范畴性度与树可导度
Degrees of categoricity and treeable degrees
AI总结：
本文刻画了可计算结构的强范畴性度，证明其恰为计算 $\mathbf 0''$ 的树可导度，并给出新例子，回答了 Csima 和 Ng 的问题。
摘要：
我们给出了大于或等于 $\mathbf 0''$ 的可计算结构的强范畴性度的一个刻画。它们恰好是那些计算 $\mathbf 0''$ 的\emph{树可导}度——即通过可计算树的路径的最小度。作为推论，我们获得了几个新的范畴性度的例子。其中我们证明，对于大于 $2$ 的可计算序数 $\alpha$，每个满足 $\mathbf 0^{(\alpha)}\leq \mathbf d\leq \mathbf 0^{(\alpha+1)}$ 的度 $\mathbf d$ 都是一个刚性结构的强范畴性度。使用相当不同的技术，我们证明每个满足 $\mathbf 0'\leq \mathbf d\leq \mathbf 0''$ 的度 $\mathbf d$ 都是一个结构的强范畴性度。结合上述例子，这回答了 Csima 和 Ng 的一个问题。为了完善图景，我们证明存在一个满足 $\mathbf 0'< \mathbf d< \mathbf 0''$ 的度 $\mathbf d$，它不是任何刚性结构的范畴性度。
英文摘要：
We give a characterization of the strong degrees of categoricity of computable structures greater or equal to $\mathbf 0''$. They are precisely the \emph{treeable} degrees -- the least degrees of paths through computable trees -- that compute $\mathbf 0''$. As a corollary, we obtain several new examples of degrees of categoricity. Among them we show that every degree $\mathbf d$ with $\mathbf 0^{(α)}\leq \mathbf d\leq \mathbf 0^{(α+1)}$ for $α$ a computable ordinal greater than $2$ is the strong degree of categoricity of a rigid structure. Using quite different techniques we show that every degree $\mathbf d$ with $\mathbf 0'\leq \mathbf d\leq \mathbf 0''$ is the strong degree of categoricity of a structure. Together with the above example this answers a question of Csima and Ng. To complete the picture we show that there is a degree $\mathbf d$ with $\mathbf 0'< \mathbf d< \mathbf 0''$ that is not the degree of categoricity of a rigid structure.
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