A note on some peculiar nonlinear extremal phenomena of the Chebyshev polynomials
考虑多项式$P_{i_1}(x),\ldots ,P_{i_m}(x)$（$P_j(x)$是$j$次多项式）的首项系数的平方和最大化问题，条件是$\sum_{j=1}^m P_{i_j}^2(x)$的上范数在区间$[-b,b]$（$b>0$）上有界.利用凸分析的对偶理论和正则矩理论，给出了该问题的完整解。事实证明，与许多其他极值问题相反，解的结构将严重依赖于区间$[-b,b]$的大小。
1994-06-07 math.CA
Extremal Trigonometrical and Power Polynomials of Several Variables
我们考虑多元幂非负多项式的集合及其由可表示为平方和的多项式组成的子集。希尔伯特（D.Hilbert）的经典著作证明了它是一个真子集。两个集合都是凸的。在本文中，我们试图制定出一个一般的方法来调查这些凸集的极值元素。我们还考虑了非负有理函数类。1.研究非负三角多项式，然后借助于Calderon变换，进一步研究幂多项式。2.给出了凸集的支撑超平面的构造方法。
2002-12-21 math.CA
Asymptotics of $L^r$ extremal polynomials for ${0<r\leq\infty}$ on $C^{1+}$ Jordan regions
研究 $C^{1+}$ Jordan 区域上 $L^r$ 极值多项式的强渐近性，利用 $r=2$ 结果推导 $r=\infty$ 情形，应用于 Ahlfors 问题并提出猜想。
2025-02-24 math.CA
Extremal problems for polynomials with real roots
本文研究了只有实根和一个固定判别式值的$d$次多项式，并研究了多项式在离实直线不动点处的绝对值极小化问题.有两个明确的家庭多项式，原来是极值在这个问题。第一族具有作为两个线性函数的$d$次幂的线性组合的特别简单的表达式。此外，如果判别式的值不是太小，则可以显式地找到所讨论的极值多项式的根和最小绝对值。第二类是广义Jacobi（或Gegenbauer）多项式，这有助于我们找到相关的判别式。我们还研究了最大化判别式值的对偶问题，同时保持多项式的绝对值在远离实数直线的一点上固定。我们的结果，然后应用到最大的磁盘上包含在双纽线的问题，并在真正的线上的离散电荷的最小能量问题。
2019-03-01 math.CA math.CV math.NT
Extremal Polynomials and Entire Functions of Exponential Type
本文讨论了基于第一类切比雪夫多项式零点的Lagrange插值多项式在$L_{\infty}\left[ -1,1\right] $中逼近$\left\vert x\right\vert ^α,α>0$的渐近关系.极限过程揭示了一个指数型的整函数，我们可以提出一个明确的公式。作为结果，我们进一步推导出当$α\rightarrow\infty$。最后，我们通过给出数值结果，将我们的结果与Ganzburg [5]和Lubinsky [10]最近的一些工作联系起来，指出了一种可能的构造性方法来表示Bernstein常数。
2018-01-09 math.CA
Cyclicity in Dirichlet-type spaces and extremal polynomials
对于Dirichlet型空间中的函数$f$，我们研究了如何在次数至多为$n$的所有多项式$p$中确定使$\|p f-1\|_α$最小的构造性最优多项式$p_n$.然后我们给出了当$n$接近$\infty$时$\|p_{n}f-1\|_α$的衰减速率的上界和下界。进一步，我们研究了Brown-Shields猜想的一个弱版本的推广和关于最优多项式零点的一些计算现象。
2013-01-25 math.CA math.CV math.FA
On the Widom factors for $L_p$ extremal polynomials
本文继续研究文献[4]中提出的$L_p(μ)$极值多项式的Widom因子。在这项工作中，我们的特点集，在[4]中得到的下界是饱和的，建立连续性的Widom因素的措施$μ$，并表明，尽管下界$[W_{2,n}(μ_K)]^2\geq 2S(μ_K)$的平衡措施$μ_K$上紧集$K\subset\mathbb R$的一般下界$[W_{p,n}(μ)]^p\geq S(μ)$是最佳的，即使是措施$dμ=wdμ_K$与多项式权重$w$上$K\subset\mathbb R$。我们还研究了在[16，23]中引入的多项式原像下的拉回测度，并得到了这种测度的Widom因子的不变性。最后，我们详细研究了圆弧上关于平衡测度的正交多项式的Widom因子，特别是，找到了它们的极限、下确界和上确界，并证明了它们是严格单调的，且随着次数的增加而增加，随着弧长的增加而减少。
2020-05-18 math.CA
Asymptotic Properties of Extremal Polynomials Corresponding to Measures Supported on Analytic Regions
设G是具有解析边界的单连通有界区域，μ是G的闭包与G外的n个纯点所携带的正测度.给出了L^q（mu）空间中最小范数的首一多项式的范数估计，其中q>0.在范数收敛到0的情况下，我们提供了收敛的收敛速率的估计，推广了以前的几个结果。我们最强大的结果涉及的措施亩，是扰动的措施，是绝对连续的推进的积测度的边界附近的单位磁盘。我们的结果和方法也产生信息的极值多项式的强渐近性和一些信息有关Christoffel函数。
2011-11-15 math.CA math.SP
Caustics of Poncelet polygons and classical extremal polynomials
全面分析了台球在欧氏平面内的椭圆的周期性轨迹。该方法的新颖性是基于作者最近建立的关系之间的周期性台球轨迹和极值多项式的系统上的$d$间隔的实线和椭球台球在$d$维空间。即使在平面的情况下，系统地研究在本文中，它导致新的结果在表征$n$周期性的轨迹与所谓的$n$椭圆周期性的轨迹，这是$n$ -周期性的椭圆坐标。的特征都是在底层的椭圆曲线和它的除数和多项式函数方程，如佩尔方程。这种新的方法也揭示了一些经典的结果。特别是，我们连接搜索焦散线产生的周期性轨迹与三个经典类的极值多项式的两个间隔，介绍了Zolotarev和Akhiezer。主要的分类工具是卷绕数，我们提供了几种解释，包括极值多项式交替点的数量。后者暗示了卷绕数之间的重要不等式，从而提供了旋转数单调性的另一个证明。一个完整的目录台球轨迹与小周期提供了$n=3, 4, 5, 6$随着一个有效的搜索焦散。作为一个副产品，一个有趣的连接之间的凯莱型条件和判别可分多项式已被观察到所有这些小周期。
2018-12-07 math.AG math.CA math.DS
Pointwise Remez inequality
标准的著名的Remez不等式给出了$[-1,1]$上的多项式的值的上估计，如果它们被固定勒贝格测度的$[-1,1]$的子集上的$1$有界。在一个区间上，极值解由重新标度的切比雪夫多项式给出. Andrievskii问的最大值多项式在一个不动点，如果他们再次有界$1$一套固定的大小。我们表明，极值多项式是切比雪夫（一个间隔）或Akhiezer多项式（两个间隔），并证明Totik-Widom界限的极值，从而提供了一个完整的渐近解Andrievskii问题。
2020-07-03 math.CA
Extremal polynomials and polynomial preimages
本文研究切比雪夫多项式的Widom因子渐近行为，证明单光滑弧收敛于2仅当为直线段，并完整刻画星形图与二次原像情形，提出与S-性质的可能联系。
2023-12-20 math.CA math.CV
Convexity properties related to extremal functions
1962年，J. Siciak引入了多项式极值函数。Siciak极值函数是研究多项式导数的重要工具之一。W.在纸圈Pleopenniak（最重要的联合与W。Pawalucki）揭示了紧$K$附近的Siciak极值函数的行为与多项式导数的界之间的深刻联系。1990年W. Pleumniak引入了与紧$K$的马尔可夫性等价的条件（P）.在同一篇文章中，还提出了一个问题，即Siciak极值函数的哪些性质是马尔可夫性质所必需的。一个更强的问题是霍尔德连续性的对数的Siciak极值函数。这个问题可以用多项式空间上任意范数$q$的更一般的情形来表示。本文研究了Siciak函数的推广的性质与多项式导数的范数的性质之间的关系。特别是我们得到了与主要问题相关的马尔可夫因子$M_n(q,k)$的一些深层次的性质。主要结果之一是$M_n(q,k)^{1/k}$的Kolmogorov-Landau型性质，它是关于多项式导数族的三角形序列的一个条件，而不是关于特殊多项式的Kolmogorov-Landau显著不等式的直接类比：$q$ .单独地，这个条件（一个较弱的版本就足够了）什么也没有给出。但是如果我们假设$q$有A.证明了关于$q$的马氏性，满足条件$C(q)>0$则$q$具有Vladimir马尔可夫性.在$q(P)=||P||_E$的情况下，这意味着非多极马尔可夫集具有Hölder连续多复格林函数。
2018-08-05 math.CA math.CV
On some classical problems concerning $L_{\infty}$-extremal polynomials with constraints
首先，我们考虑以下问题可以追溯到切比雪夫，Zolotarev和Achieser：在所有具有给定首项系数的三角多项式中，$a_0,...,a_l,$ $b_0,...,b_l \in \mathbb R$找到了一个在$[0,2 π].$上具有最小最大范数的多项式。我们证明了极小多项式在$[0,2 π]$上渐近等于一个Blaschke乘积乘以一个常数，其中常数是与$τ_j = a_j + i b_j.$相关的Hankel矩阵的最大奇异值。代数多项式的情况对应语句如下。最后确定了三角多项式空间上某些线性泛函的极小范数。作为一个猜想的后果克伦肖从六十年代的行为的截断傅立叶级数的比率和最小偏差被证明。
2010-01-04 math.CA math.FA
Some extremal functions in Fourier analysis, II
本文得到了$\R$上一类偶函数的指数型极值优子点，其中$\R$包括$\log |x|$和$|x|^α$，其中$-1 < α< 1$ .我们也给出了这些结果的周期性版本，其中的优数和次数是有界次数的三角多项式。作为应用，我们得到了某些埃尔米特形式的最优估计，其中包括离散类似的一维Hardy-Littlewood-Sobolev不等式。进一步的应用提供了一个Erdös-Turán型不等式，该不等式根据多项式根的幂和来估计单位圆盘上代数多项式的超范数。
2008-09-23 math.CA math.CV
Periodic ellipsoidal billiard trajectories and extremal polynomials
本文研究了$d$维欧几里得空间中台球在椭球内的周期运动轨迹。该方法的新颖性是基于建立在周期性台球轨迹和极值多项式之间的关系上的系统的$d$间隔的实数线。通过利用广义切比雪夫多项式的Krein-Levin-Nudelman理论的深入但尚未广为人知的结果，证明了任何$d$的台球动力学的基本性质，即，卷绕数的序列是单调的。利用位势论证明了频率图的单射性。作为一个副产品，对于$d=2$的旋转数的单调性的一个新的证明。给出了小周期$T$、$d\le T\le 2d$轨道的个例研究。特别是，它被证明，所有的$d$ -周期性的轨迹包含在一个坐标超平面，对于一个给定的椭球，有一个独特的一组焦散产生$d+1$ -周期性的轨迹。为$d=3$提供了具有小周期的台球轨迹的完整目录。
2019-07-20 math.AG math.CA math.DS
On C. Michel's hypothesis about the modulus of typically real polynomials
典型实多项式的极值问题可以追溯到W. W. Rogosinski和G. SzegIgn提出了一系列问题，并利用正交多项式部分地解决了这些问题。此后，关于典型实多项式极值性质的新结果并不多见。这方面的基础工作是由于M.~他发现了一种解决极值问题的新方法。特别是，他解决了C。关于奇次典型实多项式模的Michel估计问题。另一方面，D. K.季米特洛夫表明有效性的费耶尔的方法解决Rogosinski-SzegIgnproblems。本文用Fejér方法完全解决了Michel问题。
2020-05-25 math.CA math.CV
Sharp Bernstein--Nikolskii inequalities for polynomials and entire functions of exponential type
本文综述多项式和指数型整函数的Bernstein--Nikolskii不等式，聚焦尖锐常数与极值函数，涵盖经典与近期结果、加权多维版本及开放问题。
2026-09-29 math.CA
On the weighted trigonometric Bojanov-Chebyshev extremal problem
本文研究了三角多项式的加权 Bojanov-Chebyshev 极值问题，通过 Fenton 平移求和法求解，并将结果推广至广义三角多项式。
2023-09-12 math.CA
Orthogonal Polynomials appearing in SIE grid representations
我们在这篇文章中显示如何正交多项式出现在某些表示的网格形箭图。在简短介绍了箭图的一般概念和它们的线性算子表示之后，我们定义了SIE箭图表示的概念：所有从箭图中的电路产生的内在自同态都充当标量乘子。然后，我们提出了几个引理，以确保这种SIE属性的一个ESTA表示。梯形换位子条件和某些图的可交换性“上至标量倍数”起着核心作用。然后将该理论应用于三个例子。大量的计算表明，相关的Laguerre，Legendre-Gegenbauer多项式和二项分布适合的网格形状的SIE箭图的框架。可以看出，这种代数观点是正交多项式和特殊函数的基础。
2015-04-08 math.CA
Distribution of mixed character sums and extremal problems for Littlewood polynomials
University of Bristol（布里斯托大学）；Heilbronn Institute for Mathematical Research（希尔布隆数学研究所）
本文研究混合特征和的分布特性，并应用结果构造具有大Mahler测度和L1范数的Littlewood多项式，同时证明Turyn多项式L_{2k}范数在α=1/4处渐近最小，解决了Günther和Schmidt的猜想。
2026-11-05 math.CA math.CV math.NT
Resonance of ellipsoidal billiard trajectories and extremal rational functions
本文研究了$d$维欧几里得空间中二次曲面的共振台球轨迹。我们将它们与逼近理论，特别是极值有理函数的系统上的$d$间隔的实数线。这种富有成效的联系，使我们能够证明台球动力学的基本性质，并提供了一个全面的研究一类非周期轨迹的可积台球。一个关键成分是广义佩尔型的函数多项式关系。将这些思想和技巧进一步应用于$s$ -弱台球轨迹，我们得到了同样广义Pell型的函数多项式关系。
2022-11-17 math.AG math.CA math.DS
Classical Sturmian sequences
Sturm序列由一对多项式$P(x)$和$P'(x)$生成，其中假定$P(x)$具有简单的实根。欧几里德算法然后生成在多项式$P(x)$的根的网格$x_s$上正交的多项式的有限序列。可以利用该算法来找到多项式$P(x)$在给定区间内的根的数目。我们考虑的“逆”问题：什么是显式系统的正交多项式所产生的规定的网格$x_s$的“经典”类型。主要结果如下。一般线性网格生成哈恩多项式的特殊情况。二次网格$x_s=x(s+1)$和$x_s=s(s+2)$对应于拉卡多项式的两种特殊情况。一般的指数网格与q-Hahn多项式的特殊情况有关。最后，我们证明了两种特殊的三角网格与第一类和第二类切比雪夫多项式有关。
2019-04-08 math.CA
Extremal problems in de Branges spaces: the case of truncated and odd functions
本文给出了一类截断奇函数的指数型单边极值逼近。这些近似优化的$L^1(\mathbb{R}, |E(x)|^{-2}dx)$ -错误，其中$E$是一个任意的Hermite-Biehler整函数的上半平面中的有界类型。这扩展了Holt和Vaaler [Duke Math. Journal 83（1996），203-247]关于正负号函数的工作。我们还提供了这些结果的周期类似物，找到最佳的单侧逼近三角多项式的一个给定的程度的一类周期函数与指数从属。这些极值三角多项式优化了$L^1(\mathbb{R}/\mathbb{Z}, d\vartheta)$ -误差，其中$\vartheta$是$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$上的任意非平凡测度。周期性结果扩展了Li和Vaaler的工作[Indiana Univ. Math. J. 48，No. 1（1999），183-236]，他们考虑了关于Jacobi测度的函数的周期性问题。我们的技术是基于理论的再生核希尔伯特空间（整个功能和多项式）和建设适当的插值节点在零的Laguerre-Pólya功能。
2014-12-02 math.CA
On Orthogonality Relations for Dual Discrete q-Ultraspherical Polynomials
对偶离散$q$ -超球多项式$D_n^{(s)}(μ(x;s)|q)$对应于不定矩问题，因此，具有单参数极值正交关系族。证明了当$s=q^{-1}$和$s=q$与$q^{-1}$ -Hermite多项式直接相连时，对偶离散$q$ -超球多项式$D_n^{(s)}(μ(x;s)|q)$的特殊情形.这些连接以显式形式给出。利用这些关系，找到了多项式$D_n^{(s)}(μ(x;s)|q)$的这些特殊情况的所有极值正交关系。
2006-03-16 math-ph math.CA math.MP
A four-way Szegő theorem for $L^p$ extremal polynomials on subsets of $\mathbb R$
University of New Mexico（新墨西哥大学）
本文针对实数上特定紧支撑集的L^p极值多项式证明四向Szegő定理，推导四个条件的等价性、Widom因子的上下界，并给出实例说明结果的尖锐性。
2026-08-19 math.CA
Some extremal problem for martingale transforms. III
本文延续前作，研究鞅变换极值问题中新的局部叶状结构（主口袋、中口袋及双线性区域），并通过三次多项式实例分析其出现，最终给出边界值为三次多项式时所有可能叶状结构的完整概述。
2026-09-14 math.CA
Sklyanin-like algebras for ($q$-)linear grids and ($q$-)para-Krawtchouk polynomials
在线性和$q$ -线性网格上引入了S-Heun算子。这些算子是Heun算子的特例，与Sklyanin-like代数有关。连续哈恩和大$q$ -雅可比多项式是这些S-Heun算子具有自然作用的函数。我们证明了S-Heun算子既包含双谱算子又包含Kalnins和Miller结构算子。这四个结构算子实现了原Sklyanin代数的三角退化的特殊极限情况。从截断条件得到这些代数的一维表示。相应的表示基是多项式的有限族：para-Krawtchouk和$q$ -para-Krawtchouk。自然的代数解释，这些多项式已经失踪，从而获得。我们还恢复Heun算子附加到相应的双谱问题作为二次组合的S-Heun算子
2020-12-22 math-ph math.CA math.MP
On the extremal eigenvalues of Jacobi ensembles at zero temperature
本文研究了零温度下Jacobi族极值本征值的极限，通过Bessel函数推导了冻结情况下的协方差极限，对应于硬边分析和有限β的结果。
2025-08-20 math-ph math.CA math.MP
