arXiv 2212.075902022-12-15math.FAmath.CO

格图上的重排不等式

Rearrangement Inequalities on the Lattice Graph

Shubham Gupta, Stefan Steinerberger

摘要：

$\mathbb{R}^n$中的Polya-SzegIgninequality指出，给定一个非负函数$f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}_{}$，它的球对称递减重排$f^*:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}_{}$对于所有$1 \leq p \leq \infty$在$\| \nabla f^*\|_{L^p} \leq \| \nabla f\|_{L^p}$的意义上是“更平滑的”。我们研究格网图$\mathbb{Z}^2$上的类似图。已知螺旋重排满足$p=1$的Polya-SzegIgn不等式，Wang-Wang重排满足$p=\infty$的Polya-SzegIgn不等式，而没有重排能满足$p=2$的Polya-SzegIgn不等式。我们开发了一个强大的方法来表明，这两个重排满足Polya-SzegIgninequality到一个常数的所有$1 \leq p \leq \infty$。特别地，对于所有$1 \leq p \leq \infty$，Wang-Wang重排满足$\| \nabla f^*\|_{L^p} \leq 2^{1/p} \| \nabla f\|_{L^p}$。我们还表明，$\mathbb{Z}^d$上存在（许多）重排，使得所有$1 \leq p \leq \infty$的$\| \nabla f^*\|_{L^p} \leq c_d \cdot \| \nabla f\|_{L^p}$。

英文摘要：

The Polya-Szegő inequality in $\mathbb{R}^n$ states that, given a non-negative function $f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}_{}$, its spherically symmetric decreasing rearrangement $f^*:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}_{}$ is `smoother' in the sense of $\| \nabla f^*\|_{L^p} \leq \| \nabla f\|_{L^p}$ for all $1 \leq p \leq \infty$. We study analogues on the lattice grid graph $\mathbb{Z}^2$. The spiral rearrangement is known to satisfy the Polya-Szegő inequality for $p=1$, the Wang-Wang rearrangement satisfies it for $p=\infty$ and no rearrangement can satisfy it for $p=2$. We develop a robust approach to show that both these rearrangements satisfy the Polya-Szegő inequality up to a constant for all $1 \leq p \leq \infty$. In particular, the Wang-Wang rearrangement satisfies $\| \nabla f^*\|_{L^p} \leq 2^{1/p} \| \nabla f\|_{L^p}$ for all $1 \leq p \leq \infty$. We also show the existence of (many) rearrangements on $\mathbb{Z}^d$ such that $\| \nabla f^*\|_{L^p} \leq c_d \cdot \| \nabla f\|_{L^p}$ for all $1 \leq p \leq \infty$.

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摘要：

英文摘要：

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