 math.GT
L-homology on ball complexes and products
我们构建同调论的系数在L-谱的范畴内的球复合物，我们定义的产品在此设置。我们还得到了这些同调群中几何情形的签名，并证明了乘积公式，我们希望这些公式能澄清在全外科阻塞理论中使用的乘积。
2016-11-13 math.GT
Equivariant embeddings of rational homology balls
我们推广Khodorovskiy和Park Park Shin的定理，并给出这些定理的新的拓扑证明，使用嵌入曲面的4-球和分支双覆盖。这些定理展示了以透镜空间为界的某些有理同调球的光滑余维零嵌入。
2018-05-13 math.GT
Rational homology balls in $2$-handlebodies
我们证明了存在有理同调球$B_p$光滑地嵌入到与某些结相关联的$2$ -同调体中。进一步证明了，如果我们沿着嵌入的有理同调球$B_p$对$2$ -流形体进行有理爆破，那么在一定的温和条件下，不能仅仅通过对$2$ -流形体进行一系列的普通爆破来得到所得到的$4$ -流形.
2018-03-15 math.GT
Nonorientable four-ball genus can be arbitrarily large
纽结K的不可定向四球亏格是B^4边界K中任何光滑嵌入的、不可定向曲面F的最小第一贝蒂数。与可定向的四球亏格不同，它的下界是Murasugi签名、Ozsvath-Szabo τ-不变量、Rasmussen s-不变量，文献中关于不可定向的四球亏格的最佳下界是3。我们找到了一个关于K的签名的下界和由K上的-1手术给出的整数同调球面的Heegaard-Floer d-不变量。特别地，我们证明了环面纽结T（2k，2k-1）的不可定向四球亏格是k-1。
2012-04-09 math.GT
Smooth Embeddings of Rational Homology Balls
有理同调球$B_n$出现在Fintushel和Stern的有理blow-down构造[FS]中，随后被用来（例如Fintushel-Stern [FS 4]，Park[Pa 2]）构造具有小欧拉数的奇异光滑流形。我们证明了一个大类的光滑4-流形有所有的$B_n$的奇$n \geq 3$嵌入其中。特别是，我们给出明确的例子，使用Kirby演算，几个家庭的合理的同调球$B_n$的光滑嵌入。
2012-12-18 math.GT
Four-ball genus bounds and a refinement of the Ozsvath-Szabo tau-invariant
基于Rasmussen的工作，我们构建了一个和谐的不变量与结Floer复杂，并展示的例子中，这个不变量给任意更好的界限上的4球属比Ozsvath-Szabo tau不变量。
2014-01-08 math.GT
Khovanov homology and exotic surfaces in the 4-ball
我们证明了Khovanov同调上的协边映射可以区分4球中的光滑曲面，这些光滑曲面是奇异打结的（即，通过环境同胚而不是环境同胚的同位素）。我们开发了新的技术区分协边映射Khovanov同调，借鉴结对称性和辫子因子分解。我们还表明，Plamenevskaya的横向不变Khovanov同调是由正升配边诱导的地图保存。
2022-11-15 math.GT
Unoriented knot Floer homology and the unoriented four-ball genus
在较早的工作中，我们介绍了一个家庭的t-修改的结Floer同源，定义通过修改结构的结弗洛尔同调HFK-减。由此产生的群然后被用来定义在[0，2]中由t索引的协调同态。在本工作中，我们详细说明了特殊情况t=1，并呼吁相应的修改纽结弗洛尔同调的无向纽结弗洛尔同调。使用基本方法（基于网格图和正常形式的表面配边），我们表明，由此产生的协调同态给出了一个下界的光滑4维crosscap数的一个结K -最小的第一个贝蒂数的光滑（可能是不可定向的）表面在4盘，满足边界3球沿给定的结K。
2015-08-13 math.GT
Dehn surgeries and rational homology balls
我们考虑的问题，其中德恩手术沿一个给定的结约束合理的同调球。利用Heegaard弗洛尔同调中的Ozsváth和Szabó修正项，得到了手术系数的一般约束条件。然后，我们把注意力转向整体手术的情况下，特别强调积极的环面结。最后，结合这些结果与格理论障碍的基础上唐纳森定理，我们分类的积分手术沿环面结的形式$T_{kq\pm 1,q}$绑定有理同调球。
2016-03-31 math.GT
Plane algebraic curves of arbitrary genus via Heegaard Floer homology
假设C是CP ^[2]中的一条奇异曲线，并且它在拓扑上是亏格为g的嵌入曲面，这样的曲线称为尖点曲线。C的奇点是结点K_i上的锥。我们应用Heegaard Floer理论来寻找新的约束集的节点{K_i}，可以出现作为链接的尖点曲线的奇点。我们将代数几何约束与我们的约束相结合，解决了亏格为1的曲线的存在性问题，d>33，具有恰好一个奇异性，该奇异性恰好有一个Pu_x对（p;q）。实现的三元组（p，d，q）表示为斐波那契序列中的连续偶数项。
2014-09-07 math.GT
Classical and new plumbed homology spheres bounding contractible manifolds and homology balls
本文研究哪些铅垂同调3-球面界定可缩4-流形或同调4-球，通过修改Mazur论证并利用Poénaru流形，重新证明经典例子并给出两个新的无穷族。
2024-11-23 math.GT
Brieskorn spheres bounding rational balls
Fintushel和Stern证明了Brieskorn球面$Σ(2,3,7)$是有理同调球的边界，而它的非平凡的Rokhlin不变量阻碍了它是积分同调球的边界。我们知道，他们的论证可以修改，以表明8字形纽结是有理切片的，我们利用这一事实提供了第一个附加的例子，Brieskorn球，绑定有理同调球，但不是整同调球：家庭$Σ(2,4n+1,12n+5)$和$Σ(3,3n+1,12n+5)$为$n$奇数。我们还提供了一个合理的同源球包含一个合理的切片磁盘的数字8结，以及一个合理的同源球有界的$Σ(2,3,7)$的双体图。这些句柄图必须包含3个句柄。
2017-04-25 math.GT
Homology classes of negative square and embedded surfaces in 4-manifolds
设X是单连通闭定向四维流形，A是亏格为g且负自相交的嵌入曲面-N。我们证明了对于固定亏格g，如果A的同调类是可除的或特征的，则N存在一个上界。特别地，对于亏格为零，这类同调类中嵌入球面的自交存在一个下界。这个问题与Kirby列表中的一个问题有关。
2013-09-26 math.GT
Constructing Rational Homology 3-Spheres That Bound Rational Homology 4-Balls
本文通过两种新操作构造了能包围有理同调4球的有理同调3球，并探讨了相关猜想的验证。
2024-01-17 math.GT
Non-simple genus minimizers in lens spaces
给定透镜空间中的一个一维同调类，与透镜空间手术中的Berge猜想有关的一个问题是确定在这个同调类中实现所有纽结的最小有理亏格的所有纽结.已知简单纽结是有理亏格极小元。在本文中，我们构造了许多非简单亏格极小元。这就否定地回答了拉斯穆森的一个问题。
2013-05-02 math.GT
Khovanov homology and the slice genus
我们使用李的Khovanov同调的工作来定义一个结不变量。我们证明了s（K）是一个协调不变量，它为K的切片亏格提供了一个下界.作为推论，我们给出了Milnor猜想的一个纯组合证明。
2004-02-09 math.GT math.QA
Khovanov homology and equivariant surfaces
本文通过精细化 Bar-Natan 同调构造新数值不变量，证明强可逆纽结的等变切片亏格与同痕等变切片亏格之差可任意大。
2025-07-18 math.GT
Knot Floer homology and Seifert surfaces
设K是亏格为g的S^3中的一个纽结，且n>0。证明了若rkHFK（K，g）< 2^{n+1}（其中HFK表示纽结弗洛尔同调），特别是若K是交错纽结且其Alexander多项式的首项系数ag满足|a_g| <2^{n+1}，则K至多有n个两两不相交的非同位素亏格gSeifert曲面.对于n=1，这意味着K有唯一的极小亏格塞弗特曲面直到合痕。
2007-03-05 math.GT
Knot Floer homology detects genus-one fibred knots
Ozsvath和Szabo证实，结弗洛尔同调检测到了非对称结。我们提出了一个策略，以接近这个猜想的基础上Gabai的缝合流形分解和接触拓扑理论。我们实施这一战略的属一结，获得作为推论，如果合理的手术结$K$的庞加莱同源球$Σ(2,3,5)$，然后$K$是左手三叶结。
2006-12-05 math.GT
On almost complex embeddings of rational homology balls
本文利用初等论证证明了特定Stein有理同调4-球在复射影平面中不存在殆复嵌入，从而在不依赖Evans-Smith工作的情况下排除了其辛嵌入的可能性。
2023-07-03 math.GT
Homology of the mapping class group for surfaces of genus 2 with boundary
当2 g + m小于6时，计算了具有一条边界曲线和m个穿孔的亏格g曲面的映射类群的积分同调.特别是，它包括没有穿刺或有一个穿刺的2类病例。
2009-04-07 math.AT math.GT
Ornate necklaces and the homology of the genus one mapping class group
根据Kontsevich的开创性工作，曲面的映射类群的不稳定同调可以通过某个李代数的同调来计算。在最近的一篇论文中，S.森田分析了这个李代数的阿贝尔化，从而构造了一系列候选的不稳定类的同调的映射类群。本文证明了这些圈都是非平凡的，它们表示亏格为1的曲面的映射类群的同调中的4k +1次同调类.
2006-10-04 math.GT math.QA
Branched covers and rational homology balls
本文证明三维球面纽结合痕群中存在由二阶元素生成的无限子群，其纽结的分支覆盖界定有理同调球，并揭示典范同态核包含无限生成的二挠子群。
2022-02-14 math.GT
More Brieskorn spheres bounding rational balls
我们称一个积分同调球$\textit{non-trivially}$有界于一个有理同调球，如果它被阻碍而不能有界于一个积分同调球。在Fintushel和Stern的著名例子$Σ(2,3,7)$之后，Akbulut和Larson最近给出了Brieskorn球的第一个无限族：$Σ(2,4n+1,12n+5)$和$Σ(3,3n+1,12n+5)$（对于奇数~ $n$）。使用他们的技术，我们提出了新的这样的家庭：$Σ(2,4n+3,12n+7)$和$Σ(3,3n+2,12n+7)$甚至$n$。还操纵他们的主要论点，我们只是恢复一些经典的结果Akbulut和Kirby，变化无常，卡森和Harer，和斯特恩Brieskorn球绑定积分同调球。
2020-12-07 math.GT
Branched covers bounding rational homology balls
沿光滑切片纽结的素幂折叠循环分支覆盖都有有理同调球的界.然而，这种现象并不表征切片结。在本文中，我们给出了一个新的结构的非切片纽结具有上述性质。由于扭曲亚历山大多项式的计算带来了不安全性问题，我们引入了新的技术来简化其计算。
2020-04-17 math.GT
Knot Floer homology obstructs ribbon concordance
证明了由带协调诱导的纽结弗洛尔同调上的映射是内射的.作为结果，我们证明了Seifert亏格是单调下的带状和谐。我们还推广了Gabai关于带连通和下Seifert亏格的超可加性的一个定理。我们的结果证明了戈登的猜想，丝带和谐是一个偏序集的结。
2019-02-11 math.GT
Large embedded balls and Heegaard genus in negative curvature
证明了如果M是一个闭的、连通的、可定向的、具有Heegaard亏格g的双曲3-流形，则g >= 1/2cosh（r），其中r表示M中等距嵌入球的半径.假设Pitts和Rubinstein的一个未发表的结果将其改进为g >= 1/2 cosh（r）+ 1/2。我们也给出了一个上界的体积在翻转距离的Heegaard分裂，并描述双曲球等周面。
2004-02-14 math.GT
Sums of lens spaces bounding rational balls
本文对光滑地限定有理同调球的三维透镜空间的连通和进行了分类。我们利用这个结果来确定每个透镜空间在有理同调3-球面组中的顺序，直到有理同调配边，并确定每个2-桥结的协调顺序。
2007-05-14 math.GT
Incompressible surfaces, hyperbolic volume, Heegaard genus and homology
证明了：如果M是完备的有限体积双曲3-流形，且H_1（M;Z_2）的维数至少为6，则M的体积大于5.06.我们还证明了：如果M是闭的可定向双曲3-流形，使得H_1（M;Z_2）的维数至少为4，并且如果H^2（M;Z_2）中上积映射的像的维数至多为1，则M的体积大于3.08.这些几何结果的证明涉及到将闭Haken流形M的Heegaard亏格与M中不可压缩曲面的补曲面的kishkes（即guts）的欧拉示性数线联系起来的新的拓扑结果。
2009-01-07 math.GT
The Minimal Genus of Homology Classes in a Finite 2-Complex
我们研究了有限复形的同调类的曲面代表，它们最小化了某些复杂性测度，包括它的亏格和欧拉示性数。我们的主要结果是，手术在nullhomotopic曲线极小同伦的细胞覆盖的2骨架。由此我们得出结论，极小化问题在一般算法上是不可判定的，但可以解决二维CAT（-1）-复形。
2020-02-19 math.AT math.GT
Concordance homomorphisms from knot Floer homology
我们修改结弗洛尔同调的建设，以产生一个单参数家庭的同源性在三个球的结。这些不变量可以用来给出从光滑协调群到整数的同态，给出四球亏格和纽结的协调亏格的界。我们给出了这些同态的一些应用。
2017-06-13 math.GT
Non-orientable surfaces in homology cobordisms
研究了不可可定向曲面在具有$M \times I$同调的$4$ -流形中嵌入的约束条件，其中$M$是有理同调$3$ -球面.约束的形式是不等式，涉及曲面的亏格和正常欧拉类，以及$M$的Ozsváth-Sazbó $d$ -不变量或Atiyah-Singer $ρ$ -不变量。一个结果是在$L(2p,q) \times I$中光滑嵌入曲面的最小亏格与在$L(2p,q)$中曲面的最小亏格相同。我们还考虑了非可定向曲面在闭$4$ -流形中的嵌入。
2013-10-31 math.GT
Surgery Obstructions for Seifert Fibered Homology Spheres
我们检查手术结在$S^3$，以确定手术障碍塞弗特纤维积分同源球。我们发现这样的手术障碍使用Heegaard弗洛尔，结弗洛尔同调和映射锥公式计算Heegaard弗洛尔同调的手术结。然而，在这里，我们采取不同的方法，并使用塞弗特纤维积分同调球，这是环形结构的奇异纤维的数量，以找到障碍。这种方法使我们能够证明，属一结不能产生塞弗特纤维积分同源球与六个或更多的奇异纤维。还提出了一些其他障碍，为更高的属结。
2019-04-09 math.GT
New Heegaard Floer slice genus and clasp number bounds
我们使用结弗洛尔同调定义了几个一致性不变量，这些不变量对Heegaard弗洛尔同调中已知的切片亏格和卡环数界进行了改进。我们还证明了Hendricks和Manolescu的对合修正项给出了切片亏格和卡环数界。
2020-10-04 math.GT
Disoriented homology and double branched covers
本文给出了一种计算4-球的分支双覆盖的同调和交对的方便实用的方法。对于3-球中链环的投影和4-球中曲面到边界球中的投影，我们将一系列同调群联系起来，称为无向同调群。我们证明了无向同调同构的链接或表面的双分支覆盖的同调。我们在曲面的第一个无向同调群上定义了一个配对，并证明了它等于分支覆盖的相交配对。这些结果推广了Gordon和Litherland的工作，嵌入曲面在3球，任意曲面在4球。我们还将Gordon-Litherland的签名公式推广到一般情形。我们的结果得到了一个定理的支持，该定理描述了$n$ -球中余维2子流形的分支双重覆盖的柄分解，推广了Akbulut-Kirby等人的先前结果。
2022-10-28 math.GT
On chain link surgeries bounding rational homology balls and $χ$-slice 3-braid closures
本文利用格论立方性障碍，确定圆形链环整数手术界定有理同调球的条件，并证明切片-丝带猜想的推广对几乎所有拟交错3辫子链环成立。
2025-04-24 math.GT
Surgeries on Iterated Torus Knots Bounding Rational Homology 4-Balls
本文证明代数纽结上足够大的正积分手术界定具有负定管道树的4-流形，并利用唐纳森定理的格嵌入障碍分类了特定形式的迭代环面纽结手术，确定哪些界定有理同调4-球体。
2023-06-20 math.GT
Surgeries on torus knots, rational balls, and cabling
我们对正环面纽结上的正积分运算进行了分类，并给出了有理同调球上的正积分运算。此外，对于一个给定的结K，我们考虑哪些电缆K（p，q）承认积分手术，绑定合理的同源球。对于这样的电缆，设S（K）是相应的有理数q/p的集合。我们证明了S（K）对每个K是有界的。此外，如果K上的n-外科手术界定了一个有理同调球，则n是S（K）的聚点。
2020-08-15 math.GT
Heegaard Floer homology and genus one, one boundary component open books
我们计算了任意有理同调3-球面的Heegaard弗洛尔同调，其中有理同调3-球面具有形式为（T，n）的开卷分解，其中T是亏格为1的曲面，具有1个边界分支.此外，我们还计算了S^1上第一个贝蒂数等于1的T^2-丛的Heegaard弗洛尔同调，并将我们的结果与Lebow关于这类环面丛的嵌入接触同调的结果进行了比较.我们使用这些计算的限制斯坦填充的切触结构兼容，这样的开放的书籍，缩小了一些类的3-编织结有限的和谐秩序，并确定所有准交替链接与编织指数最多为3。
2008-05-10 math.GT math.SG
On knot Floer width and Turaev genus
对于每一个纽结$K\subset S^3$，我们可以把它的纽结弗洛尔同调调$\hat{HFK}(K)$，一个可生成的二阶阿贝尔群联系起来。一般来说，这些同调群的非零秩位于关于二分次的有限个斜率为1的直线上。同调的宽度实质上是两条这样的线之间的最大水平距离。此外，对于$K$的每个图$D$，都有一个相关联的Turaev曲面，并且Turaev亏格是$K$的所有Turaev曲面的最小亏格。我们证明了纽结弗洛尔同调的宽度受Turaev亏格加1的限制.给出了生成纽结弗洛尔同调的复形的Turaev曲面的亏格和宽度的Skein关系。
2007-09-05 math.AT math.GT
A note on PL-disks and rationally slice knots
我们给出了无穷多个流形结对（Y，J）的例子，使得Y约束一个整数同调球，J不约束任何整数同调球中的非局部平坦PL盘，但J约束一个有理同调球中的光滑嵌入盘。证明依赖于对合Heegaard弗洛尔同调的形式性质。
2021-07-19 math.GT
Holomorphic disks and genus bounds
我们证明了，像Seiberg-Witten同调，Heegaard弗洛尔同调的三个流形确定其Thurston范数。因此，我们表明，结弗洛尔同调检测属的结。这导致新的证明某些结果以前获得的使用塞伯格-威滕的弗洛尔同调（在合作与克朗海默和Mrowka）。这也导致了一个纯粹的莫尔斯理论解释的属的一个结。证明方法表明，弱辛可填充切触结构的Heegaard弗洛尔同调同调的标准元是非平凡的.特别是，对于某些三流形，Heegaard弗洛尔同调给出了存在拉紧叶理的障碍。
2004-03-03 math.GT math.SG
The Farey tree and embeddings of lens spaces and rational balls in $\mathbb{CP}^2$
本文通过Farey树的节点关联有理同调球体与棱形空间边界，并利用递归Kirby计算法扩展了相关研究，提出新的嵌入构造方法。
2025-12-09 math.GT
Smoothly embedded rational homology balls
本文利用三维复代数簇的极小模型程序中的技巧，证明了光滑嵌入某些光滑$2$ -球面的线性链的正则邻域中的有理同调球的存在性.
2015-08-15 math.AG math.GT
The Khovanov homology of alternating virtual links
本文研究了交替虚链$L$的Khovanov同调，证明了它在$g+2$对角线上的支撑，其中$g$等于$L$的虚亏格.具体来说，我们表明，$Kh^{i,j}(L)$支持$j=2i-σ_ξ+2k-1$行$0\leq k\leq g+1$其中$σ_{ξ^*}(L)+2g= σ_ξ(L)$是签名的$L$的棋盘着色$ξ$和它的双$ξ^*$。当然，对于经典链路，两个签名是相等的，并且这恢复了Lee对于$Kh^{*,*}(L)$的$H$ -稀疏性结果。我们的结果适用于更一般地给一个上界的同源宽度的Khovanov同源的任何棋盘虚拟链接$L$。该界是根据$L$的交替亏格给出的，它可以被看作是Turaev亏格的虚拟模拟。证明依赖于关联，任何棋盘可着色链接$L$，交替虚拟链接图具有相同的霍瓦诺夫同源性作为$L$。在这个过程中，我们研究了签名不变量在垂直和水平镜像对称下的行为。我们还计算了Khovanov同调和Rasmussen不变量在许多情况下，并应用它们来显示非sliceness和确定几个虚拟节点的切片属。本文末尾的表6列出了多达六个交叉点的交替虚拟结的签名、Khovanov多项式和Rasmussen不变量。
2019-04-28 math.GT
A twisted first homology group of the Goeritz group of 3-sphere
给定一个3-球面的亏格-g-Heegaard分裂，亏格-g-Goeritz群被定义为3-球面的保向同胚的保向同胚的合痕类的群.本文确定了3-球面亏格-2 Goeritz群的扭第一（余）同调群。
2017-03-30 math.AT math.GT
Property G and the $4$--genus
我们称$3$中的零同源结$K$-流形$Y$具有性质G，如果$K$的补的Thurston范数和纤维性的性质在$K$上的零手术下保持。本文证明了：如果$K\times\{0\}$（在某个同调类中）在$(Y\times[0,1])\#N\overline{\mathbb CP^2}$中的光滑$4$ -亏格小于$K$的Seifert亏格，则$K$具有性质G，其中$Y$是有理同调球面.当光滑的$4$ --亏格是$0$时，$Y$可以取为任何闭的、有向的$3$ --流形。
2023-03-02 math.GT
